精選基本圖形，研發(fā)“一圖一課”
——以“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”微專題復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 顧志勇

中考微專題復(fù)習(xí)是近年來(lái)的一個(gè)教研亮點(diǎn)，我們?cè)凇吨袑W(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》就曾見(jiàn)到多篇研究微專題的課例，深受啟發(fā)，筆者在教學(xué)實(shí)踐中圍繞“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”也研發(fā)了一節(jié)習(xí)題課，本文梳理出來(lái)，分享給大家.

一、“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”專題復(fù)習(xí)教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 基礎(chǔ)熱身

例1 如圖1，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點(diǎn)E.連接BE、CE.

圖1

圖2

（1）點(diǎn)E到B、C兩個(gè)端點(diǎn)距離相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的依據(jù).

（2）點(diǎn)E到AB、AC的距離相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的依據(jù).

（3）若∠BAC=80°，求∠BEC的度數(shù).

（4）小可發(fā)現(xiàn)∠BAC+∠BEC是一個(gè)定值.你覺(jué)得小可的發(fā)現(xiàn)正確嗎？

教學(xué)組織：前兩問(wèn)是讓學(xué)生復(fù)習(xí)兩個(gè)定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.第（3）問(wèn)需要作輔助線，如圖2，過(guò)點(diǎn)E向AB、AC作垂線段EG、EH，可利用“HL”證Rt△BGE Rt△CHE，得∠BEG=∠CEH，再把目光轉(zhuǎn)向四邊形AGEH中，可得∠GAH+∠GEH=180°，于是結(jié)合∠BEG=∠CEH，轉(zhuǎn)化為∠BEC+∠BAC=180°.教學(xué)過(guò)程中先安排學(xué)生獨(dú)立探究，再在小組內(nèi)交流思路，并由學(xué)生代表匯報(bào)展示，教師根據(jù)學(xué)生的講解追問(wèn)思路，對(duì)于關(guān)鍵步驟可以讓其他學(xué)生復(fù)述.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 拾級(jí)而上

例2如圖3，在Rt△ABC中，O是斜邊AB的中點(diǎn)，DO⊥AB交∠BCA的平分線于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.

（1）求證：△ADE △BDF.

（2）小天發(fā)現(xiàn)∠DAC+∠DBC是一個(gè)定值.請(qǐng)判斷小天的發(fā)現(xiàn)是否正確.

（3）設(shè)AC=6，BC=2，求四邊形ADBC的面積.

（4）在（3）的條件下，求CD的長(zhǎng).

教學(xué)組織：前兩問(wèn)是例1的變式再練，安排學(xué)生復(fù)述思路即可.第（3）問(wèn)需要借助前兩問(wèn)的進(jìn)展，得出AE=BF，再得出CE=CF，AC-AE=BC+BF，于是CE=CF=4，再證四邊形CEDF為正方形，它的面積為16，再結(jié)合△ADE △BDF，四邊形ADBC的面積可轉(zhuǎn)化為正方形CEDF的面積16.相應(yīng)的，發(fā)現(xiàn)△CDE是等腰直角三角形，有CD=4.

圖3

圖4

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 圓的視角

例3如圖4，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，連接AC、BC，CD平分∠ACB，連接AD、BD.

（1）判斷△ABD的形狀，并說(shuō)明理由.

（2）若⊙O的半徑為5，求AD的長(zhǎng).

（3）在（2）的條件下，BC=6，求CD的長(zhǎng).

（4）小婧經(jīng)過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)不需要（2）中的條件，也可證出AC+BC=CD.你覺(jué)得得小婧的探究是否正確？說(shuō)說(shuō)你的分析.

教學(xué)組織：對(duì)于第（1）問(wèn)，除了可以轉(zhuǎn)化為例1、例2中的思路處理，還可以結(jié)合圓周角性質(zhì)（根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等，∠DAB=∠DCB，∠DBA=∠DCA），快速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題突破.對(duì)于第（2）問(wèn)，可延續(xù)上一問(wèn)的進(jìn)展，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，直徑即斜邊AB=10，可得AD=BD=5對(duì)于第（3）問(wèn)，利用之前例2中的一些進(jìn)展，構(gòu)造圖5，突破△CDE為等腰直角三角形，求出BF=AE=1，于是CE=7，即CD=7.當(dāng)然解法并不唯一，學(xué)生也可“旋轉(zhuǎn)”△BCD到△AGD的位置，構(gòu)造圖6中的△CDG，證出等腰直角三角形，也可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.第（4）問(wèn)則是“走向一般”，利用上一問(wèn)中兩種構(gòu)圖都可解決問(wèn)題.比如圖5中，先證出AC+BC=2CE，而CD=CE，即AC+BC=CD.另外，利用圖6中的進(jìn)展，把目光投向等腰直角三角形CDG，也可得出CG=CD，即AC+BC=CD.

