“數(shù)學(xué)建?！钡慕虒W(xué)新模式
———以“羽毛球筒的包裝問題”教學(xué)為例

周青燕

數(shù)學(xué)建模是借助抽象的數(shù)學(xué)符號來代表現(xiàn)實中的問題，然后通過找到數(shù)學(xué)問題的解決方法，進(jìn)而確定出針對最初現(xiàn)實問題的適當(dāng)解決方案。這個過程可以理解為現(xiàn)實世界和抽象數(shù)學(xué)符號世界之間在進(jìn)行交互作用。筆者查閱了大量資料，發(fā)現(xiàn)在過去的建模教學(xué)研究中，一線教師對“相遇問題”“植樹問題”“盈虧問題”這樣某一類應(yīng)用問題研究較多，研究對象都是從現(xiàn)實生活中抽象出的理想化的數(shù)學(xué)模型。能不能通過研究更貼近生活的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生對于一個綜合性問題的解決能力處于什么水平呢？筆者進(jìn)行了以下嘗試。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過小組合作觀察、測量、計算，探究發(fā)現(xiàn)設(shè)計羽毛球筒的方法。

2.通過討論，用測量得到的數(shù)據(jù)計算出羽毛球筒的高度，發(fā)現(xiàn)計算羽毛球重疊后的高度的方法。

3.通過閱讀提取數(shù)學(xué)信息，找到解決生活中數(shù)學(xué)問題的方法。

【教學(xué)過程】

一、情境引入，激發(fā)興趣

師：迪迪在學(xué)數(shù)學(xué)時碰到了一些問題，讓我們一起探討：羽毛球在出售的時候都是12個疊緊放在一筒出售的，迪迪家里有三個羽毛球，他想用這三個羽毛球、卡紙、吸管、剪刀、直尺、三角板等工具，設(shè)計出一個能裝12個羽毛球的圓柱體的羽毛球筒。請同學(xué)們先獨立思考找方法，然后合作解決問題。

1.獨立思考。

師：借助卡紙、吸管、剪刀、直尺、三角板等工具，你有什么好辦法解決問題？

2.合作探究。

師：用你們認(rèn)為好的辦法進(jìn)行測量，可以一個小組獨立完成，也可以組間合作。有需要記錄的可以記在紙上。

師：如果有時間，嘗試用不同的方法解決這個問題。

【設(shè)計意圖：這個問題相對于習(xí)慣解決傳統(tǒng)建模問題的學(xué)生來說難度很大，如果設(shè)計分步操作教學(xué)，反而打亂了學(xué)生解決問題的思路，增加了學(xué)生的操作負(fù)擔(dān)。直接給學(xué)生充分的時間解決問題，讓學(xué)生在小組合作操作中不斷進(jìn)行試錯、糾錯實踐，在實踐中提煉方法，讓學(xué)生自己體會建模工作，從而對數(shù)學(xué)問題有更深地理解。在此過程中，教師將學(xué)生分組，以小組的形式進(jìn)行建模相關(guān)工作，從而培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊精神及表達(dá)能力?！?/p>

二、交流反饋，建立模型

1.直徑的測量結(jié)果。

師：為什么測量羽毛球羽毛部分的直徑？

師：量出來的結(jié)果是多少？你們是怎么量的？量的時候有一點誤差是正常的。有不同意見嗎？

2.交流反饋羽毛球筒的高度。

方法一：

生：量一個羽毛球的長，量羽毛球底座的長。（關(guān)注測量斜的與正確測量的糾正過程）

師：為什么要測量底座的高度？

生：羽毛球疊起來之后底座高度就是羽毛多出來部分的長度。（如下圖）

（板書：一個羽毛球+11個底部）

方法二：

師：還有沒有同學(xué)不是測量這兩個數(shù)據(jù)，也得到了筒的高度？

（板書：一個羽毛球的羽毛部分+12個底部）

師：這兩種方法有什么一樣的地方嗎？

師：與他們方法一樣的同學(xué)，說一說測量結(jié)果是多少？

師：造成這樣的測量誤差的原因會在哪里？測量一個羽毛球高度的時候要注意什么？

生：測量方法還不大準(zhǔn)確。

（呈現(xiàn)測量錯誤的視頻）

小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，解決一個復(fù)雜問題的時候，可以把它轉(zhuǎn)換成幾個簡單的步驟，一步步找到方法去計算，從而解決問題，測量時盡可能地減少誤差。

