三角函數(shù)值的芻議

蘇倩倩

【摘? 要】三角函數(shù)作為一類重要的數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而對于三角函數(shù)值，大多數(shù)學(xué)生只是從單位圓的周期性中對一些特殊角的三角函數(shù)數(shù)值有所了解，本文主要探討3°倍數(shù)角度的三角函數(shù)值的無理數(shù)表達，利用黃金分割比和方程的思想分別求出sin18°的數(shù)值，然后利用三角函數(shù)恒等變換求出相應(yīng)角度的三角函數(shù)值的無理數(shù)表達式，從而對三角函數(shù)有更深刻的認(rèn)識與了解。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)值? 黃金分割? 方程思想

一、引言

三角函數(shù)是中學(xué)階段六類基本初等函數(shù)之一，是以角度為自變量，以單位圓在坐標(biāo)系中所對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)為相應(yīng)三角函數(shù)值的一類映射，其理論知識與性質(zhì)是中學(xué)生所必須掌握的知識點。

三角函數(shù)的研究一直是一個重要的課題：劉麗英探討三角形中一類極值問題的解題基本思路及方法;祝全力探討了三角函數(shù)的最值問題;張建軍對中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)進行系統(tǒng)性的總結(jié)。三角函數(shù)的理論知識和最值問題是廣大教師研究的重點，作者主要探討三角函數(shù)整數(shù)角的函數(shù)值問題，使得學(xué)生對三角函數(shù)有一個新的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生對三角函數(shù)的探索精神。

特殊角的三角函數(shù)值在初中階段是通過三角函數(shù)的定義以及直角三角形的邊長關(guān)系得到，高中階段將角擴充到任意角，根據(jù)單位圓的周期性求出三角函數(shù)的一些特殊角的三角函數(shù)值，如：30°、45°、60°、90°、120°等以及利用三角函數(shù)性質(zhì)對這些角度的和、差、二倍角和半角的一些數(shù)值……然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性可以求出每個周期中的三角函數(shù)的特殊角的數(shù)值。

很顯然，可以根據(jù)三角函數(shù)兩角和差公式求出15°，75°的三角函數(shù)值，不難發(fā)現(xiàn)，這樣求出的三角函數(shù)的數(shù)值之間的角度數(shù)相差15°，即：以15°為等差數(shù)列的公差的三角函數(shù)值都可以用無理數(shù)的形式表達。

而對于一般的角度，可以通過計算器計算得出，而對于計算器計算出來的都是一些近似值，非準(zhǔn)確值，如果通過數(shù)學(xué)知識將一些度數(shù)的三角函數(shù)值用具體的無理數(shù)表達，可以讓讀者對于三角函數(shù)以及無理數(shù)有著更深刻的認(rèn)識，本文主要將以15°為等差數(shù)列的公差的三角函數(shù)值縮小到公差為3°，從而對三角函數(shù)產(chǎn)生再認(rèn)識，有助于對三角函數(shù)的理解和學(xué)習(xí)，探索三角函數(shù)數(shù)值的奧秘。

二、關(guān)于sin18° 的兩種求法：

由此，就可以得出sin3°的無理數(shù)的表達形式，雖然形式比較復(fù)雜，但是可以直觀的認(rèn)識三角函數(shù)的準(zhǔn)確值，與計算器所得出的近似值相比，我們可以得出準(zhǔn)確值。此外，然后根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，可以知道cos3°的無理數(shù)表達形式，然后根據(jù)倍角公式可以一步步的推出6°、9°、12°……等等一系列的三角函數(shù)的無理數(shù)表達形式。

由此可以得出：以0°為首項3°，為公差的等差數(shù)列的三角函數(shù)值均可以用無理數(shù)形式表達。另一方面從三角函數(shù)的數(shù)值可以看出無理數(shù)并非僅僅是對有理數(shù)開方所獲得，無理數(shù)的開方也可以獲得無理數(shù)，即：無理數(shù)的個數(shù)要遠遠多于有理數(shù)的個數(shù)。

如果將sin1°的數(shù)值求出，即可將所有三角函數(shù)的整數(shù)的度數(shù)求出，根據(jù)sin3°與sin1°的關(guān)系，這里涉及到三倍角的關(guān)系，通過計算可以利用盛金公式求出sin1°的三角函數(shù)值，有興趣的同學(xué)可以查找資料進行研究。

參考文獻

[1]劉麗英.三角形中一類極值問題的解題基本思路及方法[J]中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2009，（15）

[2]祝全力.三角函數(shù)的最值問題探索[J]中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2009，（3）

[3]張建軍. 高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的總結(jié)研究[J]理論研究，2013-03

[4]靳平主編，《數(shù)學(xué)的100個基本問題》[M]，山西科學(xué)技術(shù)出版社，2004