積累基本活動經(jīng)驗(yàn) 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

范東暉

(浙江省寧波市北侖中學(xué) 315800)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》(以下簡稱《課標(biāo)(2017年版)》)的頒布，不但注重了與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的銜接，而且實(shí)現(xiàn)了從知識立意到能力立意，再到素養(yǎng)立意的跨越.《課標(biāo)(2017年版)》指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)(簡稱“四基”)[1].首次在高中課程標(biāo)準(zhǔn)中提出基本活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

基本活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)，需要在“做”的過程和“思考”的過程中沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的.[2]筆者認(rèn)為，重視基本活動經(jīng)驗(yàn)是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)認(rèn)識上的提升.形成和積累基本活動經(jīng)驗(yàn)不僅是“四基”的組成部分，也是提高“四能”(提出和發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題)的有效手段，還是培養(yǎng)“三會”(會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界)的重要途徑，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本方法，對于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展具有重要意義.

對于學(xué)生來說，基本活動經(jīng)驗(yàn)的獲得、提升、遷移需在“做”中獲，“思”中提，“悟”中移.因此，在教學(xué)活動中，教師應(yīng)幫助學(xué)生在知識形成中構(gòu)建邏輯體系，在解題訓(xùn)練中掌握解題方法，在學(xué)習(xí)活動中積累基本經(jīng)驗(yàn). 筆者提出了高中數(shù)學(xué)課堂促進(jìn)學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)積累的四個(gè)途徑.

1 在操作觀察活動中喚醒基本活動經(jīng)驗(yàn)

歐拉指出：“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的……只有觀察才使我們知道這些性質(zhì).”觀察實(shí)踐是數(shù)學(xué)家尋找、發(fā)現(xiàn)真理的手段，而且是重要的起始階段，數(shù)和形的研究都如此.但這種經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)識更多的時(shí)候是“內(nèi)隱”的、“蟄伏”的，需要我們?nèi)拘阉?，需要我們對它進(jìn)行梳理．我們可以借助外顯的手段，如操作觀察活動等方法來了解和分析學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

不過，如果只通過教師“替代性”的提供學(xué)生觀察演示活動來證實(shí)假設(shè)，只能給學(xué)生“替代性經(jīng)驗(yàn)”——“觀察經(jīng)驗(yàn)”，是不太可能成為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的.在觀察演示活動中，學(xué)生只能看到觀察對象的外在表征活動，缺乏自主實(shí)踐，很難成為基本活動經(jīng)驗(yàn).因此，要讓學(xué)生自己動手操作實(shí)踐，經(jīng)歷由迷茫困惑到逐步清晰，甚至能自主地提出假設(shè)的過程，產(chǎn)生一些創(chuàng)造性的思維活動結(jié)果，達(dá)到喚醒根植于內(nèi)心的、“接地氣”的、真實(shí)有效的活動經(jīng)驗(yàn).

案例1直線與平面垂直判定定理的實(shí)驗(yàn)探究

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：一些三角形、四邊形和其他形狀的卡紙.

實(shí)驗(yàn)操作：沿紙片指定邊BC上的任意一點(diǎn)D翻折一次，得到折痕，同時(shí)將底邊BC分成了BD和DC兩段，然后將紙片放置在水平桌面上(BD，DC與桌面接觸)，觀察折痕和桌面的關(guān)系.

問題1：如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？

(如圖1，圖2，圖3，當(dāng)折痕與BC垂直時(shí))

圖1

圖2

圖3

問題2：在你翻折卡紙的過程中，卡紙的形狀發(fā)生了變化，哪些線的關(guān)系是不變的呢？

(折痕與BD，CD垂直關(guān)系不變)

問題3：如果我們把折痕抽象為直線l，把BD與CD也抽象為直線m、n，把桌面抽象為平面α(如圖4)，那么你認(rèn)為保證直線l與平面α垂直的條件是什么？

(一條直線如果與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.)

