常教常新，不思何來
——蘇科版七年級(jí)下“9.4乘法公式（2）”反思

☉江蘇省南京市玄武區(qū)十三中鎖金分校 王建莉

葉瀾教授說：“一個(gè)教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個(gè)教師寫三年反思，有可能成為名師.”我最近上了一堂蘇科版七年級(jí)下“9.4乘法公式（2）”新授課，從問題情境、例題教學(xué)等方面感覺有些遺憾，現(xiàn)簡要再現(xiàn)，并加以評(píng)析，就教于行家.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：平方差公式.

內(nèi)容解析：為了進(jìn)一步理解平方差公式，可以利用（a+b）（a-b）=a2-b2的幾何意義——面積，運(yùn)用表示面積的方法解釋平方差公式，以便直觀地把握公式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式.

二、案例描述

1.問題情境

問題呈現(xiàn)（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室）：在邊長為a的正方形紙上剪去一個(gè)邊長為b（b

2.建構(gòu)活動(dòng)

師：同學(xué)們觀察一下這個(gè)圖形，該如何求陰影部分的面積？

給學(xué)生充分的思考時(shí)間.

生1：用大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2-b2.

師：好的，有沒有其他方法？

圖1

生2：因?yàn)殛幱安糠质遣灰?guī)則圖形，所以求它的面積可以用“割補(bǔ)法”來求.

師：你準(zhǔn)備用“割”還是“補(bǔ)”的方法？

生2：用“割”的方法.

師：你能畫出圖形，并把你的求解過程寫在黑板上嗎？

生2板演：如圖2，陰影部分的面積是：a（a-b）+b（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

生3：還可以割成梯形.

師：你能畫出圖形，并把求解過程寫在黑板上嗎？

圖2

圖3

生4：老師，割完后還可以拼起來，如圖4，陰影部分的面積就是（a+b）（a-b）.

此時(shí)，學(xué)生情緒高漲：哦，原來還可以割完后把圖形再拼起來.

3.數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)

圖4

師：因?yàn)椴徽撚檬裁捶椒?，我們求的都是陰影部分的面積，所以求出的結(jié)果是相等的，由此我們得到了另一個(gè)乘法公式（a+b）（ab）=a2-b2，我們把這個(gè)公式叫作平方差公式，你能用文字語言描述一下這個(gè)公式嗎？

生5：兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差，等于它們的平方差.

4.建構(gòu)活動(dòng)

教師板演例1：

例1 （1）（5x+y）（5x-y）；（2）（m+2n）（2n-m）；（3）（3y-x）（-x-3y）.

師：這三題在形式上符合今天的平方差公式的特點(diǎn)嗎？如果符合，你能找到a和b嗎？

生5：第（1）題中，a=5x，b=y，符合平方差公式的特點(diǎn).

生6：第（2）題中，a=2n，b=m，符合平方差公式的特點(diǎn).

生7：利用加法交換律把第（3）題變形成（-x+3y）（-x-3y），所以a=-x，b=3y.

師生共同總結(jié)：（1）公式中的a、b可以表示任意式子（包括單項(xiàng)式、多項(xiàng)式或其他代數(shù)式）；（2）用平方差公式時(shí)注意一定要找到a和b，與a和b的順序無關(guān).

5.基礎(chǔ)訓(xùn)練

蘇科版教材第78頁練一練1、2、3.

三、案例反思

問題情境設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生通過操作，用不同的方法計(jì)算面積，感受探討整式乘法的運(yùn)算方法.在利用面積法推導(dǎo)平方差公式時(shí)再次讓學(xué)生感受面對(duì)不規(guī)則圖形求面積的方法，就是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，可以“補(bǔ)”，也可以“割”.在八年級(jí)上學(xué)期我們還將用這種方法推導(dǎo)出勾股定理.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求學(xué)生能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算，學(xué)生的參與度是很高的.但是在問題情境設(shè)置上還是存在著缺憾.

缺憾1：推導(dǎo)乘法公式不夠嚴(yán)謹(jǐn).

利用面積法推導(dǎo)乘法公式，那么字母的范圍是正數(shù)，而平方差公式的適用范圍是任意實(shí)數(shù)，所以單純利用面積法推導(dǎo)是有局限性的.

缺憾2：將一個(gè)正方形減去另一個(gè)正方形這個(gè)背景突然給學(xué)生，感覺有點(diǎn)突兀，應(yīng)給學(xué)生一點(diǎn)思考空間，使他們自己能夠想到怎樣構(gòu)造圖形.

建議1：問題情境改為：

計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）（x+1）（x-1）=_____；（2）（m+2）（m-2）=_____；（3）（3x+1）（3x-1）=_____.

