基于激光雷達(dá)回波的動態(tài)尾渦特征參數(shù)計算

趙麗雅，谷潤平，魏志強(qiáng)

(中國民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津，300300)

飛行安全間隔很大程度上受限于飛機(jī)翼尖產(chǎn)生的尾渦，對尾渦特征參數(shù)的分析有助于提高機(jī)場跑道利用率、減少飛機(jī)延誤，而通過激光雷達(dá)探測特定區(qū)域內(nèi)的尾渦并解算其特征參數(shù)是一種重要的研究手段。

Rahm等[1]利用機(jī)載多普勒雷達(dá)測量大型飛機(jī)在自由大氣中的尾渦，通過對探測數(shù)據(jù)的處理得到尾渦運(yùn)動軌跡。徐世龍等[2]從飛機(jī)尾渦激光探測的總體要求出發(fā)，設(shè)計了尾渦相干激光探測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。牛鳳梁等[3]對降雨條件下飛機(jī)尾流的雷達(dá)特性進(jìn)行研究，得到尾流中雨滴數(shù)密度分布特性，基于某雷達(dá)參數(shù)通過信號處理得到降雨條件下飛機(jī)尾流的雷達(dá)回波，并發(fā)現(xiàn)了其獨(dú)特的多普勒特性。Wu等[4]在北京首都國際機(jī)場利用激光雷達(dá)探測飛機(jī)尾渦，對雷達(dá)探測系統(tǒng)及探測方式進(jìn)行了詳細(xì)討論。Penkin等[5]在俄羅斯機(jī)場利用多普勒激光雷達(dá)探測到B737-800飛機(jī)的尾渦并進(jìn)行了動力學(xué)分析。Hon等[6]介紹了香港國際機(jī)場的飛機(jī)尾渦觀測計劃及初步數(shù)據(jù)分析結(jié)果。上述研究主要利用雷達(dá)探測尾渦軌跡，并定性分析了尾渦的位置與強(qiáng)度變化，沒有對尾渦的特征參數(shù)進(jìn)行定量反演計算。

利用雷達(dá)回波對尾渦特征參數(shù)進(jìn)行定量研究的成果也有不少。K?pp等[7]在Tarbes機(jī)場對大型飛機(jī)產(chǎn)生的尾渦進(jìn)行探測，并利用速度包絡(luò)法設(shè)計了距離-高度顯示器(range-height indicator，RHI)掃描方式下的尾渦特征參數(shù)反演算法。吳永華等[8]研究了飛機(jī)尾渦激光探測技術(shù)，給出激光探測方式和探測系統(tǒng)的參量。徐世龍等[9]利用速度包絡(luò)法設(shè)計了平面-位置顯示器(plan-position indicator，PPI)掃描方式下的尾渦特征參數(shù)反演算法，并以某型號飛機(jī)的激光雷達(dá)探測實驗數(shù)據(jù)為例進(jìn)行了計算。屈龍海[10]圍繞飛機(jī)尾流雷達(dá)探測需求，研究了晴空、云霧以及降雨條件下飛機(jī)尾流的雷達(dá)散射特性。Smalikho等[11-12]利用“Stream-Line”脈沖相干多普勒激光雷達(dá)對飛機(jī)尾渦進(jìn)行探測，提出了根據(jù)雷達(dá)數(shù)據(jù)估計尾渦軌跡的方法，并采用徑向速度法估算飛機(jī)尾渦的特征參數(shù)。Loaec等[13]用激光雷達(dá)探測不同機(jī)型的尾渦強(qiáng)度，分析了背景風(fēng)場的影響。Darracq等[14]鑒于機(jī)載雷達(dá)的位置特殊性，設(shè)計了利用軸向速度推演尾渦特征參數(shù)的算法。

上述研究中提出的算法多是針對靜態(tài)尾渦的特征參數(shù)反演，沒有考慮在實際大氣中尾渦的強(qiáng)度消散和渦核下沉，影響到特征參數(shù)的計算精度。本文從飛機(jī)尾渦的物理模型出發(fā)，分析尾渦附近的徑向速度場與特征參數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合尾渦的運(yùn)動及消散模型，建立動態(tài)尾渦特征參數(shù)反演算法。最后通過仿真實驗來驗證該算法的有效性。