圖4

本節(jié)課是直線與平面垂直判定的新授課，學(xué)生已經(jīng)掌握了線面位置關(guān)系的相關(guān)知識，也已經(jīng)研究了線面平行的判定和性質(zhì)，具備初步操作經(jīng)驗(yàn)，本實(shí)驗(yàn)通過放手讓學(xué)生大膽翻折，激發(fā)學(xué)生自主操作、深入探究的欲望，讓學(xué)生在動手實(shí)驗(yàn)的過程中，不僅對立體幾何有直觀上的感知，提高空間想象力，而且概括出折紙結(jié)果所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而歸納出直線與平面垂直的判定定理.在這個(gè)過程中，學(xué)生獲取了探究數(shù)學(xué)結(jié)論、定理的活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

問題中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的“種子”，在探究問題的實(shí)踐操作中，除了幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)觀察的經(jīng)驗(yàn)外，還要讓學(xué)生在觀察后學(xué)會用語言來概括結(jié)論，以及注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，這種經(jīng)驗(yàn)為歸納推理奠定基礎(chǔ).

2 在合情推理中獲取基本活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動若僅停留于感性層面的生活經(jīng)驗(yàn)或活動經(jīng)驗(yàn)，那是膚淺的，需要通過一定的活動方式，將數(shù)學(xué)思維活動上升到理性層面，揭示感性經(jīng)驗(yàn)背后的理性數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)推理作為思維活動的主要表現(xiàn)形式，包括合情推理和演繹推理.合情推理是一種合乎情理的推理，是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.

歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理.歸納推理作為從特殊到一般的推理，對于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、創(chuàng)造數(shù)學(xué)命題具有重要作用.數(shù)學(xué)中各種各樣的猜想，如著名的哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想、四色猜想等的提出大多是歸納推理的結(jié)果.還有如通過研究一些特殊多面體(三棱錐、四棱錐、五棱錐等)的面、頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及棱的條數(shù)的關(guān)系，歸納得到歐拉公式：F(面)+V(頂)=E(棱)+2.

案例2多邊形數(shù)的歸納與推理

正方形數(shù)N(n,4)=n2，

六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,……

可以推測N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=______.

……

推測k邊形數(shù)

除了歸納推理，數(shù)學(xué)推理中也常用類比推理.數(shù)學(xué)教育家G.波利亞曾指出：類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何的類比問題.如把三角形作為四邊形的類比對象，把圓作為球的類比對象，還有向量與數(shù)的類比，不等與相等的類比，無限與有限的類比等等.

案例3數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)引入的教學(xué)分析

為了使負(fù)數(shù)可以開方，應(yīng)引入一個(gè)怎樣的新數(shù)？通過類比把思路引導(dǎo)到：“引入一個(gè)新數(shù)，使它的平方等于-1”，學(xué)生在具體研究過程中，提高發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展邏輯推理等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和能力.

關(guān)于合情推理，波利亞曾有精辟的論述：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，先得猜想這個(gè)定理的內(nèi)容；在完成詳細(xì)的證明之前，先得推測證明的思路.創(chuàng)造過程是一個(gè)艱苦曲折的過程.數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性的工作是論證推理即證明，但這個(gè)證明過程是猜想、合情推理發(fā)現(xiàn)的”.

3 在演繹推理中提煉基本活動經(jīng)驗(yàn)

解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“重要目標(biāo)”，對于有些優(yōu)秀學(xué)生來說，能根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)，對解法常有“先見之明”，能夠有效回避很多彎路，盡管有時(shí)走點(diǎn)彎路也是一種收獲，但能更好更快地解決問題始終是一種“不懈追求”.數(shù)學(xué)思維中，演繹推理作為從一般到特殊的推理，邏輯形式上依據(jù)三段論，是一種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理. 演繹推理是命題內(nèi)涵逐漸小下來的推理，所得的結(jié)果是往往是“大前提”下的一個(gè)“小結(jié)論”，盡管本質(zhì)上沒有創(chuàng)新，但有時(shí)會給我們數(shù)學(xué)解題提供“快捷方式”.

案例4隨機(jī)變量方差計(jì)算的研究

設(shè)0

ξ012P1-p212p2

則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)

A.D(ξ)減小

B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小

因?yàn)閜∈(0,1)，故D(ξ)先增后減.

演繹推理與歸納推理往往相互作用、相得益彰，通過歸納來預(yù)測結(jié)果，再通過演繹來驗(yàn)證結(jié)果.

