探究奇妙的“黃金三角形”*
——基于微課理念下的教學(xué)設(shè)計與思考

☉安徽省肥西縣山南鎮(zhèn)金牛學(xué)校 劉 鈺

一、微課背景

在滬科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級（上）“22.1比例線段”中介紹了“黃金分割”，對于這個知識點，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求是“通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割”，基于這個要求，為了讓學(xué)生更好地了解“黃金分割”的美學(xué)價值，感受數(shù)學(xué)的美，教科書在本節(jié)內(nèi)容學(xué)完后安排了一個“閱讀與欣賞”，短文中介紹了“黃金數(shù)與黃金分割”“黃金數(shù)與黃金圖形”“黃金分割與奇妙現(xiàn)象”，其中就介紹了黃金三角形.對于此內(nèi)容的介紹，由于不是本節(jié)的必學(xué)內(nèi)容，只是對于“黃金分割”這個知識點的拓展，所以采用短小精悍的“微課”形式進行教學(xué)就顯得再合適不過了.

二、微課目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生了解黃金三角形，初步學(xué)會運用由“黃金分割”知識證明黃金三角形.

（2）運用微視頻引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角形內(nèi)角平分線定理.

三、微課設(shè)計

1.引入課題：介紹黃金三角形

黃金三角形有2種：

（1）兩個底角為72°，頂角為36°的等腰三角形.這種三角形既美觀又標(biāo)準(zhǔn).這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：（-1）∶2.

（2）兩個底角為36°，頂角為108°的等腰三角形.這樣的三角形的一腰與底之長之比為黃金比：（-1）∶2.

2.問題探究

請你選擇一種，證明黃金比.即黃金三角形的底與一腰之長之比為黃金比：（-1）∶2（.或一腰與底之長之比為黃金比：（-1）∶2）

請你打開滬科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊，翻到第73頁，仔細(xì)閱讀“閱讀與欣賞·奇妙的黃金數(shù)”，就能找到解決問題的突破口了.

如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，作∠B的平分線BD，那么可以證明：點D就是AC的黃金分割點.

那么請思考：如何證明點D就是邊AC的黃金分割點呢？

要想解決這個問題，先看微視頻：（滬科版，義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊，習(xí)題22.1最后一題）已知在△ABC中，AD為∠A的平分線，求證：AB∶AC=BD∶DC.

圖1

圖2

如圖2，過C點作CE∥AD，交BA的延長線于點E，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得

因為∠DAC=∠ACE，∠BAD=∠E，∠BAD=∠DAC，所以∠ACE=∠E，所以AC=AE，因此AB∶AC=BD∶DC.

事實上這題就是證明了三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，性質(zhì)定理內(nèi)容是：三角形內(nèi)角平分線內(nèi)分對邊，所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例.

3.問題解決

如圖3，由于BD是∠B的平分線，那么就一定有AD∶DC=AB∶BC.

圖3

因為AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=72°=∠C.

由于∠ABD=∠DBC=36°=∠A，所以AD=BD.又∠BDC=∠C=72°，所以BC=BD=AD，于是就有AD∶DC=AC∶AD，則AD2=AC×DC，從而得出點D就是AC的黃金分割點.

也就是說，頂角為36°，兩個底角為72°的等腰三角形（黃金三角形）的底與一腰之長之比為黃金比：（-1）∶2.

四、簡要概括

要想證明“頂角為36°的等腰三角形（或兩個底角為36°，頂角為108°的等腰三角形）是黃金三角形”，關(guān)鍵是作輔助線角平分線，再運用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理這個知識儲備，即可解決.當(dāng)然，等我們學(xué)完兩個三角形相似的判定方法以后，也可以運用此方法解決前面的問題.

五、設(shè)計說明

微課與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有機融合已成為打造高效課堂教學(xué)的正確嘗試，“微課”是指以視頻為主要載體，記錄教師在課堂內(nèi)外教育教學(xué)過程中圍繞某個知識點（重點、難點、疑點）或教學(xué)環(huán)節(jié)而開展的精彩教與學(xué)活動全過程.微課“位微不卑”，雖然短小，比不上一般課程宏大豐富，但是它意義非凡，效果明顯，是一個非常重要的教學(xué)資源.

本微課用時9分30秒，其中穿插的微視頻用時45秒.從介紹黃金三角形入手，提出問題，讓學(xué)生帶著問題回歸課本，再通過短小精悍的微視頻復(fù)習(xí)“隱藏”在課本習(xí)題中的三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理及其證明方法，注重問題的分析與結(jié)論的形成過程.整節(jié)課解決一個問題：探究黃金三角形的證明方法，重點是黃金點的尋找；復(fù)習(xí)三個知識點：一是黃金分割，二是平行線分線段成比例定理，三是三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理.

六、教學(xué)反思

需要指出的是，我們在努力追尋高效、智慧的數(shù)學(xué)教學(xué)，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，探究不同的課堂教學(xué)模式服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)，但是我們不能忘了教材，要做到解讀教材、重構(gòu)教材、超越教材.現(xiàn)在的學(xué)生大多以做課外資料為復(fù)習(xí)鞏固的第一要務(wù)，特別是在進行復(fù)習(xí)時，常常把課本丟到一邊去，殊不知，課外復(fù)習(xí)資料上的很多題，其實就是從課本上演變而來，所以教師要切實引導(dǎo)學(xué)生，從研讀課本習(xí)題做起，本案例中講解的內(nèi)容處處都沒有脫離課本，但給學(xué)生的感覺是處處都高于課本.讓學(xué)生時時在既熟悉又陌生的問題之中穿梭，雖充滿探索的艱辛，但也有成功的樂趣.