淺談方程思想在初中數(shù)學中的應用

殷惠琴

【摘 要】本文基于作者多年的初中數(shù)學教學經(jīng)驗，首先概括了方程思想的定義，并結(jié)合具體習題重點介紹了方程思想在代數(shù)以及幾何方面的應用。最后分析了方程思想在初中數(shù)學應用當中存在的主要問題以及解決對策。本文的研究成果將對方程思想在初中數(shù)學中的應用具有一定的貢獻意義。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;方程思想;應用;問題;對策

前言

剛剛升入初中的學生，往往把初中數(shù)學看作是“計算”的代稱。這是因為在小學階段，他們一直都在計算，而且是最原始的計算（四則運算）。所學的方程知識，只是利用互逆運算來解方程。談及方程思想，最早的應用還應該算是初中，初中數(shù)學的教學當中，讓學生體會方程的優(yōu)越性是教學的重要內(nèi)容之一。通過對方程以及方程思想的進一步了解，讓學生更好的學習方程、應用方程，真正意義上實現(xiàn)算數(shù)向代數(shù)的轉(zhuǎn)變。

1.方程思想的定義

初中數(shù)學教材中涉及的方程思想主要立足于具體數(shù)學問題的數(shù)量關(guān)系，然后通過學生正確理解將問題中所給的語言文字轉(zhuǎn)化成為相關(guān)的數(shù)學語言以及數(shù)學量，進而轉(zhuǎn)化成既定的數(shù)學模型。這里提到的數(shù)學模型包括方程、不等式、混合式（方程與不等式共存）等，然后通過計算獲得方程或者不等式的解，從而使得數(shù)學問題得到解決。值得強調(diào)的是，方程思想的適用范圍很廣，它并不是只針對方程問題存在。就像前面提到過的不等式等同樣用到了方程思想。隨著初中數(shù)學進一步學習，我們便能夠體會到方程思想的用處很廣，它會潛移默化的影響學生的解題思路，幫助學生提高解題能力。

笛卡爾將方程思想進行了具體的概括，他認為的方程思想是：實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題。在數(shù)學領(lǐng)域，幾乎到處都會有等式或者不等式存在。初中數(shù)學作為數(shù)學教育的基礎(chǔ)教育，大部分內(nèi)容也都是建立在等式與不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具體應用到初中數(shù)學上來，設(shè)未知數(shù)、列方程、研究方程、解方程都是學生應用方程思想的重要體現(xiàn)。

不得不介紹一下方程，方程作為方程思想的載體，是初中數(shù)學方程思想的主要體現(xiàn)。但是二者是有區(qū)別的，其根本區(qū)別在于方程屬于具體的知識體系，而方程思想屬于認知體系。方程思想是一種良好的思維模式，它是對方程知識熟練掌握后的一種升華。方程思想在初中數(shù)學的應用是相當廣的，通過方程應用題的解答，可以讓學生很清楚的了解方程相對于算數(shù)的簡單性，而且學生理解起來也并不是很難。通過不斷的加強相關(guān)的鍛煉，使初中學生能夠輕松準確的根據(jù)具體應用題型列出方程式是初中數(shù)學教學方程思想的重要部分。除此之外，教師還應該引導學生在學習之中多多聯(lián)系實際，以便將方程思想運用到實際中去。

2.初中數(shù)學中方程思想的應用

2.1方程思想在代數(shù)中的應用

首先對于一些概念性的問題可以用方程的思想來解決。 例如m/3+1與（2m-7）/3互為相反數(shù)，求m的值;p（x，x+y）與q（y+5，x-7）關(guān)于x軸對稱，求p、q坐標。下面結(jié)合具體例子談一下方程思想在代數(shù)中的應用。

（1）一元一次方程的應用

例：小明爸爸前年存了年利率為2.43%的二年期定期儲蓄， 今年到期后， 扣除利息稅（稅率為20%）， 所得利息為48.60元，恰好購買一只手表。問小明爸爸前年存了多少元？

分析：利息全額-利息稅=48.60。

解：設(shè)小明爸爸前年存了x元。則根據(jù)題意，得

X×2×2.43%-X×2×2.43%=48.60

解這個方程，得 x=1250

經(jīng)檢驗，符合題意。

答：小明爸爸前年存了1250元。

（2）二元一次方程組的應用

例：蔬菜公司收購140噸蔬菜，準備加工后投放市場銷售。公司的加工方式分為兩種：一種為精加工，每天可以加工6噸;另一種為粗加工，每天可以加工16噸。公司打算用15天時間完成蔬菜的加工。請制定加工方案。后又知蔬菜粗加工后利潤為1000元/噸，精加工后為2000元/噸，計算加工方案獲得的利潤是多少？

分析：問題的關(guān)鍵是先解答前一半問題，即先求出安排精加工和粗加工的天數(shù)。我們不妨用列方程組的辦法來解答。

解：設(shè)應安排x天精加工，y天粗加工。根據(jù)題意，得

x+y=15

6x+16y=140

解這個方程組，得

x=10

y=5

出售這些加工后的蔬菜一共可獲利

2000×6×10+1000×16×5=200000（元）

答：應安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可獲利200000元。

（3）分式方程的應用

例：某校招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位程序操作員各向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致。已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完。問這兩個操作員每分鐘各能輸入多少名學生的成績？

