例談中考數(shù)學(xué)幾類規(guī)律探索型問題*

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 潘 超

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 程婧怡

規(guī)律探索型問題是中考數(shù)學(xué)中?？汲Ｐ碌牡湫驮囶}.它是在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律［1］.解決這種問題的過程中，能滲透方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)模型思想、分類討論思想、特殊與一般思想等.其中的一些數(shù)學(xué)思想，能體現(xiàn)“探究”的解題思維品質(zhì)，具有趣味性、思想性、變化性、挑戰(zhàn)性等特征，也能較好地體現(xiàn)“注重讓學(xué)生在實際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”［2］等課標(biāo)要求.因此，研究中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型問題對教學(xué)具有重要的現(xiàn)實意義.下面，結(jié)合近幾年的中考題談?wù)剮最愐?guī)律探索型問題.

一、“數(shù)式排列”型規(guī)律探索題

“數(shù)式排列”型規(guī)律探索題通常依據(jù)給定的一列數(shù)、式子或者等式，寫出其中包含的一般規(guī)律.對這類問題的基本解法是，先寫出基本結(jié)構(gòu)，然后通過對比各組中的相同部分和不同部分，找出各部分的特點，最后得出一般性的結(jié)論［3］.這類問題通常包含數(shù)字排列型和式子排列型兩種類型.

1.數(shù)字排列型

數(shù)字排列型規(guī)律探索題是指數(shù)字或代表數(shù)字的字母按照一定規(guī)律依次排列出現(xiàn)，需要探索蘊(yùn)含在其中的某個指定位置的數(shù)值或關(guān)系的問題.

例1（2018年，十堰市）如圖1所示，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數(shù)是（ ）.

圖1

評注：我們在解這類數(shù)字排列型規(guī)律探索題時，可以對出現(xiàn)的有限項的特征或規(guī)律進(jìn)行猜測，再計算幾組數(shù)據(jù)驗證猜想，并以此解決問題.

2.式子排列型

式子排列型規(guī)律探索題是指按照一定規(guī)律給出有限組式子，并由此按要求歸納出一般性結(jié)論的問題.這類題中，各式往往與式子對應(yīng)的序號存在一定的關(guān)聯(lián)，通過計算和整理不同項，可以歸納得到與序號有關(guān)聯(lián)的一般結(jié)論.

例2 （2018年，安徽省）觀察以下等式：

圖2

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第6個等式：____________；

（2）寫出你猜想的第n個等式：_____________（用含n的等式表示），并證明.

分析：以序號n為前提，依此觀察每個數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

評注：式子排列型規(guī)律探索題是通過歸納、猜想、構(gòu)造等步驟解決復(fù)雜的問題.先發(fā)現(xiàn)有些項中共同的特征，再以此發(fā)現(xiàn)數(shù)字和序號的關(guān)系猜測第n項，解題方法與數(shù)字排列型規(guī)律探索題類似.

二、“圖形變換”型規(guī)律探索題

“圖形變換”型規(guī)律探索題即探索圖形的變化規(guī)律，主要特征是“計數(shù)”，并著重討論圖形構(gòu)成要素的變化規(guī)律.

例3（2018年，自貢市）觀察圖3中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2018個圖形共有_______個○.

圖3

分析：每個圖形的最下面一排都是1，另外三面隨著圖形的增加，每面的個數(shù)也增加，據(jù)此可得出規(guī)律，求得答案.

解：觀察圖形可知：

第1個圖形：1+1×3；

第2個圖形：1+2×3；

第3個圖形：1+3×3.

……

第n個圖形：1+3n.

所以，第2018個圖形：1+3×2018=6055.

評注：“圖形變換”型規(guī)律探索題重在培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維和空間想象能力，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對復(fù)雜圖形進(jìn)行簡化和可視化，找到“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)系，歸納概括圖形變化的規(guī)律.