圖5

圖6

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 變式拓展

例4如圖7，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線CD分別交⊙O于D，交AB于M，連接AD、BD.

（1）請(qǐng)你過(guò)點(diǎn)D分別向AC、BC作垂線段，垂足分別為點(diǎn)E、F，求證：四邊形CEDF為正方形.

（2）直接寫出AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）設(shè)DA=m，DC=n，試用含m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng).

圖7

教學(xué)組織：前兩問(wèn)是例3的簡(jiǎn)單變式.對(duì)于第（3）問(wèn)，可利用例3（4）獲得的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，構(gòu)造出圖5或圖6，是△ABC的周長(zhǎng)為對(duì)于第（4）問(wèn)，由△ACM △DBM，可得，由△BCM △DAM，

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.精心選取基本圖形，研發(fā)“一圖一課”

本課我們選取的是“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”這一基本圖形，該圖形融角平分線、垂直平分線于一題之中，既需要角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理證線段相等，又需要借助全等來(lái)“導(dǎo)角”，對(duì)證明過(guò)程中“導(dǎo)邊”“導(dǎo)角”的基本功有較好的訓(xùn)練.從這個(gè)基本圖形出發(fā)，通過(guò)例1讓學(xué)生經(jīng)過(guò)熱身訓(xùn)練，過(guò)渡到例2拾級(jí)而上，再到例3結(jié)合圓的視角看清問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，最后的例4仍然以圓為背景，變式再練、拓展提升，起到了較好的教學(xué)效果.

2.貫通不同年級(jí)章節(jié)，踐行“開(kāi)放教學(xué)”

上面的4個(gè)例題中，例1、例2分別對(duì)應(yīng)著八年級(jí)上學(xué)期全等三角形、等腰三角形的學(xué)習(xí)，例3對(duì)應(yīng)著九年級(jí)上學(xué)期圓的學(xué)習(xí)，例4對(duì)應(yīng)著九年級(jí)下學(xué)期相似三角形的內(nèi)容，4個(gè)例題源于一個(gè)基本圖形，環(huán)環(huán)相扣，貫通了不同年級(jí)和章節(jié)，作為中考專題復(fù)習(xí)，打破年級(jí)、章節(jié)的界限，借助一個(gè)圖形綜合不同的知識(shí)點(diǎn)，讓研究問(wèn)題的視角打開(kāi)，使學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題條件或信息解讀、調(diào)取不同章節(jié)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，輔助解題，踐行了所謂“開(kāi)放式教學(xué)”（鄭毓信教授語(yǔ)）的追求.

3.遵循深入淺出原則，預(yù)設(shè)“鋪墊問(wèn)題”

在具體構(gòu)思“一圖一課”時(shí)，既要注意循序漸進(jìn)，由淺及深，又要注意在呈現(xiàn)一些拓展問(wèn)題之前，增設(shè)一些鋪墊式問(wèn)題，讓學(xué)生循著鋪墊問(wèn)題自主獲取思路，既學(xué)會(huì)解題，又能收獲解題自信.比如根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，例3的第（4）問(wèn)是很多學(xué)生不太適應(yīng)的一種問(wèn)題，因?yàn)樵趫A的背景中，學(xué)生往往思路局限在圓的“內(nèi)部”（不只是指圓這個(gè)圖形內(nèi)部，學(xué)生的眼光也局限于利用圓這一章中的知識(shí)點(diǎn)解題），不能跳出圓的視角聯(lián)想到八年級(jí)“旋轉(zhuǎn)”構(gòu)造全等、證明特殊直角三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的貫通.這樣，我們有了例2的幾個(gè)設(shè)問(wèn)的鋪墊，當(dāng)學(xué)生沒(méi)有進(jìn)展時(shí)，可以啟發(fā)他們“回看”例2，容易獲得有效的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.