解法多樣，精彩呈現(xiàn)
——廣東省2018年中考數(shù)學(xué)第24題評(píng)卷分析及啟示

☉廣東省珠海市拱北中學(xué) 吳 巖

廣東省2018年中考數(shù)學(xué)第24題，滿分9分.珠海市參加考試學(xué)生17251人，平均分為1.74分，標(biāo)準(zhǔn)差為2.09，各分?jǐn)?shù)段人數(shù)及比例如下：

表1

原題呈現(xiàn)：如圖1，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，連接AC、OD交于點(diǎn)E.

（1）證明：OD//BC；

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；

（3）在（2）的條件下，連接BD交⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長(zhǎng).

圖1

圖2

一、典型解法

（1）解法1：（證兩次全等）如圖2，連接OC.

由OA=OC，AD=CD，OD=OD，得△AOD △COD（SSS）.

則∠1=∠2.

又OA=OC，OE=OE，則△AOE △COE（SAS）.

則AE=CE.

又OA=OB，則OE是△ABC的中位線.

則OE//BC.即OD//BC.

點(diǎn)評(píng)：這是最常規(guī)的一種證法，大多數(shù)學(xué)生采用這種證法.也有證完全等之后用三線合一證E是AC的中點(diǎn)的；也有證完全等之后用△OBC的外角∠AOC來(lái)證明∠2=∠4的；也有用圓周角定理證∠1=∠3的；也有用垂徑定理證OM⊥AC的.

解法2：（利用垂直平分線的判定定理）連接OC.

由OA=OC，得點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上.

同理，點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上.

則OD是線段AC的垂直平分線.

則OD⊥AC.

由AB是直徑，得∠BCA=90°，即BC⊥AC.

則OD//BC.

點(diǎn)評(píng)：這是最簡(jiǎn)潔的一種證明方法，但采用此法的學(xué)生不多.

（2）解法1：（全等三角形）由tan∠ABC=2，得BC=AC.

又AB=DA，則Rt△ABC Rt△DAE（HL）.

則∠BAC=∠ADE.

則∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°.

則DA與⊙O相切.

點(diǎn)評(píng)：這是最常見(jiàn)的一種解法，但在寫(xiě)全等理由的時(shí)候，有部分學(xué)生寫(xiě)成了SAS或SSA.

解法2：（勾股定理及其逆定理）設(shè)BC=x.

由tan∠ABC=2，得AC=2x.

由AO2+AD2=x2=OD2，得∠OAD=90°.

則DA與⊙O相切.

點(diǎn)評(píng)：這種方法也有較多的學(xué)生使用.求DE的長(zhǎng)是難點(diǎn)，不少學(xué)生因此半途而廢.

解法3：（用三角函數(shù)）由解法2知，AE=x，DE=2x，∠AED=90°，則tan

則∠BAC=∠ADE.

則∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°.

則DA與⊙O相切.

點(diǎn)評(píng)：也有用∠BAC和∠ADE的正弦、余弦三角函數(shù)證明的，方法類似.但不少學(xué)生在求正切值時(shí)使用tan∠ADE=，默認(rèn)∠OAD=90°，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

（3）解法1：（證△DEF △DBO）由BC=1，AC=ED=2，得AD=CD=AB=

由AB=AD，AB⊥AD，得△ABD是等腰直角三角形.

如圖4，連接AF，則AF⊥BD，則F是BD的中點(diǎn).

又∠EDF=∠BDO，則△DEF △DBO.

圖4

圖5

點(diǎn)評(píng)：這是最常規(guī)的解法，大多數(shù)學(xué)生采用此種方法.也有用射影定理和切割線定理來(lái)證明對(duì)應(yīng)邊成比例的.因?yàn)锳D2=DF·DB（切割線定理），AD2=DE·DO（射影定理），所以DF·DB=DE·DO.則

解法2：（證△OEF △OFD）如圖5，連接OF，由解法1知OE=

又∠EOF=∠FOD，則△OEF △OFD.

點(diǎn)評(píng)：與解法1有異曲同工之妙.

解法3：（證三角形全等）如圖6，分別延長(zhǎng)EF與BC，其交點(diǎn)記為G.

由解法1知EC=1，DE=2，F(xiàn)是BD的中點(diǎn).

易得△EFD △GFB.

則CG=BG-BC=ED-BC=2-1=1.

則△ECG是等腰直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)思巧妙，運(yùn)算量也不大.也可以連接并延長(zhǎng)CF與DE交于點(diǎn)M，類似地證明△CEM是等腰直角三角形，可得，參見(jiàn)圖7.

