貼近目標(biāo)精選例、習(xí)題，訓(xùn)練眼力聚焦判別式
——“一元二次方程根的判別式”同課異構(gòu)研討

☉江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱 鳴

一元二次方程根的判別式是一個(gè)十分重要的知識點(diǎn)，不只是在一元二次方程中有較多的應(yīng)用，將來研究二次函數(shù)圖像與x軸或另一直線的交點(diǎn)時(shí)仍然顯現(xiàn)出“以數(shù)馭形”的威力.在新授課上，需要安排一課時(shí)進(jìn)行教學(xué)，而不只是像有些教材一樣只是在講求根公式時(shí)“一帶而過”，待以后習(xí)題課時(shí)再專門分類訓(xùn)練.文［1］提出“用教材教”，并給出一元二次方程根的判別式的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者以該教學(xué)設(shè)計(jì)為基本框架，在自己班級進(jìn)行教學(xué)，取得了較好的教學(xué)效果.本文給出該課教學(xué)流程與具體的實(shí)施方法，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋，作為一種讀刊后的同課異構(gòu)教學(xué)實(shí)踐，供研討.

一、教學(xué)流程

說明：本課是在學(xué)生剛學(xué)過配方法、用求根公式法解一元二次方程之后安排的一節(jié)新授課，主題學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式.

活動(dòng)（一） 從一元二次方程的解法引入新知

用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）x2+2x-1=0；（2）x2-2x+1=0；（3）x2+2x+2=0.

教學(xué)實(shí)施：學(xué)生利用配方法或求根公式法分別解兩個(gè)方程后，發(fā)現(xiàn)第（3）題沒有實(shí)數(shù)根；求解之后，安排學(xué)生走向一般，說說一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況可以怎樣快速判定.

教學(xué)預(yù)設(shè)：將配方后得到的方程書寫到黑板上，如下：

學(xué)生應(yīng)該能把目光鎖定在一個(gè)關(guān)鍵的表達(dá)式“b2-4ac”上，因?yàn)樯厦嫣峁┑?個(gè)方程恰恰對應(yīng)著不同的解的情況，在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上形成板書（寫到右側(cè)“副板區(qū)”，略）.

活動(dòng)（二） 聚焦關(guān)鍵代數(shù)式，研究根的判別式

定義：把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式，記作Δ=b2-4ac.（完善板書，對應(yīng)著上面“副板區(qū)”的內(nèi)容，書寫在左側(cè)的主板區(qū)）

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：

Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根.

教學(xué)實(shí)施：上述“判斷”正、反過來理解，都是正確的.教師先正、反分別講解一遍，然后請三個(gè)不同的學(xué)生各復(fù)述一次（重要內(nèi)容適當(dāng)重復(fù)幾遍）.

活動(dòng)（三） 精選典型例題，運(yùn)用新知解決問題

例1不解方程，判斷方程3x2+2=3x根的情況.

教學(xué)實(shí)施：要求是不解方程，但是學(xué)生展示解答時(shí)需要有“化為一般式”的過程，這是明確“a、b、c”的關(guān)鍵一步，在此基礎(chǔ)上計(jì)算“根的判別式b2-4ac”進(jìn)行判定.

跟進(jìn)練習(xí)：判斷以下方程根的情況（不解方程）：

（1）3x2+4x=-5；（2）2x（x-3）+4=0；（3）3x2-5x-21=0.

教學(xué)實(shí)施：前兩問主要是訓(xùn)練學(xué)生將方程化為一般式再計(jì)算、判定，第（3）問可直接計(jì)算判斷根的情況，但是可增加一個(gè)追問：有沒有更快速的判定方法？如果學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)，可以提示：有人認(rèn)為只要二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)異號就一定能判定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根！大家認(rèn)可這一判斷嗎？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察“根的判別式b2-4ac”，將其拆分為b2、-4ac后，就能確認(rèn)上述判斷了.

活動(dòng)（四） 含參問題訓(xùn)練及變式，鞏固新知

例2不解方程，小強(qiáng)認(rèn)為可以判斷關(guān)于x的方程x2-mx-m2=0（其中m是實(shí)數(shù)）一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.你覺得小強(qiáng)的判斷是否正確？說說你的理解.

教學(xué)實(shí)施：根的判別式b2-4ac=5m2≥0，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（注意可能是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，也可能是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根），所以小強(qiáng)的判斷是正確的.

例3若a為實(shí)數(shù)，有兩個(gè)方程：關(guān)于x的方程x2+3xa+2=0 ①；關(guān)于y的方程ay2+2（a+1）y+a-1=0 ②.

（1）當(dāng)方程①有實(shí)數(shù)根，且方程②為一元二次方程時(shí)，試判斷方程②解的情況；

（2）當(dāng)方程①有實(shí)數(shù)根時(shí)，直接寫出方程②解的情況.

