聚焦主題研發(fā)課例，同類跟進(jìn)即時反饋
——以“區(qū)間求最值”專題復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省如皋市實驗初中 胡宏權(quán)

近年，二次函數(shù)的圖像在某一區(qū)間（定區(qū)間或動區(qū)間）取得最值的探究問題比較流行，不少地區(qū)都將其作為把關(guān)位置的壓軸題來承擔(dān)試卷區(qū)分功能.為了做好這類問題的備考復(fù)習(xí)，筆者搜集了大量類似的考題，并精心構(gòu)思了一節(jié)“區(qū)間求最值”專題復(fù)習(xí)課，本文整理出來，并跟進(jìn)教學(xué)思考.

一、“區(qū)間求最值”專題復(fù)習(xí)課教學(xué)流程

說明：這是一節(jié)二次函數(shù)的圖像在某區(qū)間的最值探究問題的專題復(fù)習(xí)，素材改編自最近三年一些地區(qū)的中考試卷.

典型問題（一） “定”拋物線與“定”區(qū)間的最值問題

例1 已知二次函數(shù)y＝（x＋1）2-5.

（1）當(dāng)1≤x≤3時，分析二次函數(shù)y＝（x+1）2-5的最大值與最小值；

（2）當(dāng)-5≤x≤-2時，分析二次函數(shù)y＝（x+1）2-5的最大值與最小值；

（3）當(dāng)-3≤x≤0時，分析二次函數(shù)y＝（x+1）2-5的最大值與最小值.

教學(xué)組織：學(xué)生在練習(xí)第（1）問時如果只是“簡單化”地把x＝1、x＝3分別代入二次函數(shù)求出最小值、最大值，教師需要追問“你這樣做的依據(jù)是什么”，待學(xué)生結(jié)合拋物線的增減性解釋后才能確認(rèn)，并要求學(xué)生畫圖說明清楚.特別是“數(shù)形結(jié)合”的分析對于第（2）問和第（3）問的解答很有幫助.

典型問題（二） “動”拋物線與“定”區(qū)間的最值問題

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2-2（k-1）x＋k2-k（k為常數(shù)）.若將該拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當(dāng)1≤x≤2時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值-，求k的值.

教學(xué)組織：這是2018年江蘇南通中考卷第26題第（3）問，有一定的難度，教學(xué)時可預(yù)設(shè)如下一些鋪墊式問題.

問題1：將原拋物線配方成“頂點式”；設(shè)：拋物線

問題2：分析平移后得到的新拋物線的頂點坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）；設(shè)：平移后的解析式為y＝（x-k）2-

追問：新拋物線的對稱軸是什么？它的頂點在一條直線上嗎？設(shè)：該拋物線的對稱軸為直線x＝k，它的頂點在直線

在以上三個問題的鋪墊之下，學(xué)生就可進(jìn)入分類討論，討論新拋物線的對稱軸x＝k與x＝1、x＝2的位置關(guān)系.

綜上所述，k＝1或k＝3.

同類訓(xùn)練：關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2＋（1-a）x＋1，當(dāng)x的取值范圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，分析實數(shù)a的取值范圍.

預(yù)設(shè)講評：問題本質(zhì)上是“動圖像定區(qū)間”問題.如圖1，被直線x＝1、x＝3夾住的拋物線就是一種可能的情形，此時對稱軸為直線

接著分析對稱軸向右平移（如圖2、圖3），y在x＝1時仍然取得最大值，也就是說，對稱軸為直線≥2，解得a≥5.

圖1

圖2

圖3

典型問題（三） “定”拋物線與“動”區(qū)間的最值問題

例3二次函數(shù)y＝（x＋1）2-5，當(dāng)m≤x≤n，且mn＜0時，y的最小值是2m，最大值是2n，則m+n＝_____.

教學(xué)組織：拋物線是確定的（固定的），結(jié)合“當(dāng)m≤x≤n，且mn＜0時”，減少了分類討論的情況，只要需考慮直線x＝m與對稱軸x＝-1的位置關(guān)系.

