識(shí)別特殊圖形“破題”，重視經(jīng)典問(wèn)題教學(xué)
——2018年“北、上、廣”中考卷幾何綜合題導(dǎo)向分析

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 邱曉敏

許小燕老師在文［1］中從2018年北京中考卷第27題（一道幾何綜合題）說(shuō)起，提出一些平面幾何命題建議（特別是回歸教材、堅(jiān)守課標(biāo)、重視經(jīng)典幾何問(wèn)題）給筆者很多體會(huì)，引發(fā)共鳴，并由此思考了全國(guó)各地中考試卷對(duì)平面幾何難題的考查呈現(xiàn)出明顯的地區(qū)特點(diǎn)，比如一些平面幾何難題多出現(xiàn)在一些地級(jí)市中考試卷中，像北京、上海、廣州這些“超一線城市”卻把命題重心都放在經(jīng)典幾何題、常見(jiàn)圖形為背景的習(xí)題，這是值得我們關(guān)注和思考的.

一、2018年“北、上、廣”平面幾何綜合題概述

考題1：（2018年北京卷，第27題）如圖1，在正方形ABCD中，E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

圖2

思路概述：第（1）問(wèn)是基礎(chǔ)題，只要構(gòu)造并利用全等三角形即可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決，第（2）問(wèn)在前一問(wèn)的基礎(chǔ)上成果擴(kuò)大后可得△DEH是等腰直角三角形.這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“教材習(xí)題”：如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)，連接DE，將線段ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到HE，連接HE，可證出BH平分正方形一個(gè)外角（或∠CBH=45°），也可證出BH=AE.

考題2：（2018年上海卷，第25題）已知⊙O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E，且OD⊥AC，垂足為點(diǎn)F.

（1）如圖3，如果AC=BD，求弦AC的長(zhǎng)；

（2）如圖4，如果E為弦BD的中點(diǎn)，求∠ABD的余切值；

（3）連接BC、CD、DA，如果BC是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，求△ACD的面積.

圖3

圖4

思路概述：第（1）問(wèn)強(qiáng)化條件“AC=BD”后，可得出特殊三角形（如△ABC是含30°角的直角三角形，△AOD是等邊三角形等）.第（2）問(wèn)隨著“E為弦BD的中點(diǎn)”的強(qiáng)化，如圖5，連接OE、BC，由垂徑定理，得△ODE是直角三角形，EF⊥OD，于是可導(dǎo)出一組相等的角：∠ODE=∠AEO=∠ABE=∠DBC，于是可證出△AEO △ABE，有AE2=AO·AB=1×2，于是AE=，待求∠ABD的余切值恰是△ABE與△AEO的相似比

圖5

圖6

解第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是由正多邊形的條件信息，溝通弦AD、CD、BC所對(duì)圓心角度數(shù)（用含n的式子表示），如°，這樣由∠COB+∠COD+∠AOD=180°，得出關(guān)于n的方程180，解得n=4.于是調(diào)整圖形為圖6，∠AOD=∠COD=45°，∠BOC=90°，問(wèn)題轉(zhuǎn)化與等腰直角三角形相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，容易求出

考題3：（2018年廣州卷，第25題）如圖7，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.

圖7

（1）連接BD，探究AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AE2=BE2+CE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

圖8

圖9

思路概述：（1）如圖8，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BAD′，連接DD′.先分析出等邊三角形BDD′，再證∠BAD+∠C=270°，得出∠DAD′=90°. 由勾股定理，得AD2+AD′2=DD′2.代換得AD2+CD2=BD2.

（2）如圖9，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得△BE′A，連接EE′.先證等邊三角形BEE′.結(jié)合AE2=BE2+CE2，代換出AE2=EE′2+AE′2，可得∠AE′E=90°，∠BE′A=150°，∠BEC=150°.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“BC弦確定，圓周角∠BEC=150°”（對(duì)于這類問(wèn)題，有資料上總結(jié)為所謂“定弦定角”問(wèn)題）.從圓的角度想到點(diǎn)E在以BC為弦，優(yōu)?。ㄋ鶎?duì)的圓心角為300°的圓上.以BC為邊在下方作等邊△BCO，則O為圓心，半徑BO=1.所以點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為

二、“北、上、廣”平面幾何命題的導(dǎo)向之思

平面幾何難題是一些地區(qū)中考試卷用來(lái)承擔(dān)區(qū)分功能的把關(guān)題，在限時(shí)考試的環(huán)境下，有些平面幾何難題“殺傷力”很大，少數(shù)優(yōu)生投入不少時(shí)間卻極容易“隱性失分”.最近幾年，筆者也大量收集各地較難的中考平面幾何綜合題進(jìn)行訓(xùn)練，但從個(gè)人的練習(xí)體會(huì)來(lái)看，有些地級(jí)市的平面幾何題確實(shí)繁難，其難點(diǎn)常常表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.一是圖形線條太多（如哈爾濱市中考卷），一看如此之多的線條，學(xué)生往往望而卻步，放棄思考；二是圖形雖然線段不多，但涉及旋轉(zhuǎn)，且增加了動(dòng)點(diǎn)參與之后的旋轉(zhuǎn)，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)前者對(duì)應(yīng)的圖形，構(gòu)圖很難；三是圖形雖然看似經(jīng)典，但另出新的設(shè)問(wèn)，且破解方法相對(duì)單一，雖然最后只要添加一條輔助線就能解決，或取一個(gè)中點(diǎn)即可攻克，但是考生往往會(huì)有很多無(wú)效念頭的干擾，影響思路的獲取.諸如此類，既是筆者個(gè)人解題的體會(huì)，也是教學(xué)過(guò)程中大量觀察學(xué)生面對(duì)平面幾何難題的一些現(xiàn)狀.然而，我們看到“北、上、廣”三地關(guān)注的卻是教材上的經(jīng)典問(wèn)題，這樣的命題對(duì)教學(xué)和命題有怎樣的導(dǎo)向呢？以下提出筆者的一些思考.