1 飛機(jī)尾渦的物理模型

1.1 尾渦環(huán)量模型

飛機(jī)尾渦的強(qiáng)度一般用渦旋環(huán)量Γ來表示。在理想無黏氣體中，流場內(nèi)的環(huán)量處處相等且保持不變。但通常情況下，在渦旋中心處受到空氣黏性影響較大，其環(huán)量為零，而且渦旋環(huán)量隨著時間的變化也會逐漸減小。同時，由于相互之間的誘導(dǎo)作用和重力因素，渦旋形成之后會一邊旋轉(zhuǎn)擴(kuò)散一邊下降。

在尾渦剛剛形成還沒有擴(kuò)散衰減時，初始環(huán)量Γ0取決于飛機(jī)的質(zhì)量、速度、翼展等參量[15]：

(1)

1.2 尾渦速度模型

尾渦旋轉(zhuǎn)速度直接關(guān)系著尾渦的形狀、大小和演化進(jìn)程。尾渦速度模型很多，本文選用Hallock-Burnham模型描述尾渦切向速度分布。該模型與尾流的擬合度好、形式簡單、速度變化相對比較平滑。與渦核中心距離為r的某一點的切向速度VT為：

(2)

式中:rc為渦核半徑。渦核半徑為各個方向上切向速度最大值的點與渦核的距離，通常為(3%～5%)b0。

1.3 尾渦消散模型

尾渦消散分為兩個階段：擴(kuò)散階段和快速消散階段。在擴(kuò)散階段，尾渦消散的速度非常慢，其強(qiáng)度近似認(rèn)為不變；在快速消散階段，尾渦強(qiáng)度迅速減小。設(shè)尾渦擴(kuò)散階段的持續(xù)時間為tc，同時為了計算方便，通常還定義相對于基準(zhǔn)參數(shù)的無量綱參數(shù)——參考時間t0與參考下沉速度ω0：

(3)

在尾渦擴(kuò)散階段其強(qiáng)度消散約為10%，且與時間倒數(shù)近似為負(fù)指數(shù)關(guān)系，擴(kuò)散階段的尾渦消散模型為[16]：

(4)

經(jīng)過時間tc后，尾渦消散會加快，快速消散階段的尾渦消散模型為[16]：

(5)

式中：N為浮力頻率。

1.4 尾渦下沉模型

尾渦產(chǎn)生以后，不僅隨著時間逐漸消散，并且由于相互的誘導(dǎo)作用而向下運(yùn)動。尾渦下沉速度ω與渦核間距及渦核半徑有關(guān)[17]：

(6)

尾渦經(jīng)過t秒后下降的高度h按下式計算：

ωdt

(7)

式中：h0為初始尾渦高度。

2 靜態(tài)尾渦特征參數(shù)計算方法

2.1 徑向速度

如圖1所示，激光雷達(dá)對飛行中的飛機(jī)左右機(jī)翼產(chǎn)生的一對尾渦進(jìn)行扇形掃描。分別以激光雷達(dá)中心和兩個渦核的中點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系YOZ和Y′O′Z′，RO為兩個坐標(biāo)原點之間的距離。設(shè)渦核中心分別為O1和O2，其與激光雷達(dá)的徑向距離為R1和R2。選取尾渦流場內(nèi)任意一點P作為研究對象，P與激光雷達(dá)的距離為R，激光雷達(dá)掃描到P點時的探測角度為φP，αP為尾渦徑向速度與Y軸的夾角。

圖1 徑向速度計算示意圖

Fig.1Schematicdiagramofthecalculationofradialvelocity

激光雷達(dá)測量尾渦流場的速度實質(zhì)上是測量大氣分子或氣溶膠粒子的運(yùn)動速度，所以只有與激光波束傳播方向一致的速度分量才能引起后向散射光信號的多普勒頻移。本文使用RHI掃描方式，掃描結(jié)果只能獲取尾渦剖面上各點速度沿激光波束的徑向分量，即切向速度在掃描徑向上的投影值，稱為徑向速度VR。通過圖1所示的坐標(biāo)關(guān)系，利用式(2)計算出尾渦附近某一點P受到單個渦影響時的徑向速度為：

αP-φP)

(8)

同時由式(8)可推導(dǎo)出尾渦流場內(nèi)任意一點受到兩個渦影響時的徑向速度為[7]：

(9)

其中，

Fl(R,φ)=

rl=ROsin(φ-φO)-(-1)l(b0/2)sinφ，

Y(R,φ)=Rcosφ-ROcosφO，

Z(R,φ)=Rsinφ-ROsinφO。

式中：l為尾渦編號，l=1代表右渦，l=2代表左渦。

通過分析可知rc與其他數(shù)值相比較小，可以忽略不計，為方便計算同時又不失精度，將上式中的Fl(R,φ)簡化為：

(10)

