探索如何提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育

郭聰沖　徐菊

摘要：本文主要從教學(xué)解決學(xué)生心理障礙、教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容、教學(xué)貼近生活、教學(xué)借助建模思想、教學(xué)引入課堂討論環(huán)節(jié)這五個(gè)方面系統(tǒng)闡述如何從教學(xué)上改進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教育，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、空間想象力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、數(shù)學(xué)建模能力、合作探究能力，從而激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，變害怕數(shù)學(xué)為喜歡數(shù)學(xué)，進(jìn)而提高大學(xué)數(shù)學(xué)的整體教育水平和教育質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育；心理學(xué)；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)建模；課堂討論

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）44-0242-03

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間等概念的一門學(xué)科。大學(xué)數(shù)學(xué)教育普遍指非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科數(shù)學(xué)教育，一般包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等，區(qū)別于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)具有抽象性、精確性和應(yīng)用廣泛性等特點(diǎn)。

學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)不僅有助于提高邏輯思維能力，更有助于理工科學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深造，但是在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生都會(huì)望而卻步，普遍感覺入門難、掌握難、使用難，究其根本原因在于大學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)具有明顯不同，學(xué)生無所適從。相較于初等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象是數(shù)和形這類容易理解的定義，大學(xué)數(shù)學(xué)主要研究的是極限、微分、積分、矩陣這些抽象的定義，學(xué)生不僅理解困難而且由于知識(shí)點(diǎn)眾多，導(dǎo)致記了這個(gè)忘了那個(gè)，又或是將一些定義定理混淆，似是而非，難以達(dá)成理想的教學(xué)效果。

鑒于大學(xué)數(shù)學(xué)的重要性，我們主要從以下幾個(gè)方面對(duì)如何提高大學(xué)數(shù)學(xué)教育進(jìn)行了探索和研究。

一、教學(xué)解決學(xué)生心理障礙

高等數(shù)學(xué)面對(duì)的對(duì)象大部分是剛踏入大學(xué)的新生，這些學(xué)生普遍對(duì)教師抱有類似高中時(shí)代的依賴心理，缺乏主動(dòng)鉆研精神。在考慮問題上過度依賴教師，期望教師對(duì)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，沒有自己獨(dú)立思考。在動(dòng)手解題上依賴教師，期望教師詳細(xì)地示范解題過程，不愿意自己解答，喪失了學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，從而導(dǎo)致了學(xué)習(xí)效率低下、錯(cuò)誤率提高、興趣減少，進(jìn)而產(chǎn)生害怕數(shù)學(xué)、厭惡數(shù)學(xué)的情緒，最終導(dǎo)致不愿意學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了心理障礙。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理障礙不僅包括學(xué)生的主觀因素也包括了教師教學(xué)的客觀因素。教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，其授課方式、言行舉止、價(jià)值取向會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生重要的導(dǎo)向作用，在某種意義上可以說是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理障礙的關(guān)鍵因素。高等數(shù)學(xué)由于定理內(nèi)容艱深，為了能夠呈現(xiàn)公式計(jì)算推導(dǎo)過程，必須要通過板書的形式，在黑板中展開教學(xué)。教師可以通過板書再輔以多媒體教學(xué)，理論聯(lián)系實(shí)際，多通過舉例說明等方法來培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。比如在學(xué)習(xí)二次曲面相關(guān)知識(shí)的時(shí)候可以給學(xué)生演示橢球面、雙曲面、拋物面，讓學(xué)生有更直觀的認(rèn)識(shí)從而理解相關(guān)定義和性質(zhì)。教師在教學(xué)過程中也要加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，比如在學(xué)習(xí)極限內(nèi)容之前，教師可以給學(xué)生介紹阿基里斯悖論（又名芝諾悖論）來先激發(fā)學(xué)生的興趣，提出這個(gè)悖論與中國(guó)古代莊子的“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！庇惺裁礃拥穆?lián)系，進(jìn)一步的教師可以提出0.999…與1之間的大小關(guān)系是什么。通過這樣3個(gè)簡(jiǎn)單有趣的例子，很容易調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，解決學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理障礙。