分析：甲和乙的輸入速度之間有關(guān)系，時間相差2小時。則可設(shè)速度或時間。

解：設(shè)乙每分鐘能輸入x名學生的成績，則甲每分能輸入2x名學生的成績。根據(jù)題意，得

2640/2x=2640/x-2×60

解得 x=11。

經(jīng)檢驗，x=11是原方程的解。并且x=11，2x=22，符合題意。答：甲每分鐘能輸入22名學生的成績，乙每分鐘能輸入11名學生的成績。

2.2方程思想幾何上的應用

方程的思想在幾何中也有應用。最典型的就是給出邊（角、對角線、圓的半徑）的比，求有關(guān)的問題。如：若三角形三個內(nèi)角之比是1：1：2，則這三角形是什么三角形。解題思路為：設(shè)每一份為x，三個角分別就是x，x，2x，則x+x+2x=180，解方程得x=45，因此可以知道三角形為等腰直角三角形。

從上面的例子看出，方程思想就是利用方程的觀點、知識解決問題。方程是代數(shù)中的重要內(nèi)容，學生把方程學好了，就能利用已有的知識解決后學的內(nèi)容，從而獲得學習的興趣。學習興趣的提高是學習最有效的動力，有動力才能進步。

3.初中生在方程思想應用時存在的問題

分析初中生在方程思想的應用時存在的問題，應該從初中數(shù)學方程應用題的錯誤原因入手，筆者認為方程應用題的做答是初中學生利用方程思想的集中表現(xiàn)。根據(jù)筆者多年的任教經(jīng)驗，學生在做方程解題時出現(xiàn)問題的情況還是很多的，其原因多種多樣。除去一些學生的個人原因，大部分錯題原因可以概括為在應對方程應用題時，不能對題意做出正確的解讀，也就不能分析出已知量和未知量的關(guān)系，無法正確列出方程式，導致做題錯誤。

大多數(shù)的初中生總是按照小學時養(yǎng)成的固定思維模式去分析題意，從而導致對題目理解起來較困難，甚至出現(xiàn)錯誤理解。當然學生在題意理解方面出現(xiàn)問題并不等同于學生在語言方面存在不足，其主要原因還是認知模式的影響。初中生缺乏對方程思想的重視，不能很好的將方程思想運用到做題中去。教師在日常的教學活動中，應該積極培養(yǎng)學生的方程意識，讓學生能利用方程思想準確的分析數(shù)學語言并找出題中的已知量與未知量，從而列出相關(guān)的等式或者不等式，解決問題。

4.解決對策

解決函數(shù)應用當中存在的問題需要通過教學實踐并結(jié)合各方面因素。相關(guān)學者將培養(yǎng)中學生方程思想的途徑概括為以下幾點，這也是解決方程應用的關(guān)鍵所在。

（1）注重學生方程基礎(chǔ)知識的練習;

（2）要注重對學生初中數(shù)學整體知識的培養(yǎng);

（3）在平時的練習過程中不斷完善學生的認知體系：

（4）教師在方程應用題的講解時，應該注重思考過程而非結(jié)果;

（5）鼓勵學生遇到問題時主動構(gòu)建方程模型。

方程思想作為初中數(shù)學的一種解題思想，應用時的主要步驟就是首先通過設(shè)元尋找未知量與已知量的等量關(guān)系，進而構(gòu)造方程或者方程組。然后對其求解完成未知量向已知量的轉(zhuǎn)化。設(shè)元是一種未知轉(zhuǎn)化為已知的手段，通過設(shè)元可以尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，進而造方程或方程組。想要真正的避免進入方程思想應用的誤區(qū)，首先就應該具備用方程思想解題的意識，有些幾何問題表面上看起來與代數(shù)問題無關(guān)，但是還是要利用代數(shù)方法——列方程來解決，因此要善于挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識。還有一些綜合性的問題，需要通過構(gòu)造方程來解決，所以在平時的學習中，應該不斷積累用方程思想解題的方法。并且要掌握運用方程思想解決問題的要點。還應意識到除了幾何的計算問題要使用方程或方程思想以外，經(jīng)常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，方程，函數(shù)，不等式的關(guān)系等內(nèi)容，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問題時要注意方程思想的應用。

5.結(jié)語

方程思想是對具體數(shù)學量的劃分，包括已知量和未知量。然后分析它們之間的關(guān)系列出方程式（等式或者不等式），再通過解方程、分析方程等方法解決問題。方程思想作為重要的數(shù)學思想，能體現(xiàn)出數(shù)學的本質(zhì)、數(shù)學能力以及數(shù)學的學科特點。對于初中學生而言，加強方程思想的訓練能夠不斷的提高學生思維的靈活性，進而提高初中學生的解題效率。

【參考文獻】

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[3]李匯云.試談數(shù)學中的方程思想.數(shù)學教學通訊.2001年第3期（總第136期）

[4]張志存.例談方程思想在解題中的應用.中國教育與教學.2006年10月.第4卷第8期

（作者單位：江蘇省昆山市婁江實驗學校）