2.2 渦核位置

讓激光雷達(dá)在預(yù)定義區(qū)域內(nèi)掃描，將探測到的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪、插值等處理后，得到有較高速度分辨率的多普勒譜，利用各個探測單元內(nèi)的多普勒譜計算出尾渦徑向速度。在每個探測單元的多普勒譜中選取適當(dāng)?shù)拈T限值，如圖2所示，該門限值與多普勒譜的交點即為尾渦流場中的速度正包絡(luò)與負(fù)包絡(luò)，分別記為Vmax與Vmin，代表各探測單元內(nèi)徑向速度的最大值和最小值。

圖2 利用多普勒譜得到的速度包絡(luò)值

兩個尾渦的位置可利用上述速度包絡(luò)來確定。分別計算不同探測單元的正、負(fù)速度包絡(luò)，如圖3所示。選取正包絡(luò)的最大值點A、B，其坐標(biāo)

圖3 正、負(fù)速度包絡(luò)值

(11)

2.3 尾渦環(huán)量

速度包絡(luò)值代表的是每個探測單元內(nèi)徑向速度的正向最大值和負(fù)向最小值，所對應(yīng)的點為探測單元內(nèi)的徑向速度極值點，其導(dǎo)數(shù)為零，即

(12)

通過求解式(12)可得出：

(13)

計算出正、負(fù)包絡(luò)上的速度理論值，將式(13)帶入式(9)，得出：

(14)

式中：d(φ)=b0cosφ。式(14)所示即為每個單元內(nèi)徑向速度正向最大點或負(fù)向最小點的速度。

假設(shè)在尾渦流場中的某些位置只受到單個渦的影響，則可利用這些點的速度計算單個尾渦的環(huán)量大小。如圖4所示，選取與激光雷達(dá)距離為R1、R2處的點i和k，探測到i、k點的激光雷達(dá)仰角分別為φi、φk。

圖4 尾渦環(huán)量計算示意圖

Fig.4Schematicdiagramofvortexcirculationcalculation

由式(14)推導(dǎo)出：

(15)

式中：Γ1ik與Γ2ik為利用i點和k點估算得到的兩個尾渦的環(huán)量值。

選取與激光雷達(dá)的距離為R1的n個數(shù)據(jù)點以及與激光雷達(dá)的距離為R2的m個數(shù)據(jù)點進(jìn)行計算，通過式(15)得到環(huán)量估計值Γ1ik和Γ2ik。將這些估算值求和后取平均值，得出根據(jù)徑向速度計算尾渦環(huán)量的公式如下：

(16)

2.4 尾渦特征參數(shù)計算流程

綜上所述，基于激光雷達(dá)回波的靜態(tài)尾渦特征參數(shù)計算流程為：①激光雷達(dá)發(fā)射激光波束對尾渦周圍進(jìn)行掃描，并接受后向散射信號；②將接收到的信號進(jìn)行降噪、傅里葉變換等信號處理得到多普勒譜；③選取門限值確定正、負(fù)速度包絡(luò)，進(jìn)而得到探測區(qū)域的徑向速度分布；④利用徑向速度分布，通過式(11)反演得到渦核位置；⑤將渦核坐標(biāo)值帶入式(16)計算尾渦環(huán)量。

2.5 實例分析

2.5.1 靜態(tài)尾渦流場

下面利用A320飛機(jī)的尾渦流場進(jìn)行計算分析，飛機(jī)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 A320飛機(jī)相關(guān)參數(shù)

假定尾渦形成后強(qiáng)度及高度不變，仿真出靜態(tài)尾渦的激光雷達(dá)回波。激光雷達(dá)與機(jī)場跑道中軸線水平距離為700 m，探測開始時飛機(jī)距離地面約60 m，激光雷達(dá)掃描參數(shù)如表2所示。

表2 激光雷達(dá)掃描參數(shù)

經(jīng)過對回波信號的處理和徑向速度的解算，得到如圖5所示的掃描區(qū)域徑向速度分布。

圖5 掃描區(qū)域徑向速度分布

根據(jù)徑向速度反演出不消散、不下沉的靜態(tài)尾渦左右兩渦的環(huán)量分別為283.9731、282.9731 m2/s，與表1中尾渦初始環(huán)量290m2/s比較接近。

