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    具有第三邊界壞死核腫瘤數(shù)學(xué)模型穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性*

    2018-10-09 02:46:52沈海雙衛(wèi)雪梅劉成霞馮兆永
    關(guān)鍵詞:邊界問(wèn)題數(shù)學(xué)模型穩(wěn)態(tài)

    沈海雙,衛(wèi)雪梅,劉成霞,馮兆永

    (1. 廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510520;2. 南方醫(yī)科大學(xué)口腔醫(yī)院,廣東 廣州 510280;3. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510275)

    在20世紀(jì)70年代,Greenspan[1-2]提出早期腫瘤的生長(zhǎng)規(guī)律是可描述為偏微分方程組的自由邊界問(wèn)題。Friedman等[3]開(kāi)創(chuàng)性地研究了無(wú)死核腫瘤的第一邊界問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型;Cui等[4]考慮了帶抑制物的模型;Friedman等[5-6]則研究了無(wú)死核腫瘤的第三邊界問(wèn)題。這些文章用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析,分析了穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性,整體解的存在唯一性和解的漸近性態(tài)。文獻(xiàn)[7-8]則應(yīng)用拋物型方程的Lp理論、Schauder估計(jì)、比較原理、Banach不動(dòng)點(diǎn)定理和延拓法,證明了模型整體解的存在唯一性。

    在文獻(xiàn)[9]中,Byrne 和Chaplain 在腫瘤形狀為球形并且腫瘤有壞死核的條件下,提出來(lái)下述在營(yíng)養(yǎng)物作用下腫瘤生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型:

    根據(jù)文獻(xiàn)[9],初邊值為:

    在文獻(xiàn)[9-10]中:

    為方便研究,取μ0=1并采用變量替換:

    則模型簡(jiǎn)化為:

    00

    (1)

    (2)

    (3)

    σ(r,t)=σ0, 0≤r≤ρ(t),t>0

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    σ(r,0)=σ0, 0≤r≤ρ(0)

    (8)

    假設(shè)(σs(r),ρs,Rs)是模型(1)-(8)的穩(wěn)態(tài)解,即滿足以下方程:

    (9)

    (10)

    (11)

    σs(r,t)=σ0, 0≤r≤ρs

    (12)

    (13)

    (14)

    顯然有

    (15)

    再根據(jù)式(6),得

    (16)

    注1 模型(1)-(8)的穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性等價(jià)于式(15)-(16)解的存在唯一性。

    故本文旨在研究式(15)-(16)解的存在唯一性,其主要結(jié)論為:

    定理1 當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),由式(17)確定的ζ滿足ζ′<0。

    則式(15)-(16)存在唯一解。其中的ξ,η,ζ,ξ1,C(ξ1),ξ3的具體表達(dá)式參見(jiàn)下一節(jié)。

    1 相關(guān)符號(hào)及預(yù)備引理

    為敘述方便,引進(jìn)一些符號(hào):

    (iii)A1=a4coshξ+sinhξ-a3a4,

    A2=a4ξcoshξ+ξsinhξ+a4sinhξ-2a3a4ξ,

    A3=ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ-a3a4ξ2

    因此,式(15)-(16)可分別等價(jià)為:

    A1ζ2+A2ζ+A3=0

    (17)

    ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+

    (18)

    并設(shè)

    f(ξ)=ξcoshξ-sinhξ+(sinhξ-a1ξ)ζ2+

    (19)

    我們給出幾個(gè)預(yù)備引理:

    引理2 (i) 當(dāng)1

    證明(i) 當(dāng)10,A2>0,A3≥0或A1≤0,A2<0,A3<0, 式(17)顯然無(wú)正解ζ;

    故引理2均得證。

    引理3 存在0<ξ1<ξ2<ξ3,使得B1(ξ1)=B2(ξ2)=B3(ξ3)=a3,即

    A1(ξ1)=A2(ξ2)=A3(ξ3)=0

    根據(jù)引理2、引理3可知滿足式(15)-(16)的ξ∈(ξ1,ξ3)。

    注2 引入簡(jiǎn)記符號(hào)

    C(ξ3)=

    證明當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),即a3a4

    a4ξsinhξ-2a3a4>

    ξcoshξ+sinhξ+2a4coshξ+a4ξsinhξ-

    2a4coshξ-2sinhξ=

    ξcoshξ-sinhξ+a4ξsinhξ>0

    證明

    由于

    證明當(dāng)ξ=ξ3時(shí),A1>0,A2>0,A3=0,有

    2 穩(wěn)態(tài)解的存在唯一性

    定理1的證明以下分三種情況證明:

    (i) 當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ2)時(shí),對(duì)式(17)式兩邊求導(dǎo),可得

    故有

    綜上所述,且ζ′顯然連續(xù),故當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),由式(17)確定的ζ滿足ζ′<0。

    定理2的證明:由定理1可知當(dāng)ξ∈(ξ1,ξ3)時(shí),ζ′<0,故

    定理3的證明:式(19)可改寫(xiě)為

    (20)

    由引理6,得

    結(jié)合引理5,可知

    因此,式(15)-(16)式至少存在一個(gè)解。

    因此,式(15)-(16)存在唯一解。

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