動(dòng)量守恒經(jīng)典好題賞析

■湖南省汨羅市一中

一、建立柱狀模型，應(yīng)用動(dòng)量定理解題

例1（2016年高考全國(guó)Ⅰ卷）某游樂(lè)園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計(jì)算方便起見(jiàn)，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向上水的速度變?yōu)榱悖谒椒较蛏铣闹芫鶆蛏㈤_(kāi)。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

（1）噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量。

（2）玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度。

解析

（1）在一段很短的時(shí)間Δt內(nèi)，可認(rèn)為噴出的水柱保持速度v0不變。這段時(shí)間內(nèi)，噴出的水柱的高度Δl=v0·Δt，體積ΔV=Δl·S，質(zhì)量Δm=ρ·ΔV，解得噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為。

（2）由玩具受力平衡得F沖=Mg，其中F沖為水柱對(duì)玩具底面的作用力。由牛頓第三定律可知，玩具底面對(duì)水的反作用力F壓=F沖。設(shè)玩具懸停時(shí)其底面相對(duì)于噴口的高度為h，水柱到達(dá)玩具底面時(shí)的速度為v′，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得。在一段很短的時(shí)間Δt內(nèi)，沖擊玩具底面的水柱的質(zhì)量Δm=ρv0SΔt。由題意可知，在豎直方向上，對(duì)這部分水柱應(yīng)用動(dòng)量定理得（F壓+Δm·g）Δt=Δm·v′。因?yàn)棣很小，所以Δm·g也很小，可以忽略，則F壓·Δt=Δm·v′，解得。

小結(jié)：求解“連續(xù)”質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)作用，物體動(dòng)量（其他量）連續(xù)發(fā)生變化類(lèi)問(wèn)題的思路是先正確選取研究對(duì)象，即選取很短時(shí)間Δt內(nèi)動(dòng)量（其他量）發(fā)生變化的那部分物體作為研究對(duì)象；再建立“柱狀模型”，即在時(shí)間Δt內(nèi)所選取的研究對(duì)象均分布在以S為截面積、長(zhǎng)為v·Δt的柱體內(nèi)，這部分質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量Δm=ρSvΔt，以這部分質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究它在Δt時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量（其他量）的變化情況；然后根據(jù)動(dòng)量定理（其他物理規(guī)律）求出相關(guān)物理量。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練：如圖1所示，靜止在光滑水平面上的小車(chē)質(zhì)量M=20kg。從水槍中噴出的水柱的橫截面積S=10cm2，速度v=10m/s，水的密度ρ=1×103kg/m3。若用水槍噴出的水從車(chē)后沿水平方向沖擊小車(chē)的前壁，且沖擊到小車(chē)前壁的水全部沿前壁流進(jìn)小車(chē)中。當(dāng)有質(zhì)量m=5kg的水進(jìn)入小車(chē)時(shí)，試求：

（1）小車(chē)的速度大小。

（2）小車(chē)的加速度大小。

答案：（1）2m/s；（2）2.56m/s2。

提示：（1）流進(jìn)小車(chē)的水與小車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則mv=（M+m）v1，解得v1=2m/s。（2）質(zhì)量為m的水流進(jìn)小車(chē)后，在極短的時(shí)間Δt內(nèi)，沖擊小車(chē)的水的質(zhì)量Δm=ρS（v-v1）Δt，設(shè)此時(shí)水對(duì)車(chē)的沖擊力為F，則車(chē)對(duì)水的作用力為-F，由動(dòng)量定理得-FΔt=Δmv1-Δmv，解得F=64N。由牛頓第二定律得F=（M+m）a，解得a=2.56m/s2。

二、經(jīng)典碰撞，萬(wàn)變不離其宗

例2（2015年高考全國(guó)Ⅰ卷）如圖2所示，在足夠長(zhǎng)的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，物體A位于B、C之間。物體A的質(zhì)量為m，物體B、C的質(zhì)量都為M，三者均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)使物體A以某一速度向右運(yùn)動(dòng)，求m和M之間應(yīng)滿足什么條件，才能使物體A只與B、C各發(fā)生一次碰撞。設(shè)物體間的碰撞都是彈性碰撞。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練：A、B兩物體在光滑水平面上沿同一直線運(yùn)動(dòng)，圖3表示兩物體發(fā)生碰撞前后的v-t圖像，由圖像可以判斷（ ）。

A.兩物體的質(zhì)量之比為3：2

B.兩物體碰撞前后總動(dòng)量守恒

C.兩物體碰撞前后總動(dòng)量不守恒

D.兩物體碰撞前后總動(dòng)能不變

答案：ABD

提示：兩物體碰撞前的速度分別為vA=6 m/s，vB=1 m/s，碰撞后的速度分別為vA′=2 m/s，vB′=7 m/s。兩物體碰撞前后動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′，解得mA：mB=3：2，選項(xiàng)A、B正確，C錯(cuò)誤。兩物體碰撞前的總動(dòng)能為，碰撞后的總動(dòng)能為，因此兩物體碰撞前后總動(dòng)能不變，選項(xiàng)D正確。

