變易理論與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

吳春梅

摘 要：“變易理論”建基于“現(xiàn)象圖析學(xué)”?！白円桌碚摗标P(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)容、關(guān)鍵特征、意識(shí)結(jié)構(gòu)和變易識(shí)別。在數(shù)學(xué)教學(xué)中援引變易理論，需要對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度耕犁，對(duì)學(xué)習(xí)方式進(jìn)行深度研究，對(duì)高階思維進(jìn)行深度引導(dǎo)。運(yùn)用變易思想進(jìn)行教學(xué)，能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效發(fā)生。

關(guān)鍵詞：變易理論；變易哲學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

“變易理論”植根于“現(xiàn)象圖析學(xué)”研究方式。20世紀(jì)90年代，現(xiàn)象圖析學(xué)之父馬飛龍教授與香港大學(xué)教育學(xué)院研究團(tuán)隊(duì)合作，讓現(xiàn)象圖析學(xué)逐漸成為一種“顯學(xué)”?！艾F(xiàn)象圖析學(xué)”不同于“現(xiàn)象學(xué)”，盡管它們都研究人的經(jīng)驗(yàn)，但現(xiàn)象學(xué)的根本旨趣在于得出本質(zhì)，而現(xiàn)象圖析學(xué)則著眼于揭示人們經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)象方式的不同， 并用描述類別和結(jié)果空間來闡述這種不同。在現(xiàn)象圖析學(xué)基礎(chǔ)上產(chǎn)生了變易理論。變易理論又稱變異理論。所謂“變易”，是指“當(dāng)一個(gè)現(xiàn)象或者一個(gè)事物某個(gè)屬性產(chǎn)生變化而同時(shí)其他屬性保持不變， 變化的屬性將被審辨到”?；凇白円桌碚摗钡膶W(xué)習(xí)關(guān)鍵是找出事物最顯著差別，即是說， 學(xué)習(xí)關(guān)鍵是找出事物最顯著的差別。

一、“變易理論”的內(nèi)涵簡(jiǎn)介

“變易理論”將學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分為具體方面與一般方面、內(nèi)部視域與外部視域。變易理論關(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)容動(dòng)態(tài)變化，通過內(nèi)容變易深化理解?！白円桌碚摗碧接懙氖侨嗽鯓訋椭藢W(xué)習(xí)。變易理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)重復(fù)與變化。變易理論基本觀點(diǎn)是：為了認(rèn)識(shí)某個(gè)事物，就必須注意到此事物與彼事物之不同。為了凸顯此事物與彼事物之不同，就必須使此事物的某種屬性在某個(gè)維度上發(fā)生變化。

1. 學(xué)習(xí)內(nèi)容

“變易理論”里的“變”與“不變”指向?qū)W習(xí)內(nèi)容。馬飛龍認(rèn)為，學(xué)習(xí)包含“怎么學(xué)（how）”和“學(xué)什么（what）”兩個(gè)方面?！皩W(xué)什么”即學(xué)習(xí)內(nèi)容，亦即最為直接、最為基本的學(xué)習(xí)目標(biāo)?！霸趺磳W(xué)”包括學(xué)生學(xué)習(xí)行為和學(xué)生要發(fā)展的某方面能力?！皩W(xué)什么”是學(xué)習(xí)內(nèi)容直接目標(biāo)，怎么學(xué)是學(xué)習(xí)內(nèi)容間接目標(biāo)。馬飛龍教授認(rèn)為，只有既聚焦于學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)配適合宜的方法，才能產(chǎn)生期望的學(xué)習(xí)結(jié)果，割裂二者必然導(dǎo)致失敗。

2. 關(guān)鍵特征

相同學(xué)習(xí)情境，為什么有人會(huì)比別人學(xué)得好？在馬飛龍看來，之所以學(xué)得好是因?yàn)樗麄冊(cè)趯W(xué)習(xí)內(nèi)容方面“聚焦并經(jīng)歷特定學(xué)習(xí)的某個(gè)關(guān)鍵之處”。比如，單獨(dú)一個(gè)數(shù)字5就是一個(gè)無意義的純粹符號(hào)，只有將5置于數(shù)系中，5才能顯現(xiàn)出其序數(shù)意義和基數(shù)意義來。當(dāng)5這個(gè)數(shù)字納入運(yùn)算之中，5這個(gè)符號(hào)所代表的意義就能凸顯出來。為了讓學(xué)生經(jīng)歷“特定學(xué)習(xí)關(guān)鍵之處”，教師應(yīng)當(dāng)充分創(chuàng)造“變易”，即“將現(xiàn)象或事物的某個(gè)屬性保持變化而其他屬性同時(shí)保持不變”。唯其如此，關(guān)鍵特征才能被審辨到。

3. 意識(shí)結(jié)構(gòu)

