高等數(shù)學(xué)積分學(xué)中幾點(diǎn)重要說(shuō)明

趙曉艷

【摘要】本文主要是關(guān)于高等數(shù)學(xué)積分學(xué)中幾點(diǎn)重要的幾種特殊情況說(shuō)明，首先我們介紹定積分和不定積分的區(qū)別和聯(lián)系，包括定義、形式上的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)，然后又介紹了定積分和不定積分積分方法的內(nèi)在本質(zhì)，重點(diǎn)舉例說(shuō)明了它們之間的不同點(diǎn)，對(duì)每一種積分方法分別舉出典型例題，在例題中對(duì)定積分和不定積分的不同點(diǎn)進(jìn)行了解釋說(shuō)明.接下來(lái)我們分析了廣義積分的兩大類型，對(duì)于每一種類型，我們都給出相應(yīng)的計(jì)算公式，并詳細(xì)闡述了每種方法的重點(diǎn)難點(diǎn)和解法步驟，不僅如此，我們對(duì)兩類廣義積分，給出了比較簡(jiǎn)單的計(jì)算公式，對(duì)于公式來(lái)歷，也給出了詳細(xì)說(shuō)明.最后介紹了幾種特殊積分的積分方法，使讀者能對(duì)特殊積分有更深刻的了解和認(rèn)識(shí).最后又對(duì)本文做了小結(jié).

【關(guān)鍵詞】定積分；不定積分；廣義積分，瑕積分；分部積分法；換元積分法

一、定積分和不定積分區(qū)別和聯(lián)系

積分學(xué)主要包括定積分和不定積分，定積分和不定積分是相互統(tǒng)一的一個(gè)整體，即相互聯(lián)系，有著本質(zhì)相同的地方，同時(shí)又有很大的差別.

1.定積分和不定積分都是積分，積分學(xué)里的一些基本性質(zhì)和基本積分方法都是相同的，即f（x）在不定積分中用什么方法，在定積分中也用此方法[1].比如，對(duì)于被積函數(shù)是反對(duì)冪指三任兩類函數(shù)乘積求積分時(shí)用分部積分法，無(wú)論是定積分還是不定積分都是用此方法.也就是說(shuō)無(wú)論是直接積分法還是換元積分法，也都是在不定積分中用什么方法，在定積分中同樣用此方法.

2.定積分有積分上下限和積分區(qū)間，這是在形式上定積分和不定積分最大的不同，就因?yàn)檫@個(gè)區(qū)別，定積分有了幾個(gè)自己的特別的性質(zhì)，比如，積分區(qū)間可加性、比較性質(zhì)、定積分幾何意義、積分中值定理，估計(jì)定積分值等幾個(gè)非常重要的性質(zhì).我們從定積分和不定積分計(jì)算公式上再看一下定積分和不定積分的差別.

∫f（x）dx=F（x）+C，∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a）.

從定積分和不定積分公式上看，定積分和不定積分不同之處在于積分結(jié)果意義不同，定積分在幾何意義上表示所圍曲邊梯形的面積或者所圍曲邊梯形面積的相反數(shù).因此，定積分計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定常數(shù).但是不定積分計(jì)算結(jié)果是一個(gè)函數(shù).

3.在積分方法上定積分和不定積分不同的區(qū)別說(shuō)明：直接積分法這里不再贅述，被積函數(shù)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形，即可直接利用公式求出結(jié)果.換元積分法中第一換元積分法[2]我們建議讀者在運(yùn)用時(shí)候采用“心里”設(shè)u，但是不寫出來(lái)的方法，這樣在定積分中，就可以不用換上下限，這樣就能減少做題步驟，也能減少做題失誤率.接下來(lái)我們來(lái)看定積分∫10（3x-1）5dx，我們還是設(shè)3x-1為u，∫10（3x-1）5dx=13∫10（3x-1）5d（3x-1）=118（3x-1）610=329-118=72.因此，在湊微分法時(shí)，利用此方法使定積分計(jì)算省了很多步驟.但是在第二換元積分法時(shí)，定積分中必須要換元，在換元過(guò)程中，必須還要遵守‘換元必?fù)Q限，在換限時(shí)，還要注意‘上限對(duì)上限，下限對(duì)下限的原則.下面我們來(lái)舉例說(shuō)明此方法在定積分中的應(yīng)用.例如，∫8011+3xdx，被積函數(shù)符合第二換元積分法中的去根號(hào)法.設(shè)3x=t，則x=t3，dx=dt3=3t2dt，當(dāng)x=0時(shí)，t=0，

當(dāng)x=8時(shí)，t=2（新的積分下限0是通過(guò)假設(shè)中等式中老的積分下限0計(jì)算出來(lái)的，新的積分下限2是通過(guò)假設(shè)中等式中老的積分下限8計(jì)算出來(lái)的）.下面給出計(jì)算過(guò)程：

∫8011+3xdx=∫203t21+tdt=3∫20t2-1+11+tdt

=3∫20t-1+11+tdt

=3t22-t+ln（1+t）20=ln3，

對(duì)于不定積分∫11+3xdx，的根式代換，因?yàn)闆](méi)有上下限，最后積分結(jié)果含有t，然后把假設(shè)3x=t代入最后結(jié)果，也就是積分結(jié)果是含有x的函數(shù).在分部積分法中，我們給出不定積分和定積分的分部積分公式∫udv=uv-∫vdu和∫baudv=uvba-∫bavdu[3]，從此兩個(gè)公式可以看出，不定積分和定積分在分部積分計(jì)算中無(wú)論是前提條件還是選u原則都是一樣的，就是公式稍有不同.這里就不再舉例.