三、多運(yùn)動(dòng)過(guò)程問(wèn)題的綜合分析

例3（2015年高考廣東卷）如圖4所示，一條帶有圓軌道的長(zhǎng)軌道水平固定，圓軌道豎直，底端分別與兩側(cè)的直軌道相切，半徑R=0.5m，物塊A以速度v0=6m/s滑入圓軌道，滑過(guò)最高點(diǎn)Q，再沿圓軌道滑出后，與直軌道上P處?kù)o止的物塊B碰撞，碰后兩物塊粘在一起運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)左側(cè)軌道光滑，右側(cè)軌道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段長(zhǎng)度都為L(zhǎng)=0.1m，物塊與各粗糙段間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ=0.1，A、B兩物塊的質(zhì)量均為m=1kg（取重力加速度g=10 m/s2；A、B兩物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，碰撞時(shí)間極短）。

（1）求物塊A滑過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小v和受到的彈力大小F。

（2）若碰后A、B兩物塊最終停止在第k個(gè)粗糙段上，求k的數(shù)值。

（3）求碰后A、B兩物塊滑至第n個(gè)（n＜k）光滑段上的速度vn與n的關(guān)系式。

解析

小結(jié)：應(yīng)用力學(xué)三大觀點(diǎn)解題時(shí)應(yīng)注意以下四個(gè)問(wèn)題。（1）弄清有幾個(gè)物體參與運(yùn)動(dòng)，并劃分清楚各物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。（2）進(jìn)行正確的受力分析，明確各運(yùn)動(dòng)過(guò)程的特點(diǎn)。（3）若物體在光滑的平面或曲面上運(yùn)動(dòng)，或物體參與不計(jì)阻力的拋體運(yùn)動(dòng)，則機(jī)械能一定守恒；若是碰撞過(guò)程、子彈打擊木塊情景，以及不受其他外力作用的兩物體相互作用問(wèn)題，則一般考慮用動(dòng)量守恒定律求解。（4）若是含摩擦生熱問(wèn)題，則考慮用能量守恒定律求解。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練：如圖5所示，粗糙的水平面連接一個(gè)豎直平面內(nèi)的光滑半圓形軌道，其半徑R=0.1m，半圓形軌道的底端放置一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球B，水平面上有一個(gè)質(zhì)量M=0.3kg的小球A以初速度v0=4m/s向著小球B滑動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=0.8s與小球B發(fā)生彈性碰撞。兩小球均可以看成質(zhì)點(diǎn)，碰撞時(shí)間極短，已知小球A與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）兩小球碰前小球A的速度。

（2）小球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力。

（3）小球A最終所停的位置到半圓形軌道最低點(diǎn)的距離。

答案：（1）2m/s；（2）大小為4N，方向豎直向上；（3）0.2m。

四、滑塊—木板模型經(jīng)典再現(xiàn)

例4如圖6所示，在光滑的水平面上并排放著兩個(gè)相同的木塊，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=1 m，在左邊木塊的左端放一個(gè)小金屬塊，它的質(zhì)量和一個(gè)木塊的質(zhì)量相等?，F(xiàn)令金屬塊以初速度v0=2 m/s開(kāi)始向右滑動(dòng)，金屬塊與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1。取重力加速度g=10m/s2，求右邊木塊的最后速度。

解析

若金屬塊最后停在左邊的木塊上，則兩木塊和金屬塊將以相同的速度運(yùn)動(dòng)。設(shè)三者最終的共同速度為v，金屬塊最后距左邊木塊左端的距離為x，則0＜x≤L。由動(dòng)量守恒定律得mv0=3mv，由能量守恒定律得解得，說(shuō)明金屬塊最后不能停在左邊的木塊上。設(shè)金屬塊最后停在右邊的木塊上距離左端為x處，則0＜x≤L。設(shè)兩木塊最終的速度分別為v1、v2（v1＜v2），金屬塊到達(dá)左邊木塊右端時(shí)的速度為v0′，由動(dòng)量守恒定律得mv0=mv0′+2mv1，mv0=mv1+2mv2，由能量守恒定律得，說(shuō)明金屬塊最后停在右邊的木塊上，且右邊木塊的最后速度。

小結(jié)：滑塊—木板模型可分為兩類(lèi)，即單一滑塊模型和多個(gè)滑塊模型。求解單一滑塊模型問(wèn)題主要運(yùn)用牛頓第二定律、動(dòng)能定理或動(dòng)量定理等進(jìn)行分析。求解多個(gè)滑塊模型問(wèn)題應(yīng)著重分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確它們之間的時(shí)間、空間關(guān)系，并注意臨界、隱含和極值等條件，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律或能量守恒定律等進(jìn)行分析。

現(xiàn)學(xué)現(xiàn)練：如圖7所示，質(zhì)量m1=0.3kg的小車(chē)靜止在光滑的水平面上，車(chē)長(zhǎng)L=15m，現(xiàn)有質(zhì)量m2=0.2kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），以水平向右的初速度v0=2 m/s從左端滑上小車(chē)，最后在車(chē)面上某處與小車(chē)保持相對(duì)靜止。已知物塊與車(chē)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2。

（1）求物塊在車(chē)面上滑行的時(shí)間t。

（2）要使物塊不從小車(chē)右端滑出，物塊滑上小車(chē)左端的初速度v0′不超過(guò)多少？

答 案：（1）t=0.24 s；（2）。