g-期望的凸性及其應(yīng)用*

紀(jì)榮林，周津名

(1. 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

為了克服金融風(fēng)險(xiǎn)度量方法VaR的先天性缺陷，Artzner-Delbaen-Eber-Heath[1-2]首次通過(guò)公理化假設(shè)的方法開(kāi)創(chuàng)性地引入了一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的概念，隨后 F?llmer-Schied[3]和 Frittelli-Rosazza Gianin[4]分別獨(dú)立地提出凸風(fēng)險(xiǎn)度量的定義，即用條件較弱的凸性取代一致性風(fēng)險(xiǎn)度量公理化體系中的正齊次性和次可加性。 Detlefsen-Scandolo[5]引入了條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量的定義，獲得了條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量可表示的充分必要性條件；進(jìn)一步地，給出了動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量定義并研究其時(shí)間相容性條件的等價(jià)刻畫(huà)。關(guān)于動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的相關(guān)文章請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[6-9]等。眾所周知，這種公理化的風(fēng)險(xiǎn)度量理論與非線性數(shù)學(xué)期望之間存在著緊密的聯(lián)系。1997年，山東大學(xué)彭實(shí)戈院士通過(guò)非線性倒向隨機(jī)微分方程的解引入了g-期望和條件g-期望的概念[10-11]。g-期望是一類典型的域流相容的非線性數(shù)學(xué)期望。Rosazza Gianin[12]將g-期望理論與公理化的金融風(fēng)險(xiǎn)度量結(jié)合起來(lái)，通過(guò)條件g-期望誘導(dǎo)出條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量，進(jìn)而通過(guò)g-期望誘導(dǎo)出一類時(shí)間相容的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量。Jiang[13]通過(guò)應(yīng)用其所獲得的倒向隨機(jī)微分方程生成元的表示定理，系統(tǒng)性地建立了g-期望所誘導(dǎo)的 (動(dòng)態(tài)) 凸風(fēng)險(xiǎn)度量與生成元函數(shù)g之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。進(jìn)一步地，Delbaen-Peng-Rosazza Gianin[14]應(yīng)用g-期望所誘導(dǎo)的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的表示結(jié)果給出了一類時(shí)間相容的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量(動(dòng)態(tài)凹效用)的表示結(jié)果。

需要指出的是, Jiang[13]中動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的公理化假設(shè)，特別是在條件凸性假設(shè)上, 與 Detlefsen-Scandolo[5]是不一致的。由此，一個(gè)自然的問(wèn)題是：在g-期望的框架下，關(guān)于動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的這兩種定義方式是否是一致的？在倒向隨機(jī)微分方程生成元滿足基本假設(shè)條件的前提下，本文致力于研究 g-期望的凸性、條件凸性與生成元函數(shù)g之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而證明這兩種定義方式在g-期望框架下是等價(jià)的；進(jìn)一步地，研究了g-期望與其誘導(dǎo)的時(shí)間相容的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)T是一個(gè)給定的正實(shí)數(shù)，(Bt)t≥0是概率空間(Ω,F,P)上的d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，(Ft)t≥0是由該布朗運(yùn)動(dòng)生成的完備的σ域流。對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，記|·|為Rn中 Euclid 范數(shù)；對(duì)任意的z1,z2∈Rn，記z1·z2為向量z1與z2的內(nèi)積；記L2(Ω,Ft,P)為Ft-可測(cè)且平方可積的隨機(jī)變量全體; 記L∞(Ω,Ft,P)為Ft-可測(cè)且本性有界的隨機(jī)變量全體。

考慮如下形式的一維倒向隨機(jī)微分方程：

若生成元函數(shù)g:[0,T]×Ω×R×Rd→R滿足下述假設(shè)條件 (A1) 和 (A2):

(A1) (Lipschitz條件) 存在常數(shù)K≥0使得dP×dt-a.s., 對(duì)任意的(y1,z1),(y2,z2)∈R×Rd有

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤

K(|y1-y2|+|z1-z2|)

(A3) dP×dt-a.s., 對(duì)任意的y∈R有g(shù)(t,y,0)=0。

則由Pardoux-Peng[10]知, 對(duì)任意的ξ∈L2(Ω,FT,P), 上述倒向隨機(jī)微分方程存在唯一一對(duì)平方可積的適應(yīng)解，記為(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T]。進(jìn)一步地，若生成元函數(shù)g還滿足假設(shè)條件(A3)，Peng[11]用Eg[ξ]表示Y0(g,T,ξ)，稱Eg[ξ]為ξ的g-期望；用Eg[ξ|Ft]表示Yt(g,T,ξ)，并稱Eg[ξ|Ft]為ξ關(guān)于Ft的條件g-期望。

接下來(lái)，我們引入本文的重要的引理，下述引理來(lái)自文獻(xiàn)[13]的定理3.2。

引理1 設(shè)生成元g滿足 (A1) 和 (A3)，則以下陳述等價(jià)：

(i)g獨(dú)立于y且關(guān)于z是凸的，即對(duì)任意的z1,z2∈Rd，λ∈[0,1]，有

g(t,λz1+(1-λ)z2)≤

λg(t,z1)+(1-λ)g(t,z2),

dP×dt-a.s.

