沈海雙,衛(wèi)雪梅,劉成霞,馮兆永
(1. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510520;2. 南方醫(yī)科大學(xué)口腔醫(yī)院,廣東 廣州 510280;3. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510275)
在20世紀(jì)70年代,Greenspan[1-2]提出早期腫瘤的生長(zhǎng)規(guī)律是可描述為偏微分方程組的自由邊界問(wèn)題。Friedman等[3]開(kāi)創(chuàng)性地研究了無(wú)死核腫瘤的第一邊界問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型;Cui等[4]考慮了帶抑制物的模型;Friedman等[5-6]則研究了無(wú)死核腫瘤的第三邊界問(wèn)題。這些文章用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析,分析了穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性,整體解的存在唯一性和解的漸近性態(tài)。文獻(xiàn)[7-8]則應(yīng)用拋物型方程的Lp理論、Schauder估計(jì)、比較原理、Banach不動(dòng)點(diǎn)定理和延拓法,證明了模型整體解的存在唯一性。
在文獻(xiàn)[9]中,Byrne 和Chaplain 在腫瘤形狀為球形并且腫瘤有壞死核的條件下,提出來(lái)下述在營(yíng)養(yǎng)物作用下腫瘤生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型:
根據(jù)文獻(xiàn)[9],初邊值為:
在文獻(xiàn)[9-10]中:
為方便研究,取μ0=1并采用變量替換:
則模型簡(jiǎn)化為:
0
(1)
(2)
(3)
σ(r,t)=σ0, 0≤r≤ρ(t),t>0
(4)
(5)
(6)
(7)
σ(r,0)=σ0, 0≤r≤ρ(0)
(8)
假設(shè)(σs(r),ρs,Rs)是模型(1)-(8)的穩(wěn)態(tài)解,即滿足以下方程:
(9)
(10)
(11)
σs(r,t)=σ0, 0≤r≤ρs
(12)
(13)
(14)
顯然有
(15)
再根據(jù)式(6),得
(16)
注1 模型(1)-(8)的穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性等價(jià)于式(15)-(16)解的存在唯一性。
故本文旨在研究式(15)-(16)解的存在唯一性,其主要結(jié)論為:
定理1 當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),由式(17)確定的ζ滿足ζ′<0。
則式(15)-(16)存在唯一解。其中的ξ,η,ζ,ξ1,C(ξ1),ξ3的具體表達(dá)式參見(jiàn)下一節(jié)。
為敘述方便,引進(jìn)一些符號(hào):
(iii)A1=a4coshξ+sinhξ-a3a4,
A2=a4ξcoshξ+ξsinhξ+a4sinhξ-2a3a4ξ,
A3=ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ-a3a4ξ2
因此,式(15)-(16)可分別等價(jià)為:
A1ζ2+A2ζ+A3=0
(17)
ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+
(18)
并設(shè)
f(ξ)=ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+
(19)
我們給出幾個(gè)預(yù)備引理:
引理2 (i) 當(dāng)1 證明(i) 當(dāng)1 故引理2均得證。 引理3 存在0<ξ1<ξ2<ξ3,使得B1(ξ1)=B2(ξ2)=B3(ξ3)=a3,即 A1(ξ1)=A2(ξ2)=A3(ξ3)=0 根據(jù)引理2、引理3可知滿足式(15)-(16)的ξ∈(ξ1,ξ3)。 注2 引入簡(jiǎn)記符號(hào) C(ξ3)= 證明當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),即a3a4 a4ξsinhξ-2a3a4> ξcoshξ+sinhξ+2a4coshξ+a4ξsinhξ- 2a4coshξ-2sinhξ= ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ>0 證明 由于 證明當(dāng)ξ=ξ3時(shí),A1>0,A2>0,A3=0,有 定理1的證明以下分三種情況證明: (i) 當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ2)時(shí),對(duì)式(17)式兩邊求導(dǎo),可得 即 故有 綜上所述,且ζ′顯然連續(xù),故當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),由式(17)確定的ζ滿足ζ′<0。 定理2的證明:由定理1可知當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),ζ′<0,故 定理3的證明:式(19)可改寫(xiě)為 (20) 由引理6,得 又 結(jié)合引理5,可知 因此,式(15)-(16)式至少存在一個(gè)解。 因此,式(15)-(16)存在唯一解。2 穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性