二、教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容

目前的大學(xué)數(shù)學(xué)教育大部分局限于課本的知識(shí)，學(xué)生在面對(duì)大量“枯燥”“乏味”的定義、定理、推論、命題、證明、計(jì)算的時(shí)候不知所措，昏頭轉(zhuǎn)向，無所適從，整體課堂質(zhì)量大打折扣。教師在上課的時(shí)候，應(yīng)該對(duì)相關(guān)內(nèi)容所涉及到的數(shù)學(xué)文化予以說明和講解。作為一門有著最悠久歷史的學(xué)科，數(shù)學(xué)的思想、方法、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的美以及數(shù)學(xué)在推進(jìn)社會(huì)進(jìn)步方面的作用并未得到應(yīng)有的重視。教師在授課中加入相關(guān)的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史不但可以調(diào)節(jié)課堂氣氛而且可以讓學(xué)生知道其理論產(chǎn)生的背景以及后面隱藏的數(shù)學(xué)的美，從而提高課堂整體教學(xué)質(zhì)量。比如在講授解析幾何相關(guān)內(nèi)容的時(shí)候可以適當(dāng)介紹幾何的公理化理論，向?qū)W生講解關(guān)于歐幾里得相關(guān)知識(shí)，并且提出“過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與之平行”這條公理是否正確？進(jìn)一步引出非歐幾何，包括黎曼幾何和羅氏幾何，而黎曼幾何又成為了愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對(duì)論的有力數(shù)學(xué)工具。這些不僅讓學(xué)生可以站在更高的角度看待所學(xué)知識(shí)，更激發(fā)學(xué)生的求知欲，同時(shí)又與最時(shí)髦的廣義相對(duì)論聯(lián)系起來，讓學(xué)生覺得學(xué)有所用。又比如在講授高等數(shù)學(xué)的微分方程章節(jié)的時(shí)候可以適當(dāng)介紹偏微分方程的定義，特別是發(fā)展出現(xiàn)代的電力科技與電子科技的Maxwell方程組以及流體力學(xué)的基本方程N(yùn)avier-Stokes方程，通過對(duì)這些方程的簡(jiǎn)單介紹可以讓學(xué)生清楚地了解到微分方程的本質(zhì)問題：解的存在性、唯一性、適定性。又比如在學(xué)習(xí)幾何維數(shù)的時(shí)候，可以通過介紹Koch曲線引入分?jǐn)?shù)維定義和分形概念，同時(shí)利用多媒體讓學(xué)生視覺感受到分形圖形在藝術(shù)上的美，甚至可以讓學(xué)生自己動(dòng)手利用MATLAB軟件“畫出”分形圖畫，學(xué)會(huì)去用幾何描述大自然。

這些介紹不僅可以促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)歷史，欣賞數(shù)學(xué)的美感，還能讓學(xué)生真正地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，讓學(xué)生理解學(xué)科之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的興趣。

三、教學(xué)貼近生活

大學(xué)數(shù)學(xué)作為一門高度抽象的學(xué)科，有別于初等數(shù)學(xué)，對(duì)于一些定義和定理學(xué)生很難有直觀的認(rèn)識(shí)，這些也是大學(xué)數(shù)學(xué)難學(xué)的主要因素。如果教師在教學(xué)過程設(shè)計(jì)中能夠貼近生活，把學(xué)生熟悉的、現(xiàn)實(shí)中的例子引入數(shù)學(xué)課堂中，則一定能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生記得更牢，學(xué)得有趣，用得上手。要達(dá)到這種效果首先要求教師對(duì)于定義和定理本身有足夠的認(rèn)識(shí)。不僅知道為什么這么定義，還要了解定理的各種應(yīng)用。比如在講授函數(shù)極值這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，大部分學(xué)生會(huì)將極值與最值定義混淆。教師可以用連綿的山峰來表示閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)曲線，讓學(xué)生將極值與山腳和山頂聯(lián)系起來，這樣不同的山腳和山頂，對(duì)應(yīng)的表示不同的極值，故極值不是唯一；最值表示的是最高的山和最矮的山腳，所以極值是局部的最值，最值一定是極值反之不然。又如在講授如何判斷兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)是相等這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可以以同學(xué)和班級(jí)的座椅為例，讓學(xué)生思考：如何不通過數(shù)數(shù)字判斷兩者的數(shù)量；進(jìn)一步的當(dāng)集合元素個(gè)數(shù)為無窮多個(gè)的時(shí)候，可以以希爾伯特旅館為例：有一家旅館，內(nèi)設(shè)無限個(gè)房間，而所有的房間都已客滿。這時(shí)來了一位新客，想訂個(gè)房間，讓學(xué)生設(shè)想自己是旅館老板，問可否安排新客人入住？怎么安排？通過精心的教學(xué)課程設(shè)計(jì)，引入學(xué)生生活中的實(shí)際例子和問題，讓定理和定義更貼近生活，使數(shù)學(xué)內(nèi)容具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景，使數(shù)學(xué)課堂不再是只有枯燥的定義定理，讓學(xué)生知其然，更知其所以然，感到數(shù)學(xué)無處不在。