(ii) 對(duì)任意的X,Y∈L2(Ω,FT,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y]≤

λEg[X]+(1-λ)Eg[Y]

(iii) 對(duì)任意的t∈[0,T],X,Y∈L2(Ω,FT,P),λ∈[0,1], 有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

為方便讀者起見(jiàn)，我們回顧文獻(xiàn)[5]中動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的公理化定義，如下：

定義1 稱ρs,t(·):L∞(Ω,Ft,P)→L∞(Ω,Fs,P)，0≤s≤t≤T，為條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量，若其在P-a.s.意義下滿足：

(i) 單調(diào)性: 若X≥Y, 則ρs,t(X)≤ρs,t(Y)。

(ii) 平移不變性: 對(duì)任意的Y∈L∞(Ω,Fs,P), 有ρs,t(X+Y)=ρs,t(X)-Y。

(iii) 條件凸性: 對(duì)任意的λ∈L∞(Ω,Fs,P),λ∈[0,1],有

ρs,t(λX+(1-λ)Y)≤λρs,t(X)+(1-λ)ρs,t(Y)

(iv) 標(biāo)準(zhǔn)化:ρs,t(0)=0。

定義2 稱 (ρs,t)0≤s≤t≤T為動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量，若其對(duì)任意的0≤s≤t≤T，ρs,t(·)均為條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量。進(jìn)一步地，稱動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量(ρs,t)0≤s≤t≤T是時(shí)間相容的，若對(duì)任意的r∈[s,t]，X∈L∞(Ω,Ft,P)，有

ρs,t(X)=ρs,r(-ρr,t(X))

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)生成元g滿足 (A1) 和 (A3), 則以下陳述等價(jià)：

(i)g獨(dú)立于y且關(guān)于z是凸的, 即對(duì)任意的z1,z2∈Rd，λ∈[0,1]，有

g(t,λz1+(1-λ)z2)≤

λg(t,z1)+(1-λ)g(t,z2),dP×dt-a.s.

(ii)Eg[·]滿足凸性，即對(duì)任意的X,Y∈L∞(Ω,FT,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y]≤λEg[X]+(1-λ)Eg[Y]

(iii)Eg[·|Ft] 滿足條件凸性, 即對(duì)任意的t∈[0,T],X,Y∈L∞(Ω,FT,P),λ∈L∞(Ω,Ft,P),λ∈[0,1], 有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

證明(iii)?(ii)是顯然的。由引理1易證(ii)?(i)成立。下證 (i)?(iii)。首先, 考慮參數(shù)λ是簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)的情形，即

故對(duì)任意的 (y,z)∈R×Rd，

1Aig(t,y,z)=g(t,1Aiy,1Aiz),i=1,2,…,N

注意到對(duì)每一個(gè)i, 均有

從而

類似可得

Yt=λX+(1-λ)Y+

對(duì)每一個(gè)i=1,2,…,N，注意到g是獨(dú)立于y且關(guān)于z是凸的, 結(jié)合x(chóng)i∈[0,1], 可得

由g-期望的定義及倒向隨機(jī)微分方程的比較定理立得

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft]

接下來(lái)，考慮一般情形下的參數(shù)λ。對(duì)任意的λ∈L∞(Ω,Ft,P),λ∈[0,1]，選取L∞(Ω,Ft,P)中收斂于λ的簡(jiǎn)單函數(shù)列{λi}，其中對(duì)每一i，λi∈L∞(Ω,Ft,P)，λi∈[0,1]。由倒向隨機(jī)微分方程解的連續(xù)依賴性(參閱Peng[11])知

EP[|Eg[λiX+(1-λi)Y|Ft]-

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]|2]≤

CT,KEP[|(λi-λ)(X-Y)|2]→0

其中，CT,K為僅依賴于T,K的非負(fù)常數(shù)。故對(duì)任意的t∈[0,T]，X,Y∈L∞(Ω,FT,P)，λ∈L∞(Ω,Ft,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