所謂“意識(shí)結(jié)構(gòu)”，即個(gè)體在經(jīng)驗(yàn)時(shí)，存在質(zhì)的差異的理解方式。變易理論認(rèn)為，知識(shí)具有文化性、境域性、價(jià)值性。知識(shí)與文化體系中的價(jià)值觀念、生活方式、語言符號(hào)乃至人生信仰等意識(shí)結(jié)構(gòu)密不可分。這啟示我們，數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重情境，注重知識(shí)境脈意義。比如抽象的“一億有多大”，學(xué)生并不能感受到其意義。但是當(dāng)我們將“一億”放置于情境之中，就能喚醒學(xué)生的驚異感，形成學(xué)生對(duì)“一億”的陌生化眼光?！耙粡圓4紙的厚度很薄，而一億張A4紙堆積的高度竟然比珠穆朗瑪峰還高”“一枚1元硬幣大約重6克，一億枚1元硬幣重600噸，需要120輛5噸載重量的卡車來運(yùn)”等。這樣的知識(shí)，有助于豐富、改變、完善學(xué)生的意識(shí)結(jié)構(gòu)。

4. 變易識(shí)別

馬飛龍指出，當(dāng)某個(gè)現(xiàn)象或事物的一個(gè)方面發(fā)生變化，而另一方面保持不變時(shí)，變化方面就會(huì)被識(shí)別出來。學(xué)習(xí)素?cái)?shù)時(shí)，不僅要將素?cái)?shù)與合數(shù)放在一起進(jìn)行比較，更要將素?cái)?shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等放在一起讓學(xué)生識(shí)別。識(shí)別有兩種方式：一是將某個(gè)事物的屬性識(shí)別出來，同時(shí)將變易屬性也識(shí)別出來，如學(xué)習(xí)“素?cái)?shù)與合數(shù)”，必須讓學(xué)生進(jìn)行因數(shù)分類，從中抽離出“素?cái)?shù)”“合數(shù)”“既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)的數(shù)”的數(shù)；二是將某個(gè)事物作為整體從一個(gè)情境中識(shí)別出來，同時(shí)也將這個(gè)事物的部分從其他部分和整體中識(shí)別出來。如素?cái)?shù)合數(shù)的關(guān)鍵特征是因數(shù)個(gè)數(shù)，而奇數(shù)偶數(shù)的屬性即“是否是2的倍數(shù)”。

二、“變易理論”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)

馬飛龍等人認(rèn)為，變易圖式可以帶出四種功能： 對(duì)照、類合、區(qū)分及融合。根據(jù)四種功能，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在比照中獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀感受，讓學(xué)生把握知識(shí)的關(guān)鍵特征，讓學(xué)生關(guān)注事物變化中之不變特征，讓學(xué)生保持知識(shí)幾個(gè)方面的關(guān)鍵特征同步變化。“變易理論”強(qiáng)調(diào)知識(shí)無關(guān)、重要和關(guān)鍵特征，這在某種程度上類似于科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的自變量、因變量和無關(guān)變量。

1. 對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度耕犁

通常情況下，教學(xué)總是被理解為簡(jiǎn)單講解教材知識(shí)點(diǎn)，有教師為趕進(jìn)度，甚至對(duì)知識(shí)“掐頭去尾燒中段”，由此導(dǎo)致學(xué)生與數(shù)學(xué)疏離。變易理論認(rèn)為，教學(xué)首先需要學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度耕犁。教師要深度思考的問題是：一個(gè)數(shù)學(xué)概念如何呈現(xiàn)才能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)？一個(gè)數(shù)學(xué)概念需要哪些例子才能完整展示其內(nèi)涵？學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)需要經(jīng)歷怎樣的思維歷程？一個(gè)數(shù)學(xué)公式需幾個(gè)步驟推導(dǎo)才符合學(xué)生認(rèn)知水平？

教學(xué)《認(rèn)識(shí)方程》，教師絕不僅僅是簡(jiǎn)單出示定義，讓學(xué)生借助定義進(jìn)行判斷，而是需要有層次地揭示出知識(shí)本質(zhì)。如教師可以出示一組式子（注：這組式子中有等式，有不等式，有式子，有含有未知數(shù)的等式，有含有未知數(shù)的不等式，有含有未知數(shù)的式子），提煉出“方程”。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅要展開正向思考，更要展開逆向思考，突出“方程是含有未知數(shù)的等式”的意義。為了增進(jìn)變易教學(xué)之效果，教師可以將正例、反例、無關(guān)例子等一并呈現(xiàn)，這樣有助于學(xué)生歸謬激正，突出知識(shí)關(guān)鍵特征。變易理論不僅是一題多解、一題多變，也不僅是組織材料策略，更是一種教學(xué)思想。通過變易教學(xué)、達(dá)成不易知識(shí)、形成簡(jiǎn)易學(xué)法（易學(xué)、易用、易創(chuàng)）的數(shù)學(xué)課程。

