“根的判別式”：無處不在又神通廣大
——以一節(jié)高中自招考試專題復習課為例

☉江蘇省江陰市第一初級中學 張煒鈺

近幾年，初中階段數(shù)學競賽因為種種原因沒有得到應有的研究和關注，取而代之的是，各地優(yōu)質高中的自主招生考試對數(shù)學的考查往往都是競賽級別的內容.本文是最近開設的一節(jié)高中自招考試專題復習課的選題與預設，整理出來，供研討.

一、“根的判別式”專題拓展復習

例1已知關于x的方程x2+2nx+n2-3n+2=0有兩個實數(shù)根x1與x2.

（1）求n的取值范圍.

（2）小程經過演算發(fā)現(xiàn)：代數(shù)式x1x2+5n的值不可能小于4.請判斷小程的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

預設講評：（1）計算關于x的方程的根的判別式，得Δ=b2-4ac=（2n）2-4（n2-3n+2）≥0，可得n≥.

（2）先觀察代數(shù)式x1x2+5n的特點，可利用韋達定理將兩根之積轉化為含n的式子，x1x2=n2-3n+2，代入x1x2+5n并整理得n2-3n+2+5n=n2+2n+2，將其視作關于n的二次函數(shù)y=n2+2n+2，改寫為頂點式y(tǒng)=（n+1）2+1.所以n＞-1時，y隨n的增大而增大，則結合（1）中已得結論n≥，可分析出當n=時，y取得最小值.對比小程發(fā)現(xiàn)的最小值4＞，說明小程的發(fā)現(xiàn)是錯誤的.

例2（1）已知非零實數(shù)a、b、c滿足4a+2b+c=0，求證b2-4ac≥0.

（2）已知非零實數(shù)a、b、c滿足9a-6b+2c=0，求證b2-2ac≥0.

預設講評：（1）觀察等式4a+2b+c=0，結合非零實數(shù)a、b、c，聯(lián)想到關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，當x=2時，滿足該方程，即x=2是該方程的一個根，可知該一元二次方程一定有實數(shù)根，故b2-4ac≥0.

（2）觀察等式9a-6b+2c=0，結合非零實數(shù)a、b、c，可適當變形改寫為a（-3）2+2b（-3）+2c=0，這樣就可繼續(xù)運用上一問的處理思路，視x=-3是關于x的一元二次方程ax2+2bx+2c=0的一個根，該方程根的判別式一定是非負數(shù)，即（2b）2-4a（2c）≥0，化簡得b2-2ac≥0.

例3已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c經過x軸上方的一點P（m，n）.求證：拋物線與x軸必有兩個不同的交點.

預設講評：先畫出圖1進行觀察，容易發(fā)現(xiàn)待證的結論“顯而易見”，然而怎么證明呢？

由P（m，n）在x軸上方，可得n＞0.把P點的坐標代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，得n=am2+bm+c，整理成關于m的一元二次方程am2+bm+c-n=0，該方程根的判別式一定為非負數(shù)，即b2-4a（c-n）≥0，變形為b2-4ac≥-4an.由拋物線開口向下，得a＜0.又n＞0，則-4an＞0，于是b2-4ac＞0，即拋物線y=ax2+bx+c與x軸一定有兩個不同的交點.

同類跟進：已知關于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c和一次函數(shù)y=-bx，其中a、b、c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0.求證：這兩個函數(shù)的圖像有兩個不同的交點.

預設講評：先明確解題目標，待證結論的關鍵是：兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立后得到關于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0，其根的判別式為正數(shù)，即需要證Δ=4b2-4ac＞0.由a+b+c=0，得b=-a-c，則Δ=4（-a-c）2-4ac=4a2+8ac+4c2-4ac=4a2+4ac+4c2=（4a2+4ac+c2）+3c2=（2a+c）2+3c2.結合a≠0，則Δ＞0.

例4求證：若實數(shù)a、b滿足a2+2b2-a+2ab+1=0，則代數(shù)式a-b+2019是定值.

預設講評：待分析的代數(shù)式是否為定值，關鍵取決于a、b.需要認真觀察等式a2+2b2-a+2ab+1=0，將其兩邊同時乘以2，得2a2+4b2-2a+4ab+2=0，配方得（a2+4ab+4b2）+（a2-2a+2）=0，即（a+2b）2+（a-）2=0，則a=，b=.代數(shù)式a-b+2019是定值2020.

另解介紹：（主元思想，基于一元二次方程根的判別式的角度）將等式a2+2b2-a+2ab+1=0看成關于b的一元二次方程，整理得2b2+2ab+（a2-a+1）=0.該方程一定有兩個實數(shù)根，則根的判別式（2a）2-8（a2-a+1）≥0，化簡為-（a-）2≥0，只有當a=時成立，相應的b=.

順便指出，上面的“另解”是基于以b為主元的一元二次方程而思考的，也可以基于以a為主元的一元二次方程，思路是一致的，這里略去.

例5對于正數(shù)x，分式的最大值如何分析？

預設講評：分式最值的分析初中階段沒有系統(tǒng)研究，高中階段將會有不同的處理方法.這里設法轉化為一元二次方程，利用根的判別式分析.設，視x為主元，整理得關于x的一元二次方程kx2+（2k-1）x+k=0.

由Δ=（2k-1）2-4k2≥0，解得最大值為.

拓展鏈接：如圖2，在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC、AD的延長線交于點P，求AB·S△ABP的最小值.

圖2

預設講評：設DP=x.由勾股定理可得PC=.易得△PCD △PAB，則，視x為主元，整理成關于x的一元二次方程x2+2（1-k）x+1+2k=0.由Δ=4（1-k）2-4（1+2k）≥0，得k≥4或k≤0（含去），故AB·S△ABP的最小值為4.

二、相關思考

1.高中自主招考復習研究值得關注

當前各地優(yōu)質高中在中考之前就以“火箭班”“創(chuàng)新實驗班”“推薦生”“國際班”等名目組織自主招生考試，參加考試的學生為招生轄區(qū)的各個初中的優(yōu)秀學生.客觀地說，這些參加考試的學生即使不參加這類自主招考，只根據(jù)中考成績基本也能進入相應高中就讀，對學生所在初中來說，對升學率幾無影響，所以初中學?；静唤M織集中培訓和應對，加上初中因為均衡分班的原因，優(yōu)秀學生都均衡分布在各個班級，客觀上也無法進行有針對性的輔導.這樣來看，如何有針對性地開展高中自主招考復習應對，仍然是一個值得關注的教研領域.

2.圍繞專題精選例、習題進行講評與拓展

與近年來《中學數(shù)學（初中版）》刊發(fā)的很多中考微專題復習課例一樣，自主招考復習研究也可借鑒微專題復習的備課與選題思路.比如，上面專題關注的“根的判別式”，所選的習題主要難點或關鍵步驟都要體現(xiàn)根的判別式的“無處不在”與“神通廣大”，這樣學生在研習這些問題時就可感受“題”中“形異質同”.另外，在設計成課例時，不同習題的排序、組合也要精心預設，以上文課例中的幾個題例的排序與關聯(lián)來看，遵循了如下原則：一是由淺及深，漸次推進；二是加強同類鏈接與變式拓展.