初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中最值問題的思考研究

黃致和

【內(nèi)容摘要】二次函數(shù)，在初中數(shù)學(xué)中是重點(diǎn)，但把它學(xué)好還是有一定的難度的，尤其是二次函數(shù)的最值問題讓學(xué)生們學(xué)起來(lái)感覺非常吃力。即使感覺額外的吃力，但還是要非學(xué)不可，因?yàn)樗谥锌贾斜赜兴纳碛?。二次函?shù)的最值問題，它會(huì)讓學(xué)生的思維能力得到創(chuàng)新，在長(zhǎng)期不斷的訓(xùn)練中，解題技巧的能力也會(huì)不斷地提高。函數(shù)知識(shí)的核心部分就是二次函數(shù)，在各種各樣的考試中，它都是作為壓軸出場(chǎng)的。本文結(jié)合自身教育多年的經(jīng)驗(yàn)，借助于典型案例做出一定的分析，將學(xué)生解題能力的培養(yǎng)作為重點(diǎn)，將初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中最值問題的解題策略交予學(xué)生，為學(xué)生二次函數(shù)最值問題的學(xué)習(xí)提供參考。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 最值問題 思考研究

引言

二次函數(shù)的最值問題的研究主要包括三大點(diǎn)，開口方向、對(duì)稱軸、給定區(qū)間，根據(jù)這三者存在的不確定因素，解決問題需要一定的配方，根據(jù)不同的分類進(jìn)行討論，再與數(shù)形相結(jié)合。二次函數(shù)最值問題的研究，學(xué)生解決二次函數(shù)的綜合能力就會(huì)得到提升，同時(shí)學(xué)生的分類思考與數(shù)形結(jié)合的方法也會(huì)得到練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的探討性學(xué)習(xí)。在不同的題型中尋找合理的配方，加強(qiáng)計(jì)算的能力，以此解決二次函數(shù)不同最值問題的出現(xiàn)。

一、二次函數(shù)最值問題在確定區(qū)間范圍內(nèi)的分析

二次函數(shù)最值問題在區(qū)間范圍內(nèi)的解決，通常根據(jù)出現(xiàn)的題型，首先確定頂點(diǎn)坐標(biāo)的位置，是在自變量之內(nèi)，還是在自變量之外，最后根據(jù)不同的位置，運(yùn)用合理的解題方法。以最簡(jiǎn)單的模式出現(xiàn)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=類似于這種題型的時(shí)候，那么解題的方法就會(huì)變得異常的簡(jiǎn)單，那么稍許麻煩的是當(dāng)x的取值范圍有了一定的限制，那么問題的解決就需要學(xué)生擁有一定的應(yīng)用技巧。比如當(dāng)題目對(duì)x限定在區(qū)間[a，b]之內(nèi)的時(shí)候，求解最值的時(shí)候就要根據(jù)不同的情況進(jìn)行分析討論，加大了解題難度和復(fù)雜性，就需要學(xué)生通過描繪出二次函數(shù)的圖像進(jìn)行詳細(xì)的分析。

1.定軸定區(qū)間

所給函數(shù)具有固定的區(qū)間以及對(duì)稱軸的題型就是定軸定區(qū)間問題，這種問題的解題的方法是相對(duì)簡(jiǎn)單的，結(jié)合題型畫出函數(shù)圖像，就可以根據(jù)圖像的顯示來(lái)判斷出最大值與最小值。

這種題的解題思路大概如下所示：當(dāng)函數(shù)為閉區(qū)間函數(shù)時(shí)，最值可能出現(xiàn)的位置有兩處：其一，閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)；其二，函數(shù)的頂點(diǎn)。這個(gè)時(shí)候就要根據(jù)函數(shù)方程式對(duì)二次函數(shù)的開口進(jìn)行分析，如果開口向上，那么最小值就在頂點(diǎn)處出現(xiàn)；反之，如果開口向下，最大值則出現(xiàn)在頂點(diǎn)處。在進(jìn)行這個(gè)解題的過程中，可以利用草圖進(jìn)行輔助，從而能夠看得更加直觀。本題中，對(duì)稱軸在x=1的位置，利用圖像法，可以很明顯的看出頂點(diǎn)處最小值=-4，端點(diǎn)處最大值=5.