四、教學(xué)借助數(shù)學(xué)建模思想

學(xué)了大學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？相信這是大多數(shù)學(xué)生的困惑，也是大多數(shù)教師面臨的棘手的問題?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為數(shù)學(xué)具有科學(xué)方法論的屬性，數(shù)學(xué)思想方法是人們研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、解決問題的重要策略。如何將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活問題，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)非常好的解決方案，它建立起了數(shù)學(xué)理論知識(shí)與應(yīng)用之間的橋梁。最著名的利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題當(dāng)屬歐拉在面對(duì)“七橋問題”時(shí)將橋看成線，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線相連的數(shù)學(xué)一筆作畫問題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，由于過于強(qiáng)調(diào)完整性和系統(tǒng)性，導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)。如何解決學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)問題，可以借鑒以下步驟將數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)中去：首先，通過多媒體技術(shù)或情境展示等手段，向?qū)W生提供現(xiàn)實(shí)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生分析、發(fā)現(xiàn)、提出其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題；其次，根據(jù)問題的特征和需要，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，用較精確的數(shù)學(xué)語言提出解決問題的假設(shè)；再次，組織學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索，建立數(shù)學(xué)模型，最后驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性做進(jìn)一步的推廣。通過這幾個(gè)步驟不僅可以提高學(xué)生的認(rèn)知，將建立的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到實(shí)際生活中，從數(shù)學(xué)的角度解決較為復(fù)雜的生活問題，使原本復(fù)雜的問題得以簡(jiǎn)化，而且能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處。比如在學(xué)習(xí)帶初值常微分方程解法的時(shí)候，可以借助數(shù)學(xué)建模的傳染病模型，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)可以輔助政府進(jìn)行防疫工作；又比如在學(xué)習(xí)均值的假設(shè)檢驗(yàn)的時(shí)候，可以借助數(shù)學(xué)建模的方差分析模型，讓學(xué)生知道不同的化肥和小麥品種對(duì)產(chǎn)量的影響。

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中個(gè)引入數(shù)學(xué)建模不僅可以培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決問題，更可以提高學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，更加容易理解大學(xué)數(shù)學(xué)，增加學(xué)習(xí)興趣。

五、教學(xué)引入課堂討論環(huán)節(jié)

筆者在從教中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思考問題的時(shí)候往往是單兵作戰(zhàn)，相互之間沒有“合作探究”的意識(shí)。在教學(xué)中引入課堂討論環(huán)節(jié)，不僅能夠快速抓住學(xué)生的注意力，活躍課堂氣氛，而且有利于保持學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和課堂效率的提升，更有利于學(xué)生之間的思想碰撞。課堂討論環(huán)節(jié)主要包含以下5個(gè)步驟：劃分小組、設(shè)計(jì)問題、組織討論、總結(jié)發(fā)言、教師評(píng)價(jià)。教師要熟悉班級(jí)每個(gè)同學(xué)的學(xué)習(xí)水平，正視個(gè)別差異，貼近學(xué)生實(shí)際，科學(xué)分組（以3—5人為佳），同時(shí)在每個(gè)小組中指定負(fù)責(zé)人。通過對(duì)教材的深度挖掘，合理設(shè)計(jì)問題，在討論過程中應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多想、多問、多交流，同時(shí)要觀察、跟蹤每個(gè)小組討論進(jìn)展，在小組負(fù)責(zé)人給出總結(jié)發(fā)言后，教師要對(duì)學(xué)生的總結(jié)發(fā)言以肯定為主，給予正面評(píng)價(jià)。比如在學(xué)習(xí)如何計(jì)算不定積分的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，熟練掌握第一換元法、第二換元法等不同的積分方法；在學(xué)習(xí)如何計(jì)算逆矩陣的時(shí)候，分組討論可以幫助學(xué)生熟練掌握伴隨矩陣、初等變換、分塊矩陣等不同的概念和方法。在教學(xué)中引入課堂討論環(huán)節(jié)，學(xué)生在參與討論的時(shí)候，可以形成自己獨(dú)特的見解與認(rèn)知，通過學(xué)生之間的交流、討論、分析增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解，又可以培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)和交流能力。

通過心理、文化、生活、建模、討論這五個(gè)方面對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行探索和改進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、空間想象力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、數(shù)學(xué)建模能力、合作探究能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，變害怕數(shù)學(xué)為喜歡數(shù)學(xué)，進(jìn)而提高大學(xué)數(shù)學(xué)的整體教育水平和教育質(zhì)量。

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Abstract：This paper is trying to state specifically from five aspects which are solving students'psychological problems during the course of teaching，absorbing mathematical culture in teaching，making teaching close to life，making use of model thinking and adding seminar in teaching to discuss how to improve university mathematics teaching and how to develop students'logical ability，space imagination，mathematics calculation，mathematics expression，mathematics modeling ability and cooperation so that to inspire students'learning interests and courage them to love studying mathematics and by this way to improve the university mathematical education and teaching quality.

Key words：mathematics education；psychology；mathematics culture；mathematical modeling；class discussing