圖6

圖7

解法4：（利用全等證等腰直角三角形）如圖8，由解法1知△ABD是等腰直角三角形，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，AF=BF=DF，AE=BC=1.

又∠CBF=∠EAF，則△CBF △EAF.

則CF=EF，∠EFA=∠CFB.

則∠EFC=∠CFB+∠EFB=∠AFE+∠EFB=∠AFB=90°.

點(diǎn)評(píng)：也可以用∠ABF=45°證明∠EFC=90°.具體如下：由∠ABF=45°，弧AF=弧AF，得∠ACF=∠ABF=45°.又CF=EF，則∠FEC=∠FCE=45°.則∠EFC=90°.

解法5：（利用弦切角求CF）如圖8，AF與DE的交點(diǎn)記為K.

在△AEK和△DFK中，∠AKE=∠DKF，∠AEK=∠KFD=90°，則∠EAK=∠KDF.

又由解法1知FD=AF，ED=AC，則△CAF △EDF.

則EF=CF.

易知CD是⊙O的切線.

則∠FCD=∠CBD（弦切角定理）.

又∠FDC=∠CDB，則△FDC △CDB.

圖8

點(diǎn)評(píng)：這是直接求CF長(zhǎng)度的一種方法.

解法6：（證△ABC △OFM）如圖9，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OD，垂足為M，連接AF、OF.

OF是△ABD的中位線，則OF//AD.又AB⊥AD，則AB⊥OF.

由∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，得∠1=∠3.

又∠ACB=∠OMF，則△ACB △OMF.

圖9

點(diǎn)評(píng)：注意到AO=FO，可得△AOE △OFM，也能求EF的長(zhǎng).解法4～解法6揭示了圖中三組關(guān)鍵的全等三角形.本解法也可以不證全等，不證相似，直接設(shè)OM=x，則MD=-x， 利 用OF2-OM2=MF2=DF2-MD2， 列 方 程

解法7：（證兩次相似）由解法1知EC=1，ED=2，F(xiàn)D=

如圖10，過(guò)F作FM⊥MD.

易得△MFD △CHB.

點(diǎn)評(píng)：該證法是步驟較多，運(yùn)算量較大的一種方法.

圖10

圖11

解法8：（構(gòu)造矩形）如圖11，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OD，垂足為M，MF的延長(zhǎng)線與BP交于點(diǎn)N.

易知四邊形ECPD、四邊形ECNM、四邊形MNPD都是矩形.

由解法1知ED=2.

則BP=BC+CP=BC+ED=1+2=3.

由解法1知F是BD的中點(diǎn)，則FN是△BPD的中位線.

點(diǎn)評(píng)：也有的過(guò)點(diǎn)B作BP⊥OD，同理可以求EF的值，參見(jiàn)圖12.

圖12

圖13

解法9：（平行線分線段成比例定理）如圖13，過(guò)F作F M//ED交AC于M.

易知MF⊥EC，BC//FM//ED.

由F是BD的中點(diǎn)，得M是EC的中點(diǎn).

由∠FCA=∠FBA=45°，得∠MFC=45°.

點(diǎn)評(píng)：這是一種比較簡(jiǎn)潔的證明方法.

解法10：（面積法）如圖14，過(guò)E作EQ⊥BD，垂足為Q，連接BE、AF.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造普通的直角三角形求EF.另外一種類似的方法是：連接AF，過(guò)E作EM⊥AF，垂足為M.△AHF的三邊較易求得，AE=1，△AHF △AEM，可得EM、AM、FM的長(zhǎng)，于是.參見(jiàn)圖15.

圖14

圖15

解法11：（構(gòu)造中位線）如圖16，連接BE、AF，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥BE，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接BM.

則EF是△BDM的中位線.

圖16

圖17

圖18

點(diǎn)評(píng)：解法11是眾多解法中，思路最簡(jiǎn)潔、運(yùn)算量最少的一種方法.也可以連接并延長(zhǎng)BE至M，使得EM=EB，連接MD，類似地證明，參見(jiàn)圖17.

解法12：（建立平面直角坐標(biāo)系）如圖18，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.

點(diǎn)評(píng)：也可以先證F是BD的中點(diǎn)，用中點(diǎn)公式求得F點(diǎn)的坐標(biāo).

二、解法分析

上述第（3）問(wèn)的12種解法顯示EF的長(zhǎng)度可以通過(guò)這樣幾種方法求得：（1）構(gòu)造相似三角形；（2）構(gòu)造等腰直角三角形；（3）構(gòu)造普通直角三角形；（4）構(gòu)造中位線；（5）解析幾何的方法.

