Stratified群上與Schr?dinger算子相聯(lián)系的Riesz變換的Lp估計*

賀凱莉，田曉曉

(1.廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣東 廣州 510006；2.中山大學數(shù)學學院，廣東 廣州 510275)

當2≤j≤s時，選取基{Xij}，1≤i≤kj,使得Vj由長度為j的交換子構(gòu)成，令k1=m,Xi1=Xi，i=1,…,m，并稱Xi1為長度為1的交換子。

g=exp(∑xijXij)

δr(g)=exp(∑rjxijXij) 若g=exp(∑xijXij)

Bcc(x,r)={y:ρcc(x,y)

注意到ρcc與齊次范數(shù)|·|誘導的距離函數(shù)d(x,y)=|x-1y|在下述意義下等價

C1d(x,y)≤ρcc(x,y)≤C2d(x,y)

ρcc(zx,zy)=ρcc(x,y)，

Bcc(x,r)=xBcc(0,r)

且

d(zx,zy)=d(x,y)，

D(x,r)=xD(0,r)

考慮帶位勢V(x)的次橢圓Schr?dinger算子

(1)

的基本解，亦即半群etΔG,t>0的核，小于

(2)

(3)

定義二次型Q如下

其定義域為

注意到L的定義域為

對k=1,…,m，算子XkL-1/2稱為與L相聯(lián)系的Riesz變換。易驗證

(4)

本文的主要目的是證明如下定理。

進一步由內(nèi)插定理知對任意的1

貫穿全文，字母“c”表示不依賴于基本變量的(數(shù)值可能不同的)常數(shù)。

1 預備知識

(5)

由文[2]中定理7.1知，對于任意的0<α<∞，

(6)

(7)

見文[10]。

的閉包。

下面我們介紹Stratified群G上與Schr?dinger算子L相聯(lián)系的(1,2)-原子。

(a) suppa(x)?B(x0,rB);

(b) supp (L-1a)(x)?B(x0,rB);

(8)

接下來，對于s>0定義函數(shù)族：

(9)

上述估計(3)和(9)將在后文中扮演重要的角色。

2 定理1的證明

(10)

為證明定理1，我們建立如下關(guān)于Xkpt(x,y)的加權(quán)估計。

(11)

且將被積項Xkpt(x,y)依次替換成

有

II1-II2

由于ψ具有緊支集，從而

我們可將II1寫為

注意到0≤V且0≤ψ，故

因此，對任意常數(shù)β0使得

(12)

為估計項II2，將其重寫為

顯然

J1(ψ)+J2(ψ)

為估計上述首項J1(ψ)，結(jié)合式(10)和Cauchy-Schwarz不等式得

再結(jié)合式(12)可得，存在不依賴于ψ的常數(shù)c>0，使得

(13)

若將被積項Xkpt(x,y)替換成V1/2pt(x,y)，由于相應的積分表達式

可改寫為

易驗證對上式亦可建立如式(11)所示的上界估計。

(14)

(15)

進一步，由表達式

可計算得

I+II

(16)

類似地，

(17)

另一方面，由定義2中性質(zhì)(c)知使用該估計并結(jié)合式(16)和(17)，由積分計算可知式(15)成立。

利用和上述相類似的論證方法，易驗證將XkL-1/2替換成V1/2L-1/2時，式(15)仍成立，此處不再贅述。故定理1得證。