證畢。

易驗(yàn)證, 對(duì)任意的X,Y∈L2(Ω,FT,P), 定理 1 中的論斷依然成立, 結(jié)合引理1立得下述命題, 從而說(shuō)明在g-期望的框架下, Jiang[13]中動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量的公理化假設(shè)與Detlefsen-Scandolo[5]是完全一致的。

命題1 設(shè)生成元g滿足 (A1) 和 (A3)，則以下陳述等價(jià)：

(i)Eg[·]是凸g-期望，即對(duì)任意的X,Y∈L2(Ω,FT,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y]≤

λEg[X]+(1-λ)Eg[Y]

(ii)Eg[·|Ft]滿足條件凸性，即對(duì)任意的t∈[0,T]，X,Y∈L2(Ω,FT,P)，λ∈L2(Ω,Ft,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

接下來(lái), 我們探討g-期望與其誘導(dǎo)的時(shí)間相容的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

定理2 設(shè)生成元g滿足 (A1) 和 (A3)。對(duì)任意的0≤s≤t≤T，令

則以下陳述等價(jià):

(i)Eg[·]是凸g-期望。

(ii) (ρs,t)0≤s≤t≤T是時(shí)間相容的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量，且對(duì)任意的0≤s≤t≤T，ρs,t滿足從上連續(xù)性，即若Xn↓X,P-a.s.，則ρs,t(Xn)↑ρs,t(X),P-a.s.

證明首先, 我們證明 (ii)?(i)成立。事實(shí)上，由(ρs,t)0≤s≤t≤T是動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量知，對(duì)任意的t∈[0,T],ρt,T為條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量。特別地，ρ0,T為凸風(fēng)險(xiǎn)度量。從而由凸風(fēng)險(xiǎn)度量的公理化定義知，對(duì)任意的X,Y∈L∞(Ω,FT,P),λ∈[0,1]，有

ρ0,T(λX+(1-λ)Y)≤

λρ0,T(X)+(1-λ)ρ0,T(Y)

結(jié)合ρ0,T(X)=Eg[-X|F0]=Eg[-X],?X∈L∞(Ω,FT,P)，得

Eg[λ(-X)+(1-λ)(-Y)]≤

λEg[-X]+(1-λ)Eg[-Y],

?X,Y∈L∞(Ω,FT,P)

即Eg[·]是凸g-期望。

下證 (i)?(ii)成立。對(duì)任意的0≤s≤t≤T，由定理 1 知生成元g獨(dú)立于y且關(guān)于z是凸的，且條件g-期望Eg[·|Fs]滿足條件凸性。進(jìn)一步地，結(jié)合倒向隨機(jī)微分方程的比較定理、解的存在唯一性，Peng[11]g-期望的平移不變性、保常數(shù)性、連續(xù)依賴性等，可知Eg[·|Fs] 在P-a.s. 意義下滿足下述性質(zhì)：

(a) 對(duì)任意的X,Y∈L∞(Ω,Ft,P), 若X≥Y, 則Eg[X|Fs]≥Eg[Y|Fs]。

(b) 對(duì)任意的X∈L∞(Ω,Ft,P),Y∈L∞(Ω,Fs,P), 有

Eg[X+Y|Fs]=Eg[X|Fs]+Y

(c) 對(duì)任意的X∈L∞(Ω,Ft,P),Y∈L∞(Ω,Fs,P),λ∈[0,1],有

Eg[λX+(1-λ)Y|Fs]≤

λEg[X|Fs]+(1-λ)Eg[Y|Fs],P-a.s.

(d)Eg[0|Fs]=0。

(e) 對(duì)任意的X∈L∞(Ω,Ft,P),r∈[s,t], 有

Eg[Eg[X|Fr]|Fs]=Eg[X|Fr∧s]=Eg[X|Fr]

(f) 若Xn,X∈L∞(Ω,Ft,P)且Xn→X, 則Eg[Xn|Fs]→Eg[X|Fs]。

由ρs,t(X)=Eg[-X|Fs],X∈L∞(Ω,Ft,P), 結(jié)合性質(zhì) (a)-(d) 可知ρs,t為條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量, 且由性質(zhì) (a) 和 (f) 得，條件凸風(fēng)險(xiǎn)度量ρs,t滿足從上連續(xù)性。進(jìn)一步地，由時(shí)間參數(shù)s和t選取的任意性知，(ρs,t)0≤s≤t≤T是動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量，從而由性質(zhì) (e) 立得 (ρs,t)0≤s≤t≤T是時(shí)間相容的動(dòng)態(tài)凸風(fēng)險(xiǎn)度量。證畢。