三、典型錯(cuò)誤

1.思路不通

第（1）問(wèn)中，不少卷子是空白的，系統(tǒng)顯示本題0分卷有6849份，占39.70%.主要原因是，不會(huì)添加輔助線，沒(méi)有頭緒，無(wú)從下手.

2.編造條件

第（1）問(wèn)中，不少學(xué)生知道要證全等，但在沒(méi)有預(yù)先證明的情況下，編造∠ADO=∠CDO，用SAS證明.

3.循環(huán)論證

第（2）問(wèn)在未證明∠OAD=90°的情況下，直接用三角函數(shù)，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

4.方法使用不當(dāng)

5.使用錯(cuò)誤的判定定理

6.證不出，直接使用

第（2）問(wèn)，不少學(xué)生想證△DEF △DBO，但只有∠EDF=∠BDO一個(gè)條件，于是不少學(xué)生編造出∠FED=∠OBD，繼續(xù)證明下去.

四、教學(xué)建議

1.夯實(shí)基礎(chǔ)

該題有39.70%的0分卷，主要是因?yàn)榻獾冢?）問(wèn)時(shí)沒(méi)有思路，無(wú)從下手.表明這些學(xué)生基本功較差，輔助線都不會(huì)連.也有不少學(xué)生連了輔助線但不會(huì)用SSS證三角形全等，甚至∠BCA=90°也無(wú)從知曉.

作為教師，在教學(xué)上要重視“四基”教學(xué).一方面，要重視基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能的教學(xué).證三角形全等是初中幾何的核心內(nèi)容，必須花大力氣落實(shí)全等的判定方法，使學(xué)生能了如指掌，熟之又熟.對(duì)于圓的教學(xué)，也要提高到應(yīng)有的高度，有些學(xué)校為了騰出更多的時(shí)間用于復(fù)習(xí)，壓縮了初三新課的教學(xué)時(shí)間，結(jié)果圓的教學(xué)就成了夾生飯.這顯然是得不償失的，要知道圓的內(nèi)容是中考高分題必考的題型.不花足夠的時(shí)間，不練足量的題目，是難以形成能力的.另一方面，也要重視數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).只解題不反思，只做題不總結(jié)，永遠(yuǎn)只是知識(shí)的搬運(yùn)工，做不了知識(shí)的主人.解題的過(guò)程是學(xué)生理解知識(shí)、體驗(yàn)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，但必須不斷反思與總結(jié)才能形成解題思想.只有這樣，在面對(duì)較為復(fù)雜的幾何題時(shí)，才能從容不迫.

2.重視細(xì)節(jié)

幾何證明是根據(jù)已知和結(jié)論，寫(xiě)出推理過(guò)程的一種題型，所以過(guò)程甚于結(jié)論.在答卷中，不少學(xué)生隨意編造理由，沒(méi)有證明就直接使用，循環(huán)論證、虛假論證等情況大量存在.要杜絕此類問(wèn)題，在平時(shí)的教學(xué)中，要注重細(xì)節(jié).（1）審題要細(xì)心.知道哪些是可用的條件，哪些是不可用的條件，哪些是直接使用的條件，哪些是證明了之后才可以使用的條件.（2）表達(dá)要嚴(yán)謹(jǐn).不使用錯(cuò)誤的判定方法，不編造條件，杜絕跳步證明.（3）及時(shí)總結(jié).常見(jiàn)的輔助線的添加方法，常見(jiàn)的幾何模型，常用的解題思想都要及時(shí)歸納總結(jié)，使之成為知識(shí)的儲(chǔ)備.

3.開(kāi)拓思維

第（3）問(wèn)乍看十分困難，但實(shí)質(zhì)上解法多樣，僅考場(chǎng)做法就有12種.思路就是出路，在考場(chǎng)上學(xué)生要敢想敢試.在實(shí)際的教學(xué)中要重視一題多解.（1）一題多解可以培養(yǎng)思維的廣闊性，拓展解題的方法、方式.在第（3）問(wèn)中，EF的求法很多，既可以構(gòu)造相似三角形，又可以構(gòu)造直角三角形，還可以構(gòu)造中位線.（2）一題多解可以深化對(duì)問(wèn)題的理解.僅僅只看一種解法，對(duì)題目的認(rèn)識(shí)是不夠的.以第（3）問(wèn)為例，多嘗試幾種方法之后才發(fā)現(xiàn)F點(diǎn)的位置很特殊，是兩個(gè)等腰直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，這種特殊的位置造就了多樣的解法.