【設(shè)計意圖：動手實踐、自主探索、合作交流是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。因此，在上一個環(huán)節(jié)教師給學(xué)生充分的時間與空間。這個環(huán)節(jié)根據(jù)學(xué)生不同小組的學(xué)習(xí)能力，進(jìn)行分層級匯報：能力強(qiáng)的學(xué)生可以匯報多種解決方法；能力較弱的學(xué)生可以借助學(xué)習(xí)材料說說自己與正確方法的差距。通過全班交流，發(fā)現(xiàn)計算羽毛球筒高度的方法。這樣安排可讓學(xué)生在充分交流中體驗羽毛球筒與羽毛球的關(guān)系，在反饋時重方法建模，同時關(guān)注測量方法導(dǎo)致的結(jié)果誤差。】

3.練習(xí)。

測量出一個某品牌羽毛球的高度是85毫米，底部高25毫米，怎么計算能裝12個羽毛球的筒的高度？

4.小結(jié)。

師：通過剛才的探究，你有什么想說的嗎？（測量方法要正確，盡量減少測量誤差）

【設(shè)計意圖：通過這樣的練習(xí)和小結(jié)，再次建立解決羽毛球筒高度和單個羽毛球高度之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型?！?/p>

三、提出問題，豐富模型

師：根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息，請你先提出一個簡單的數(shù)學(xué)問題，再提出一個富有挑戰(zhàn)性的問題。

1.學(xué)生獨立完成后小組交流，推薦小組認(rèn)為最有水平的數(shù)學(xué)問題，投屏顯示，匯報交流。

2.組內(nèi)成員相互解決對方提出的問題。

【設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)過程中考慮到不同學(xué)生的需求，為有困難的學(xué)生提供學(xué)習(xí)的支架，允許不同程度的學(xué)生提出不同層次的問題，使“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”成為可能。在簡單問題的解決中，學(xué)生會提出模型的正向使用的問題，在復(fù)雜問題中對模型進(jìn)行逆向運用。】

四、交流小結(jié)，應(yīng)用模型

師：解決這個問題對你有什么啟示？在以前的學(xué)習(xí)中碰到過類似問題嗎？和什么問題是比較像的？

生：這是一個重疊問題。

師：說一說杯子、碗怎么計算疊起來之后的高度。你能說出它們之間的關(guān)系嗎？

師：根據(jù)現(xiàn)實情境，請你先提出一個簡單的數(shù)學(xué)問題，再提出一個富有挑戰(zhàn)性的問題。

【設(shè)計意圖：在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實踐時，教師需要對學(xué)生進(jìn)行一定的啟發(fā)與引導(dǎo)，使學(xué)生可以將生活中熟悉的場景與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想，通過這種方式，學(xué)生在今后可以利用數(shù)學(xué)建模等方式解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題。】

【實踐反思】

本次教學(xué)實踐將一個生活中遇到的數(shù)學(xué)問題完整呈現(xiàn)，讓學(xué)生充分操作解決問題。通過教學(xué)實踐第一次走出了傳統(tǒng)建模教學(xué)，同時也深深體會到了生活應(yīng)用建模教學(xué)中，教師尤其需要做好問題的預(yù)設(shè)工作，且需要關(guān)注以下三點：其一，實踐性。在應(yīng)用實踐過程中，將生活中的素材問題融入到教學(xué)工作中，從而使學(xué)生可以對相應(yīng)內(nèi)容輕松理解，并且可以通過學(xué)生自己的認(rèn)知及生活經(jīng)驗對問題進(jìn)行分析，從而解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題；其二，主體性。在進(jìn)行應(yīng)用實踐過程中，教師需要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生親身體會建模，從而對數(shù)學(xué)問題有更深地理解。在此過程中，教師可以將學(xué)生分組，以小組形式進(jìn)行建模的相關(guān)工作，從而使學(xué)生的團(tuán)隊精神及表達(dá)能力得到培養(yǎng)；其三，典型性。由于小學(xué)生自身認(rèn)知能力等方面的情況，數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實踐過程中需要對其典型性提供保障，從典型模型中學(xué)生可以更好地理解教師教學(xué)過程中所要表述的內(nèi)容。

除此之外，在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實踐時，教師需要對學(xué)生進(jìn)行一定的啟發(fā)與引導(dǎo)，使學(xué)生可以將生活中熟悉的場景與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想，通過這種方式，學(xué)生在今后可以利用數(shù)學(xué)建模等方式解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題。很多情況下，學(xué)生無法發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，因此也無法形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)意識，不能利用數(shù)學(xué)手段解決生活中的問題，基于此，教師通過建模方式可以將數(shù)學(xué)問題與實際進(jìn)行更好地聯(lián)系，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思維及策略解決實際問題的意識與能力。在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實踐的過程中，教師需要調(diào)動學(xué)生的參與熱情，并且對學(xué)生發(fā)散性思維進(jìn)行培養(yǎng)，從而使學(xué)生可以利用豐富的方法及發(fā)散思維進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，提高數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實踐的質(zhì)量與效果。