1.關(guān)注教材例、習(xí)題，教學(xué)時(shí)可通過(guò)變式探究使得成果擴(kuò)大

由于所謂學(xué)案導(dǎo)學(xué)的盛行，當(dāng)前教學(xué)中對(duì)教材關(guān)注度不夠不是少數(shù)現(xiàn)象，因?yàn)閷?dǎo)學(xué)案“淪落”為習(xí)題拼湊式的練習(xí)案是一個(gè)較為普遍的現(xiàn)象（見(jiàn)文［3］），特別是在規(guī)模較大的學(xué)校，集體備課往往就是選題填充到習(xí)題導(dǎo)學(xué)案上，課堂上基本沒(méi)有時(shí)間關(guān)注課本，新概念、新定理的教學(xué)常常是“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的講解，而教材上的很多例、習(xí)題也往往被忽略，直至在一些教輔資料或各級(jí)考試中再被考到，又會(huì)成為練習(xí)講評(píng)的重點(diǎn).我們認(rèn)為，對(duì)教材上的例、習(xí)題要認(rèn)真教學(xué)，不止于滿足教材的要求，還要在跟進(jìn)的習(xí)題教學(xué)時(shí)，繼續(xù)對(duì)教材例、習(xí)題進(jìn)行變式教學(xué)，讓學(xué)生在變式探究過(guò)程中加深對(duì)教材例、習(xí)題的理解，達(dá)到做一題、會(huì)一類、通一片的教學(xué)效果.

2.重視經(jīng)典問(wèn)題，命題時(shí)可將經(jīng)典問(wèn)題適當(dāng)包裝后考查

平面幾何教學(xué)主要是訓(xùn)練學(xué)生的推理證明能力，并在此過(guò)程中熏陶“步步有據(jù)”的理性精神，懂得凡事應(yīng)該有“客從何處來(lái)”的治學(xué)追求.但是探究繁難的幾何性質(zhì)、輔助線添加卻不是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的，那只是少數(shù)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)生的挑戰(zhàn)要求.所以作為平時(shí)教學(xué)與命題，對(duì)經(jīng)典問(wèn)題充分關(guān)注十分有必要，像上文中“北、上、廣”三地考查的都是經(jīng)典問(wèn)題（在有些老師眼中都是一些陳題、舊題），這難道不是一種命題上的引領(lǐng)嗎？難道是這些經(jīng)濟(jì)、文化處于領(lǐng)先地位的超一線城市命題專家們不懂創(chuàng)新，反而回歸經(jīng)典嗎？回復(fù)上述疑問(wèn)，也許那句“因?yàn)槎茫源缺笨蔀橹晦q.

3.對(duì)于幾何奇異性質(zhì)，平時(shí)教學(xué)可引導(dǎo)學(xué)生探究但不宜考查

我們知道，平面幾何中有很多美妙、奇異的性質(zhì)，如三角形的三條角平分線（中線、高線）交于一點(diǎn)、圓中很多奇異的線段乘積的性質(zhì)（比如托勒密定理等），然而這些性質(zhì)被課標(biāo)或教材刪減不學(xué)，其背后的原因值得細(xì)思，如圓中很簡(jiǎn)單的“相交弦性質(zhì)”被刪減，對(duì)相似三角形的判定定理的要求也只是了解，而且不得利用相似進(jìn)一步探究相關(guān)命題，等等.這些在課標(biāo)文本中都有明確的要求，不知什么原因很多地級(jí)市中考試題中對(duì)國(guó)家層面的教學(xué)要求視而不見(jiàn)，不但對(duì)圓的考查要求太高，而且對(duì)利用相似三角形探究更為奇妙的性質(zhì)保持著個(gè)性化的興趣，作為平時(shí)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生深入探究，讓優(yōu)秀學(xué)生挑戰(zhàn)難題、享受幾何的美妙，是值得肯定的，然而這種興趣并不一定適合全體學(xué)生，更不宜放在高利害的中考試卷中.想起近一段時(shí)間，各級(jí)教育行政主管部門嚴(yán)查所謂校外機(jī)構(gòu)“超標(biāo)、超綱、超前”教學(xué)，然而引發(fā)這些不良現(xiàn)象的深層次原因何在呢？是否也應(yīng)該檢討一下各地區(qū)中考命題的“現(xiàn)實(shí)引領(lǐng)”呢？