殊途同歸

范玉霞

摘 要：：同一個(gè)問題，從不同的角度去分析，會(huì)有不同的解法.不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生訓(xùn)練一下一題多解，會(huì)得到意想不到的效果.下面以直線與圓的位置關(guān)系探究及應(yīng)用為例說明.

關(guān)鍵詞：直線與圓；一題多解；解析幾何

一、題目展現(xiàn)

題目：過圓C：x2+（y-2）2=4外一點(diǎn)A（2，-2）引圓的兩條切線，切點(diǎn)為E、F，求直線EF的方程.

二、思維辨析

發(fā)散思維是只從一個(gè)目標(biāo)出發(fā)，運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，沿著各種不同的途徑去思考，探求多種答案，從而獲得大量新信息的思維.

思維基點(diǎn)1——從直線方程出發(fā)

解法1 兩條切線AE、AF，其中一條AE的方程是x=2，則另一條切線的斜率一定存在，故設(shè)切線AF方程為：y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，圓心C（0，2），則=2，解得k=-，切線AF的方程為

3x+4y+2=0，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)3x+4y+2=0x2+（y-2）2=4解點(diǎn)F（-，）

故直線EF的方程為=，化簡(jiǎn)得：x-2y+2=0.

思維基點(diǎn)2——從相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)

解法2 設(shè)切點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（x1，y1），因?yàn)镃F⊥AF，且kCF=，kAF=所以·=-1x21+（y1-2）2=4，解得F（-，）.所以kEF==，EF的方程：y-2=（x-2）即x-2y+2=0.

思維基點(diǎn)3——從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)

解法3 利用過圓外一點(diǎn)做圓的切線的方法，EF視為AC為直徑的圓與已知圓相交而得到的，AC=2，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），故以AC為直徑的圓的方程為（x-1）2+y2=20，EF的方程為（x-1）2+y2=20x2+（y-2）2=4？圯2x-4y+4=0，即x-2y+2=0.

思維基點(diǎn)4——從圓的切線方程出發(fā)

過一點(diǎn)M（x0，y0）作圓（x-a）2+（y-b）2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）的切線方程為（x-a）（x0-a）+（y-b）（y0-b）=r2或x0x+y0y+D+E+F=0.

解法4 設(shè)切點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），切線AE的方程為x1x+（y1-2）（y-2）=4，切線AF的方程為x2x+（y2-2）（y-2）=4，點(diǎn)A（2，-2）在切線AE、AF上，所以2x1-4（y1-2）=4，2x2-4（y2-4）=4，即E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）的坐標(biāo)均滿足方程2x-4（y-2）=4，所以EF的方程為x-2y+2=0.

思維基點(diǎn)5——從向量間關(guān)系出發(fā)

解法5 利用向量間的位置關(guān)系⊥，設(shè)F（x1，y1），則=（x1-2，y1+2），=（x1，y1-2），因?yàn)椤?，所以x1（x1-2）+（y1+2）（y1-2）=0.由x21-2x1+y21-4=0得x1-2y1+2=0

驗(yàn)證E（2，2）也滿足方程x-2y+2=0，故x-2y+2=0為所求.

三、點(diǎn)滴體會(huì)

學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何相關(guān)內(nèi)容時(shí)，突出的一個(gè)難點(diǎn)是不能恰當(dāng)?shù)貙ⅰ靶巍钡膯栴}轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題，把“數(shù)”的問題回歸到“形”的問題中去，而這兩者間的相互轉(zhuǎn)化是解析幾何的根本。解析幾何的主要思想是用代數(shù)方程依據(jù)平面直角坐標(biāo)系研究幾何問題，將幾何圖形與代數(shù)方程建立聯(lián)系，通過研究圖形的代數(shù)方程得到代數(shù)結(jié)果，再?gòu)拇鷶?shù)結(jié)果到幾何圖形的方法就是解析幾何的精髓。本例通過多方法、多角度、多途徑、多方式解決問題的解法，目的就是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)解析幾何思想的理解提高學(xué)生處理問題的能力，感受解析幾何的魅力，使學(xué)生明白開啟腦洞會(huì)有意想不到的驚喜.

參考文獻(xiàn)：

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[2]胡守斌.淺談直線與圓位置關(guān)系題的多種解法[J].高中數(shù)理化，2012（6）：24.

？誗編輯 張珍珍