2.5.2 動態(tài)尾渦流場

上述算法在計算靜態(tài)尾渦環(huán)量時的精度較高，然而大氣中尾渦產(chǎn)生后會不斷下沉且逐漸消散，因此以下分析該算法在計算動態(tài)尾渦特征參數(shù)時的性能。

利用靜態(tài)尾渦特征參數(shù)計算方法，結(jié)合尾渦下沉運(yùn)動模型反演出兩個尾渦的渦核高度，如圖6中虛線所示，圖中實線為利用式(7)計算得到的渦核高度隨時間的變化情況，顯然二者存在較大偏差，估算出的渦核位置較高。

圖6 靜態(tài)尾渦特征參數(shù)算法計算出的動態(tài)尾渦高度

Fig.6Heightofdynamicwakevortexcalculatedbythestaticvortexcharacteristicparameteralgorithm

尾渦下沉和消散都可能導(dǎo)致上述算法對環(huán)量估算精度的降低。本文根據(jù)尾渦下沉與消散的變化情況，仿真動態(tài)尾渦的回波信號，并利用該回波信號計算尾渦的特征參數(shù)，與尾渦流場內(nèi)利用機(jī)型參數(shù)的計算結(jié)果進(jìn)行對比。由于渦核附近流場速度會發(fā)生突變，可導(dǎo)致計算值存在一定偏差，因此利用探測到左渦渦核位置之前10 s的數(shù)據(jù)點以及探測到右渦渦核位置之后10 s的數(shù)據(jù)點進(jìn)行計算，不同時刻下尾渦環(huán)量的計算結(jié)果如圖7所示，其中實線為根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的研究結(jié)果得出的A320飛機(jī)尾渦環(huán)量消散情況。由圖7可見，估算結(jié)果與尾渦流場的環(huán)量變化擬合度較差。

圖7 靜態(tài)尾渦特征參數(shù)算法計算出的動態(tài)尾渦環(huán)量

Fig.7Circulationofdynamicwakevortexcalculatedbythestaticvortexcharacteristicparameteralgorithm

將根據(jù)不同時刻的激光雷達(dá)探測數(shù)據(jù)計算得到的環(huán)量值加和取平均得到左、右尾渦環(huán)量的最終計算結(jié)果分別為365.63、363.67 m2/s，這與利用機(jī)型參數(shù)計算得到的環(huán)量值(290 m2/s)的誤差在25%左右。

綜上所述，對于靜態(tài)尾渦，即在不考慮尾渦的消散和運(yùn)動的情況下，式(11)～式(16)所代表的算法能夠較為準(zhǔn)確地計算出尾渦的特征參數(shù)。但實際中尾渦的位置與強(qiáng)度不斷變化，通過該方法估算出的尾渦特征參數(shù)與尾渦流場內(nèi)的實際情況相差較多，因此需要考慮尾渦的消散與下沉特性對算法進(jìn)行優(yōu)化，以提高特征參數(shù)計算精度。

3 尾渦特征參數(shù)計算方法的改進(jìn)

3.1 渦核位置的計算

由于尾渦的下沉運(yùn)動，其渦核位置會發(fā)生變化，故以下對式(11)中的靜態(tài)尾渦渦核位置確定方法進(jìn)行改進(jìn)。

首先，通過式(11)找到渦核位置，即為當(dāng)前探測時刻的渦核位置，解算出該時刻渦核與激光雷達(dá)之間的水平距離x及垂直距離y：

x=Rlcosφl,y=Rlsinφl

(17)

然后，根據(jù)尾渦的下降速度計算尾渦不同探測時刻t的渦核高度yt：

yt=y+ωt

(18)

最后，根據(jù)垂直距離重新計算每一個探測時刻t的尾渦距離Rlt和探測角度φlt：

(19)

3.2 尾渦環(huán)量的計算

根據(jù)式(19)計算出的渦核位置更接近大氣中運(yùn)動尾渦的實際位置，利用該結(jié)果反演出的尾渦環(huán)量也會更加精確。將式(19)替換式(16)中的Rl和φl(l=1,2)，得到只考慮尾渦下沉而不考慮消散的動態(tài)尾渦環(huán)量計算公式為：

(20)

然而，尾渦在下沉運(yùn)動的同時，其環(huán)量也要逐漸衰減。公式(15)中，用于計算速度的環(huán)量應(yīng)為不同時刻的環(huán)量值，即