三、“新型定義”型規(guī)律探索題

新型定義是指在題目中給出一個新概念或新方法，并對該概念或方法進(jìn)行說明，要求學(xué)生能運(yùn)用新的定義，解決題目中的規(guī)定問題，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用.

例4（2012年，揚(yáng)州市）大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干連續(xù)奇數(shù)的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一個奇數(shù)是2013，則m的值是（ ）.

A.43 B.44 C.45 D.46

解析：分析規(guī)律，找出2013所在的奇數(shù)的范圍可得解.由于23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，則m3分裂后的第一個數(shù)是m（m-1）+1，共有m個奇數(shù).因為45×（45-1）+1=1981，46×（46-1）+1=2071，所以2013是底數(shù)為45的數(shù)的立方分裂后的一個奇數(shù)，所以m=45.故選C.

評注：這是一道“新型定義”型規(guī)律探索題，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力，應(yīng)用有理數(shù)知識分析和解決問題的能力.此題通過定義正整數(shù)m的三次冪的“分裂”，將其轉(zhuǎn)化為一個不等式，采用“兩邊夾”得到m的值.［4］

四、“坐標(biāo)變化”型規(guī)律探索題

“坐標(biāo)變化”型規(guī)律探索題是指在直角坐標(biāo)系中根據(jù)圖形變化或性質(zhì)探索點發(fā)生變化的規(guī)律的問題.

例5（2018年，安順市）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如圖4所示的方式放置，點A1、A2、A3、…和點C1、C2、C3、…分別在直線y=x+1和x軸上，則點Bn的坐標(biāo)為______.

圖4

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征可得出點A1的坐標(biāo)，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點B1的坐標(biāo)，同理可得出點B2、B3、B4、…的坐標(biāo)，再根據(jù)點的坐標(biāo)的變化即可找出點Bn的坐標(biāo).（點Bn的坐標(biāo)為（2n-1，2n-1），解答過程略）

評注：這種坐標(biāo)變化規(guī)律探索問題，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合.要解決這類問題，學(xué)生應(yīng)具有良好的識圖能力和符號意識，能將圖形規(guī)律和數(shù)值變化規(guī)律結(jié)合起來.對于點的坐標(biāo)的變化規(guī)律題，往往從特殊到一般，求解前幾個點的坐標(biāo)之后，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在著循環(huán)關(guān)系或遞推關(guān)系，再綜合運(yùn)用圖形的性質(zhì)解決問題.

五、“實驗操作”型規(guī)律探索題

“實驗操作”型規(guī)律探索題是指將一個物品或圖形通過折疊、剪拼、堆放、拆合、透視等動態(tài)模擬變換方式，得到新的物品或圖形，再研究其幾何性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系的試題.對這種問題，學(xué)生通過模擬操作，對同一對象，一層一層地計算，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

例6（2015年，寧波市）如圖5，將△ABC沿著過AB的中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的A1處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為h1；還原紙片后，再將△ADE沿著過AD的中點D1的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去，經(jīng)過第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距離記為h2015，若h1=，則h的值為（ ）.2015

圖5

解：DE是△ABC的中位線，D1E1是△ADE的中位線，D2E2是△AD1E1的中位線……

評注：學(xué)生一般對自己動手操作的東西感興趣，一方面，不是枯燥地學(xué)習(xí)、接受知識；另一方面，通過自己一層層操作動手計算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題，獲得成功的喜悅［5］.此類題有助于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維和創(chuàng)造思維的培養(yǎng)［6］.

以上僅僅介紹了部分規(guī)律探索型問題.事實上，這類中考試題在每年的中考試題中還會出現(xiàn)很多，這些試題都能不同程度體現(xiàn)以創(chuàng)新意識為立意，體現(xiàn)創(chuàng)新教育和素質(zhì)教育的價值取向.在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注意激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的創(chuàng)造欲望、勇敢的探索精神、深刻的體驗意識、敏銳的觀察能力、良性的思維品質(zhì)，以及培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并創(chuàng)造性地解決問題的能力.［7］