案例5數(shù)列中的公式推導(dǎo)

=32；

=(3+1)3=43.

①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①.

(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊=2，①成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，①成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)，

由歸納假設(shè)可得

=(k+2)k+1，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，①也成立.

根據(jù)(1)(2)，可知①對一切正整數(shù)n都成立.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，除了掌握知識和技能，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想外，還有經(jīng)長時(shí)間學(xué)習(xí)實(shí)踐后積累形成的思維模式，這種思維模式是在操作觀察的基礎(chǔ)上，從簡單問題入手，逐步歸納與猜想，不斷檢驗(yàn)和修正，發(fā)現(xiàn)、感悟問題的本質(zhì)和問題之間的關(guān)聯(lián)，并學(xué)會演繹地證明問題.學(xué)生需要積累大量這樣的基本活動經(jīng)驗(yàn)，提高思維品質(zhì). 促進(jìn)科學(xué)精神、理性思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，需要讓學(xué)生經(jīng)歷這兩種推理(演繹推理與歸納推理)過程，尤其是歸納推理，從中積累經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生將來的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)奠定基礎(chǔ)，這是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)提出的初衷.[4]

4 在反思感悟中內(nèi)化基本活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的類似性使得學(xué)生所積累的基本活動經(jīng)驗(yàn)具有很強(qiáng)的遷移性和認(rèn)同性，這些帶有個(gè)人認(rèn)知特征的經(jīng)個(gè)人感悟內(nèi)化的經(jīng)驗(yàn)對學(xué)習(xí)新知識是很有幫助的.促進(jìn)學(xué)生獲得并積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，需要研究、實(shí)踐如何創(chuàng)設(shè)基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的活動情境，激發(fā)學(xué)生的活動動機(jī)，調(diào)動他們已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)他們主動、積極參與到數(shù)學(xué)活動中，經(jīng)歷參與、內(nèi)化、反思等數(shù)學(xué)活動的全過程，及時(shí)激發(fā)、總結(jié)和提升數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).[5]

案例6冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究思路

在學(xué)生學(xué)習(xí)上述函數(shù)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)、反思、感悟，完成自我內(nèi)化與建構(gòu)，相互交流，補(bǔ)充完善，提煉函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)：

1.獲得函數(shù)定義的經(jīng)驗(yàn)：舍去具體的背景與意義抽象出數(shù)學(xué)模型；

2.畫函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn)：經(jīng)歷“三部曲”——列表、描點(diǎn)、連線；

3.研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)：首先考慮函數(shù)定義域及奇偶性對函數(shù)圖象位置的影響，再次考慮解析式中的參數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的影響，以及特殊點(diǎn)、取值、圖象趨向等性質(zhì)；

4.研究函數(shù)過程的經(jīng)驗(yàn)：獲得研究的一般思路(模式)，抽象函數(shù)模型——形成函數(shù)定義——畫出函數(shù)圖象——探究函數(shù)性質(zhì)——應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)……

在知識的形成過程中，學(xué)生經(jīng)歷初始想法、嘗試錯誤、調(diào)整完善等思維過程，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，特別是主題(單元)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合所經(jīng)歷數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，提供反思和內(nèi)化活動的時(shí)空，多角度思考知識和方法之間的聯(lián)系，進(jìn)行主體建構(gòu)，深度思考，提升思維，建立更高層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能“數(shù)學(xué)地思考”，舉一反三，遷移到其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，發(fā)揮一般觀念的思維引領(lǐng)作用.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識，更要幫助學(xué)生發(fā)展《課標(biāo)(2017年版)》提出的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生借助觀察實(shí)踐、數(shù)學(xué)推理、反思感悟，進(jìn)行比較、概括、抽象等數(shù)學(xué)思維活動，明確思維模式產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)，以便形成一種可以遷移的“數(shù)學(xué)活動圖式”，從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，提煉具有數(shù)學(xué)本質(zhì)的、更具價(jià)值的數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐基本活動經(jīng)驗(yàn)；在學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)用基本活動經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生面對新問題時(shí)總能想到辦法，使數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)更具“必然性”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人.