學(xué)生猜想并驗(yàn)證得到公式（a+b）（a-b）=a2-b2.

師：你能利用圖形驗(yàn)證它嗎？

設(shè)計(jì)意圖：利用幾個(gè)具體實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)乘法公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的關(guān)系，再追問可否用圖形驗(yàn)證這個(gè)公式，因?yàn)槲覀兦懊嬉呀?jīng)有利用圖形驗(yàn)證完全平方公式的經(jīng)驗(yàn)了，那么思考這個(gè)問題便水到渠成了，可讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

缺憾3：例題設(shè)置可以變化再多一點(diǎn)，本節(jié)課除了重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)，還有個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)是平方差公式的運(yùn)用，要求能靈活利用平方差公式進(jìn)行簡單計(jì)算，所以除了把a(bǔ)換成單項(xiàng)式，還可以換成多項(xiàng)式，a和b的順序可以再變化一下，還有每一項(xiàng)符號(hào)的變化.

建議2：例題可以這么改：

（1）（5x+y）（5x-y）；（2）（y+5x）（5x-y）；（3）（y+5x）（-y+5x）；（4）（-5x+y）（-5x-y）；（5）（y-5x）（-5x-y）；（6）（y-5x）（5x-y）.

設(shè)計(jì)意圖：其中第（6）題不符合平方差公式，可以讓學(xué)生做個(gè)辨析，說一說為什么不符合平方差公式的特點(diǎn)（平方差公式兩個(gè)小括號(hào)中必須要有一項(xiàng)符號(hào)相同）.學(xué)完平方差公式后，學(xué)生們很容易分不清完全平方公式和平方差公式.

在做第（5）題時(shí)也有不同的處理方式：

法一 ：（y-5x）（-5x-y）=（-5x+y）（-5x-y）=（-5x）2-y2=25x2-y2.

法二：（y-5x）（-5x-y）=（5x-y）（5x+y）=25x2-y2.

符號(hào)變化可能是在每一項(xiàng)上，還可能放在括號(hào)外，例如：

拓展：（7）（x+y+z）（x+y-z）；（8）（x+y-z）（x-y+z）.

對(duì)于（7），（x+y+z）（x+y-z）=［（x+y）+z］［（x+y）-z］=（x+y）2-z2.把兩個(gè)小括號(hào)內(nèi)符號(hào)相同的項(xiàng)組合在一起作為a.

對(duì)于（8），（x+y-z）（x-y+z）=［x+（y-z）］［x-（y-z）］=x2-（y-z）2.把兩個(gè)小括號(hào)內(nèi)符號(hào)不相同的項(xiàng)組合在一起作為a.

課堂是開放的，教學(xué)是生成的.乘法公式的教學(xué)本身比較枯燥，問題情境及例題如果這樣設(shè)置，既能調(diào)適課堂教學(xué)氛圍，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)研究的興趣.

整式乘法：

四、啟示

1.吃透教材，改組教材，拓展教材

教師應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣、思維方向，合理、有效地整合教材，設(shè)計(jì)教案，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的興趣，使其由“要我學(xué)”主動(dòng)轉(zhuǎn)入“我要學(xué)”，有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生成功步入“最近發(fā)展區(qū)”，感覺數(shù)學(xué)不是那么難，根據(jù)數(shù)據(jù)、圖形的特征找到線索，進(jìn)行合情推理.

2.抓住公式、概念的本質(zhì)，努力提高教師的應(yīng)變能力及學(xué)生舉一反三的能力

3.作為教師，不僅要反思教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)方法，還要反思例題、習(xí)題的解題方法

真正理解公式，就是抓住公式的本質(zhì).公式本身看上去不難，但是在順序、符號(hào)及項(xiàng)數(shù)上稍加改變，學(xué)生就不認(rèn)識(shí)了，所以在例題設(shè)置上，可以將一題稍加變化，滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生從形上辨析.

帶著我們的學(xué)生再次反思一下作業(yè)中的題目的解法，所有題目都可以用通法解決，但是有些題目在結(jié)構(gòu)上有其自己的特色，導(dǎo)致有其獨(dú)特的簡單解決方法，要把對(duì)題目的理解與學(xué)生分享：

例如，（-2y2-3x）（3x-2y2）.

通法：原式=（-2y2-3x）（-2y2+3x）=4y4-9x2.

特法：原式=（2y2+3x）（2y2-3x）=4y4-9x2.

“吾日三省吾身”，說的就是“反思”，教學(xué)反思恰如一位向?qū)В瑤ьI(lǐng)我們從經(jīng)驗(yàn)迷宮走向智慧殿堂.F