(21)

式中：Γ10和Γ20為兩個尾渦的初始環(huán)量;p(t)為尾渦消散函數(shù);ti和tk分別為探測到i點和k點的時刻。

由式(21)推導(dǎo)出同時考慮尾渦下沉和尾渦消散的動態(tài)尾渦環(huán)量計算公式：

(22)

3.3 動態(tài)尾渦特征參數(shù)計算仿真

下面利用仿真的動態(tài)消散、下沉的尾渦流場作為參照組，與通過激光雷達(dá)回波計算得出的特征參數(shù)進(jìn)行對比，分析改進(jìn)算法的準(zhǔn)確性。

首先，只考慮尾渦下沉的影響，利用式(20)估算出尾渦的環(huán)量大小，結(jié)果如圖8中菱形和圓形線所示，圖中實線為根據(jù)文獻(xiàn)[15]得出的結(jié)果，虛線為根據(jù)尾渦消散模型(式(4)～式(5))得出的結(jié)果。由圖8可見，估算出的尾渦環(huán)量偏小，這是因為公式(20)沒有考慮尾渦的消散情況。但是與圖7對比可以看出，即使只改進(jìn)尾渦的渦核位置確定方法，最后的尾渦環(huán)量估算精度也有明顯提高。

圖8 只考慮尾渦下沉影響的優(yōu)化算法計算結(jié)果

Fig.8Calculationresultsofoptimizationalgorithmonlyconsideringtheeffectofvortexdescent

然后，同時考慮尾渦消散和下沉的影響，通過式(22)估算出尾渦的初始環(huán)量。利用不同時刻的估算值，結(jié)合式(4)～式(5)的尾渦消散模型計算出不同時刻的尾渦環(huán)量值，其結(jié)果如圖9所示。從圖9來看，利用式(22)估算出的尾渦初始環(huán)量更接近尾渦消散模型和文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果。

將上述實驗結(jié)果中不同時刻估算的初始環(huán)量值求和取平均得到最終反演出的尾渦初始環(huán)量值。只考慮尾渦下沉影響因素時計算出的左、右尾渦初始環(huán)量分別為267.64、260.21 m2/s，對比通過機(jī)型參數(shù)計算出的尾渦初始環(huán)量290 m2/s，其誤差分別約為7%與10%；而綜合考慮尾渦消散和下沉因素時計算出的左、右尾渦初始環(huán)量分別為281.25、281.40 m2/s，其誤差約為3%。前面2.5.2節(jié)的研究結(jié)果表明，不考慮尾渦下沉和消散影響的環(huán)量計算誤差在25%左右。由此可以看出，與尾渦消散相比，尾渦下沉對尾渦環(huán)量的估算精度影響更大。這是因為，渦核位置影響到計算使用的數(shù)據(jù)點與渦核的距離r的大小，從而涉及每一個數(shù)據(jù)的計算，累計誤差較大，導(dǎo)致環(huán)量計算偏差較大，而所選取用于計算的數(shù)據(jù)點處于渦核附近，這時尾渦還未進(jìn)入或者剛剛進(jìn)入快速消散階段，環(huán)量衰減較小，故對最終的環(huán)量計算精度的影響程度相對較低。

圖9同時考慮尾渦下沉和消散影響的優(yōu)化算法計算結(jié)果

Fig.9Calculationresultsofoptimizationalgorithmconsideringtheeffectsofvortexdescentanddecay

4 結(jié)語

在實際情況中，飛機(jī)尾渦產(chǎn)生后是逐漸消散并且不斷下沉的，而靜態(tài)尾渦特征參數(shù)計算方法對尾渦環(huán)量的估算偏差較大。本文綜合考慮了尾渦的消散和下沉因素，提出了利用激光雷達(dá)回波計算動態(tài)變化的飛機(jī)尾渦特征參數(shù)的方法。首先使用特定門限值提取尾渦流場的速度包絡(luò)，解算出尾渦徑向速度分布，然后利用該徑向速度計算出渦核位置與尾渦環(huán)量。該方法能夠更加準(zhǔn)確地反演出動態(tài)尾渦環(huán)量。利用仿真的動態(tài)尾渦流場激光雷達(dá)探測回波進(jìn)行計算分析顯示，相較于尾流消散，渦核下沉運(yùn)動對尾渦環(huán)量的計算精度影響更大，所以對渦核位置的精確計算能夠有效提高尾渦整體特征參數(shù)的估算精度。