典型問題（四） “動”拋物線與“動”區(qū)間的最值問題

教學(xué)組織：先將拋物線的解析式化為頂點式：y＝-（x-m）2+2m-5.接下來分三種情況考慮：

m＞2m-2，2m-5≤m≤2m-2，m＜2m-5.

過程略.

點睛：本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式、二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、解一元二次方程及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：利用配方法將二次函數(shù)的解析式變形為頂點式；分三種情況考慮.

同類再練：已知二次函數(shù)y＝x2＋mx＋m2（m為常數(shù)），3m＋4＜0，當(dāng)x滿足m≤x≤m＋2時，y有最小值13，求此時二次函數(shù)的解析式.

預(yù)設(shè)解答：分析出拋物線的對稱軸一定在直線x＝m+2的右側(cè)，再結(jié)合增減性分析.

二、教學(xué)思考

1.專題復(fù)習(xí)課應(yīng)突出和聚焦復(fù)習(xí)主題

中考復(fù)習(xí)或習(xí)題講評常常是主題松散、不夠聚焦，這也和選題、選資料所花時間和精力有關(guān)，有時遇到一道特別欣賞的試題可能就會選入相應(yīng)的學(xué)案或試卷進(jìn)行訓(xùn)練與講評，但缺少必要的整合與整體構(gòu)思.我們認(rèn)為，中考復(fù)習(xí)既要關(guān)注初中階段各個知識點的梳理以便達(dá)到清查盲區(qū)的目的，同時在專題復(fù)習(xí)時要注意關(guān)注本地區(qū)中考命題的風(fēng)格，對于本地區(qū)中考高頻考題需要重點突破、多角度講評.比如，二次函數(shù)的圖像與定區(qū)間（動區(qū)間）的探究問題就是值得關(guān)注的一類高頻習(xí)題，很多地區(qū)都將其作為中考必考知識點.與平時零散遇到一些相關(guān)試題的訓(xùn)練與講評相比，在中考復(fù)習(xí)階段要注意開展主題復(fù)習(xí)，由淺及深，對不同類型的區(qū)間最值問題進(jìn)行歸類研究、對比講評，幫助學(xué)生辨明類型、學(xué)會解題.

2.講評較難習(xí)題時要預(yù)設(shè)鋪墊式問題

研讀《中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》近兩年的一些中考微專題課例的一個體會是，這些課例在處理較難試題的思路講解時，都比較注意預(yù)設(shè)鋪墊式問題，這對我們一線教師很有啟示作用.如果缺少這些鋪墊式問題的熱身、啟發(fā)作用，學(xué)生往往很難直接聽懂較難題的思路是如何生成的，有時莫名其妙的一條輔助線從何而來，一個方程或算式是怎樣突然“從天而降”的，往往感到是意料之外.如果注意設(shè)計出一些鋪墊式問題，有時隨著講評和解決這些熱身問題，往往學(xué)生就能獨立獲得較難題的思路，不需要再講解較難題了，我們也就追求了“教，是為了不教”的教學(xué)境界.

3.講后跟進(jìn)同類變式再練以鞏固效果

為了有效反饋講評效果，在講解一些較難試題之后，設(shè)計一些同類變式問題進(jìn)行再練是非常有必要的教學(xué)舉措.從各地中考試題命題現(xiàn)狀來看，90%的試題基本上都是學(xué)生曾練習(xí)過的“原題”（或者簡單改編數(shù)據(jù)、字母，而且多數(shù)改編自教材例、習(xí)題），所以，當(dāng)前中考復(fù)習(xí)的目標(biāo)簡單一點說，只要學(xué)生把教材上例、習(xí)題都練習(xí)過關(guān)，就應(yīng)該達(dá)到或接近滿分90%的考試目標(biāo).這就說明，復(fù)習(xí)題量不必追求太多，而要追求練習(xí)之后的達(dá)成率、鞏固率，所以講評一些較難試題后，跟進(jìn)同類變式問題就得到很多一線教師的認(rèn)可.當(dāng)然，難點在于有時找不到類似的問題，或者高度相似的同類題，這時教師可以對所講評試題進(jìn)行簡單的變式，讓學(xué)生再練、鞏固.從這個意義上說，有一定的命題基本功也是教師應(yīng)該修煉的重要能力之一.