變易理論與巴班斯基的最優(yōu)化教學(xué)理論無關(guān)，與維果茨基最近發(fā)展區(qū)理論無涉。運(yùn)用變式理論要加強(qiáng)課前研判、課中觀察、課后跟蹤。同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖，以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主檢測(cè)，幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)策略，提高學(xué)生元認(rèn)知意識(shí)和技能。

2. 對(duì)學(xué)習(xí)方式的深度研究

從根本上說，將變易理論引入數(shù)學(xué)教學(xué)，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的研究。比較變式教學(xué)，變易理論更上位。一方面，變易理論為變式教學(xué)提供了認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)；另一方面，變式教學(xué)為變易理論提供了精細(xì)化操作策略體系。從這個(gè)意義上說，變易理論是一種思想。在變易思想的統(tǒng)御下，教學(xué)開始由粗放走向集約、精細(xì)，這是一種深層次扎根研究。

張奠宙等專家認(rèn)為，“易”是中國(guó)哲學(xué)的標(biāo)識(shí)。將變易思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)，可以通過變化概念、圖式、語義等方式。比如一位教師教學(xué)“三角形的高”，運(yùn)用多種變易方式，讓學(xué)生掌握垂直關(guān)鍵特征。首先，教師認(rèn)為如果出示標(biāo)準(zhǔn)圖形高，盡管學(xué)生容易抽象出高的特征，即垂直，但學(xué)生也容易受無關(guān)特征、非本質(zhì)特征影響?；诖?，教師出示了不同大小、不同方向的銳角三角形高。學(xué)生通過圖形變易，認(rèn)識(shí)到不管線段方向、位置如何，只要是從三角形頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段就是高。然后，教師認(rèn)為，這樣的高還僅僅局限于銳角三角形，高的位置全部在三角形的內(nèi)部?；诖?，教師又出示了直角三角形、鈍角三角形的高。至此，學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形的高不僅可以在圖形之內(nèi)，也可能在圖形之上、之外。不管線段位置、方向、形狀如何，只要是從三角形頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段就是高。

變易理論課堂教學(xué)研究是一種深層次的扎根研究。遷移理論認(rèn)為，教師可以從單一事例或者眾多相似的事例中歸納、分離出本質(zhì)屬性。因此需要大量的練習(xí)，熟能生巧、精講多練是這種教學(xué)的經(jīng)典話語。在變易教學(xué)中，教師要善變，進(jìn)而讓教學(xué)聚焦于數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵特征，從而讓學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

3. 對(duì)高階思維深度引導(dǎo)

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是獲得思維提升。教師要運(yùn)用變易思想引導(dǎo)、激發(fā)、調(diào)動(dòng)學(xué)生思維。學(xué)生的高階思維涉及聯(lián)想、直覺、創(chuàng)造想象、比較、歸納推理等。變易理論認(rèn)為，沒有變易就沒有學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)就是對(duì)知識(shí)屬性進(jìn)行審辯，只有當(dāng)關(guān)鍵屬性與其他屬性在變易中形成比照，學(xué)生才能形成高階思維。

如“運(yùn)算律”一課，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變易猜想、聯(lián)想。在教學(xué)加法交換律時(shí)，教師可以引發(fā)學(xué)生聯(lián)想：加減乘除四則運(yùn)算是否都有交換律？通過舉例（包括正例和反例）不完全歸納出減法和除法的猜想與實(shí)際例證不符。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行變易聯(lián)想：在三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)和五個(gè)數(shù)中，交換律是否仍然成立。如此，不僅進(jìn)行縱向變易聯(lián)想，而且進(jìn)行橫向變易聯(lián)想。不僅如此，教師還可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)行縱橫向的整體變易聯(lián)想，不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想、驗(yàn)證、結(jié)論與運(yùn)用的過程。這樣的教學(xué)，從整體、變易的視角讓學(xué)生逐步發(fā)展起數(shù)學(xué)高階思維。

馬飛龍指出，教師要盡可能通過必要的“變與不變”范式來幫助學(xué)生識(shí)別知識(shí)的關(guān)鍵屬性、屬性關(guān)系及屬性與整體關(guān)系。發(fā)展學(xué)生高階思維，需要教師從多個(gè)層面、向度予以變易，如內(nèi)容、方式、教學(xué)工具變易等。

變易理論從現(xiàn)象圖析學(xué)視角出發(fā)，強(qiáng)調(diào)教師在“變”與“不變”中突出現(xiàn)象或事物在某個(gè)方面的關(guān)鍵特征。變易理論視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)有助于豐富學(xué)生的“學(xué)”。作為教師，要審視數(shù)學(xué)本體性知識(shí)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)困難。從核心問題——學(xué)習(xí)內(nèi)容出發(fā)，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，運(yùn)用變易思想進(jìn)行教學(xué)，從而讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有效發(fā)生。