教學(xué)實(shí)施：（1）方程①一定是一元二次方程，可先計(jì)算“根的判別式b2-4ac”得出4a≥-1，再計(jì)算出后一個(gè)關(guān)于y的方程②的“根的判別式b2-4ac”為12a+4，于是可確認(rèn)12a+4＞0，即關(guān)于y的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）與（1）相比，變化在于將“一元二次方程”變式為“方程”，學(xué)生需要看清辨明，考慮關(guān)于y的方程中a=0的情況.

活動(dòng)（五） 課堂小結(jié)與目標(biāo)檢測

（1）方程5x2=-2x沒有實(shí)數(shù)根.（）

（2）如果一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么Δ＞0.（）

（3）如果a、c異號，那么方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（）

2.不解方程，判別下列方程根的情況：

3.已知關(guān)于x的方程x2+2x-a+1=0沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于x的方程x2+ax+a=1是否一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并說明理由.

選題立意：這組檢測題在于檢測學(xué)生是否理解根的判別式的意義，能否用根的判別式判斷一元二次方程根的情況，以及書寫是否規(guī)范.可先由學(xué)生講述解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)和數(shù)學(xué)交流能力.接下來由其他同學(xué)互評，強(qiáng)調(diào)在評價(jià)時(shí)注重結(jié)論是否正確，書寫是否規(guī)范，是否還有需要完善之處，讓全體學(xué)生都能正確理解判別式的意義，會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，以及有實(shí)數(shù)根時(shí)，兩根是否相等.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.深刻理解教學(xué)內(nèi)容，精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo)與重、難點(diǎn)

根據(jù)我們對一元二次方程的理解，特別是從根的判別式在后續(xù)知識的地位上看，本課的教學(xué)內(nèi)容非常重要.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)確定為以下兩點(diǎn)：第一，理解一元二次方程根的判別式的意義，會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程根的情況；第二，經(jīng)歷一元二次方程根的情況的探究過程，體會(huì)從特殊到一般及分類討論等數(shù)學(xué)思想，提高觀察、分析、歸納的能力.教學(xué)重點(diǎn)：理解一元二次方程根的判別式的意義，并能用一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程根的情況.教學(xué)難點(diǎn)：探究一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的情況的關(guān)系.在確定教學(xué)目標(biāo)、辨明教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)之后，就可以圍繞目標(biāo)、重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行選題、構(gòu)思教學(xué)環(huán)節(jié).我們常常見到一些課堂教學(xué)中選題往往都是因?yàn)榻虒W(xué)目標(biāo)的定位不準(zhǔn)，造成所選例、習(xí)題的內(nèi)容效度不高，使得訓(xùn)練的重點(diǎn)偏離課時(shí)教學(xué)目標(biāo).

2.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，深刻理解根的判別式的意義

本課關(guān)注的一元二次方程根的判別式是利用求根公式解一元二次方程進(jìn)程中一個(gè)非常關(guān)鍵的“代數(shù)式”，教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、找準(zhǔn)這個(gè)代數(shù)式，進(jìn)而從正、反兩個(gè)角度深刻理解根的判別式的意義.所選習(xí)題也是這兩個(gè)方面的練習(xí)，一是給出系數(shù)明確的一元二次方程，通過計(jì)算根的判別式判定根的情況；二是給出含待定系數(shù)的一元二次方程，通過告知根的情況反過來推定這些系數(shù)的值或取值范圍.在教學(xué)進(jìn)程中，不但關(guān)注學(xué)生解出答案，更要關(guān)注其是如何運(yùn)用根的判別式的意義思考問題的，以及思路的出發(fā)點(diǎn)在哪兒，通過追問不同學(xué)生強(qiáng)調(diào)、鞏固新知識，達(dá)到深刻理解的教學(xué)效果.

3.精編例題及變式題，從不同角度訓(xùn)練根的判別式

數(shù)學(xué)課教學(xué)離不開解題，對新授課來說，又不能異化為習(xí)題課，所以備課時(shí)基于教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)和難點(diǎn)精心選編例題、選配變式練習(xí)跟進(jìn)訓(xùn)練十分重要.需要指出的是，當(dāng)前特別是規(guī)模較大的學(xué)校，因?yàn)槭艿剿^集體備課后“導(dǎo)學(xué)案”（多數(shù)淪落為習(xí)題單式的講義）牽引，拋開教材、講評習(xí)題成為一種不良現(xiàn)象.新的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)的生成需要由一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境引入，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生參與歸納、生成概念或性質(zhì)，然后教師根據(jù)課前精心選定的例題進(jìn)行示范，跟進(jìn)必要的習(xí)題鞏固并糾正學(xué)生解法中的錯(cuò)漏，但是量不能太大，重復(fù)習(xí)題不能太多，習(xí)題太多、太濫容易讓課堂成為“無趣”的習(xí)題課，特別是大量人為制造的陷阱題，學(xué)生練習(xí)無趣，反復(fù)出錯(cuò)，難以收獲解題自信.