2.定軸動(dòng)區(qū)間

所給函數(shù)具有固定的對(duì)稱軸、不固定的區(qū)間，即有變量存在的時(shí)候，這種類型的題型就屬于定軸動(dòng)區(qū)間。這種問題的解決，著重點(diǎn)在于函數(shù)的區(qū)間與對(duì)稱軸之間相對(duì)位置的關(guān)系。

這種題的解題思路大概如下所示：當(dāng)函數(shù)區(qū)間不確定的時(shí)候，區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸處函數(shù)值的大小就不能直接看出，函數(shù)圖像的繪制就不能很具體，那么直接求出答案是肯定不行的。同樣的也需要根據(jù)自變量的大小進(jìn)行分類討論，在分析上述兩處函數(shù)值大小的基礎(chǔ)上，確定函數(shù)的最大值和最小值。

分析所給的原函數(shù)，以對(duì)稱軸為例，對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，在范圍內(nèi)，或者在右側(cè)都有不同的解決方法。本題的對(duì)稱軸為x=1。對(duì)稱軸在所給區(qū)間的左側(cè)時(shí)，題目就要滿足t+1<1，函數(shù)就要在t+1處取得最大值，也就是t2-1；當(dāng)函數(shù)的對(duì)稱軸在所給區(qū)間內(nèi)部的時(shí)候，題目滿足t≤1≤t+10≤t≤1，此時(shí)函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最大值為-1；對(duì)稱軸在所給區(qū)間的右側(cè)時(shí)，題目就要滿足t≤1，函數(shù)就要在t處取得最大值，也就是t2+2t-2.

3.定區(qū)間動(dòng)軸

所給函數(shù)具有固定的區(qū)間范圍，但是對(duì)稱軸卻要根據(jù)參數(shù)的大小進(jìn)行變化，這種類型的題就是定區(qū)間動(dòng)軸，求解最值的時(shí)候，也要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，具體討論的策略與上述2相同。

求函數(shù)y=x2+2ax+1在區(qū)間[-1，2]上的最小值.

這種題的解題思路大概如下所示：由方程可知，該題目是“定區(qū)間動(dòng)軸”類型。區(qū)間為[-1，2]，對(duì)稱軸為x=-a。確定這些內(nèi)容之后，就可以進(jìn)行討論。當(dāng)對(duì)稱軸位于區(qū)間右端點(diǎn)之外的時(shí)候，滿足-a≥2，根據(jù)函數(shù)的大概圖像可知，函數(shù)在2處取得最大值4a+5；當(dāng)對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)部時(shí)，滿足-1≤-a≤2，此時(shí)在對(duì)稱軸-a處取得最大值1-a2；當(dāng)對(duì)稱軸位于區(qū)間左端點(diǎn)之外的時(shí)候，滿足-a<-1，根據(jù)函數(shù)的大概圖像可知，函數(shù)在-1處取得最大值-2a+2。

二、二次函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)類問題的運(yùn)用

二次函數(shù)最值問題也會(huì)頻繁的與經(jīng)濟(jì)問題相掛鉤，經(jīng)濟(jì)中要求得到最優(yōu)化就會(huì)用到二次函數(shù)的最值問題，在這種情況下也是必須要關(guān)注到自變量的具體取值范圍的。

例子：某商店新銷售一種商品，每件為40元，在試驗(yàn)銷售的過程中，得知該商品每天的銷售量為n（件）與單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可用一次函數(shù)n=150-3x表示，商品單價(jià)在[40，60]區(qū)間內(nèi).需要得出商場(chǎng)每天的銷售利潤(rùn)（y）與單價(jià)（x）之間的函數(shù)關(guān)系式.銷售單價(jià)定位多少時(shí)，商場(chǎng)可獲得日最大利潤(rùn)？最大銷售利潤(rùn)具體為多少？

解析：產(chǎn)品每件銷售利潤(rùn)為該（x-40）元，求出n件的總利潤(rùn)為y=n（x-40）。

由于n=150-3x，則：

y=（x-40）（150-3x）=-3x2+170x-6000，20≤x≤50.

結(jié)合上面的解題開始以對(duì)稱軸為準(zhǔn)側(cè)，進(jìn)行討論解題，對(duì)稱軸為x=42，且在給定的的取值區(qū)間內(nèi)，拋物線開口向下，則最大值在x=42處得到，即ymax=-3×422+252×42-4860=432.所以，商品單價(jià)為42元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大為432元。

總之，二次函數(shù)最值問題的解決時(shí)需要通過不斷練習(xí)的，從多種角度，多種情況進(jìn)行分析，加強(qiáng)二次函數(shù)最值求解問題的練習(xí)得出最簡(jiǎn)單的解題思路，加深印象，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力。

結(jié)語(yǔ)

二次函數(shù)最值問題的多角度有效分析，有效的加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的了解與運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生解題的思維能力，不斷的練習(xí)，思路會(huì)更加清晰，方案的確定，也會(huì)讓學(xué)生在面對(duì)不同問題的解決方法時(shí)，擁有不同的角度考慮，做到從實(shí)際出發(fā)，充分掌握好初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的最值問題。

（作者單位：福建省寧化五中）