二、廣義積分的幾點(diǎn)說(shuō)明

廣義積分就是推廣意義上的積分，和普通類型積分在積分上稍有不同，分為無(wú)窮限廣義積分和無(wú)界函數(shù)廣義積分，無(wú)窮限廣義積分即積分區(qū)間里有無(wú)窮的情形，顯而易見，要么是積分下限無(wú)窮限，要么是積分上限無(wú)窮限，要么就是上下限均是無(wú)窮.對(duì)于無(wú)界函數(shù)廣義積分，我們高等數(shù)學(xué)上還有另外一個(gè)名字稱為“瑕積分”，無(wú)界點(diǎn)就是瑕點(diǎn).

1.對(duì)于無(wú)窮限廣義積分來(lái)說(shuō)，根據(jù)上面的介紹，可以分為三大類：∫b-∞f（x）dx，∫+∞af（x）dx，∫+∞-∞f（x）dx，對(duì)于此三種類型，我們分別會(huì)給出計(jì)算公式，并且會(huì)給出兩種計(jì)算方法，我們拿∫b-∞f（x）dx來(lái)說(shuō)，先給出第一種計(jì)算公式，∫b-∞f（x）dx=

lima→-∞∫baf（x）dx，當(dāng)極限存在，廣義積分收斂，當(dāng)極限不存在，廣義積分發(fā)散.還有另一種計(jì)算公式，即 ∫b-∞f（x）dx=F（x）b-∞=F（b）-F（-∞）.F（-∞）表示當(dāng)x→-∞時(shí)，F(xiàn)（x）的極限值.我們給出一道例題解釋兩種計(jì)算方法的差別.讀者可以依照此方法來(lái)解決∫+∞af（x）dx和∫+∞-∞f（x）dx，

2.下面我們來(lái)探討無(wú)界函數(shù)廣義積分.當(dāng)limx→af（x）=+∞，我們稱f（x）在x=a無(wú)界.

無(wú)界函數(shù)廣義積分分為積分下限a無(wú)界，積分上限b無(wú)界和無(wú)界點(diǎn)在積分區(qū)間中間某一點(diǎn)三種情況.對(duì)于積分下限a無(wú)界，我們可以把[a，b]左端點(diǎn)a挖去，取ε>0，讓左端點(diǎn)a向右移動(dòng)ε單位，新的積分區(qū)間為[a+ε，b]，在此積分區(qū)間里沒(méi)有無(wú)界的點(diǎn)，因此，可按普通函數(shù)積分，然后讓?duì)拧?取極限即可.同理對(duì)于積分上限b無(wú)界的情況，我們可以把[a，b]右端點(diǎn)b挖去，取ε>0，讓右端點(diǎn)b向左移動(dòng)ε單位，新的積分區(qū)間為[a，b-ε].當(dāng)無(wú)界點(diǎn)在積分區(qū)間中某點(diǎn)時(shí)，我們可以像挖去一塊白玉中間一點(diǎn)瑕疵一樣，先把這個(gè)瑕點(diǎn)“露”出來(lái)，我們采用從瑕點(diǎn)處把積分區(qū)間分開，利用積分區(qū)間可加性把原積分分為兩個(gè)積分，這兩個(gè)積分分別是上面那兩種情況，然后分別利用相應(yīng)公式求出極限，進(jìn)而得到積分值或者積分發(fā)散的情況[4].我們對(duì)此舉例，∫1-11x4dx.此題中，[-1，1]區(qū)間中0為瑕點(diǎn)，利用積分區(qū)間可加性，分為[-1，0]和[0，1]將瑕點(diǎn)0露出，然后再用上述公式求出極限.

∫1-11x4dx=∫0-11x4dx+∫101x4dx

=limε→0∫-ε-11x4dx+limε→0∫1ε1x4dx

=limε→0-13x-3-ε-1+limε→0-13x-31ε

=limε→0-13（-ε-3+1）+limε→0-13（1-ε-3）

=-13+-13=-23.

因此，廣義積分收斂于-23.通過(guò)此積分，我們把瑕積分的積分方法進(jìn)行了總結(jié)，使讀者對(duì)瑕積分有了更深刻的認(rèn)識(shí).

三、幾種特殊積分解法解析

在積分運(yùn)算中，有幾個(gè)特別重要的積分類型，積分方法比較特別，因此，接下來(lái)我們一一介紹.

例如，∫excosxdx，對(duì)于此積分，看似符合分部積分條件，因此，按照分部積分積分方法做下去：做法如下：∫excosxdx=∫exd（sinx）=exsinx-∫sinxd（ex）=exsinx-∫exsinxdx.

我們發(fā)現(xiàn)，用了一次分部積分后，發(fā)現(xiàn)積分∫exsinxdx并沒(méi)有比原積分∫excosxdx簡(jiǎn)單.因此，我們對(duì)∫exsinxdx再用一次分部積分，∫exsinxdx=∫exd（-cosx）然后我們代入分部積分公式，∫exsinxdx=∫exd（-cosx）=-excosx+∫cosxd（ex）

=-excosx+∫excosxdx.將此積分結(jié)果代入式，∫excosxdx=exsinx-（-excosx+∫excosxdx），看似此積分好像循環(huán)往復(fù)，其實(shí)只要移向，即可得到結(jié)果.2∫excosxdx=exsinx+excosx，兩邊同除系數(shù)2，可得∫excosxdx=exsinx+excosx2.類似積分，比如，∫exsinxdx，也是同樣用此方法才可以求出積分結(jié)果[5].

四、小結(jié)

積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，和導(dǎo)數(shù)有著緊密的聯(lián)系，對(duì)于普通類型的積分，運(yùn)用合適的積分方法即可得到積分結(jié)果，但是對(duì)于積分學(xué)中一些特別要注意的要點(diǎn)有必要詳細(xì)解釋說(shuō)明，特別是對(duì)于一些特殊類型的積分，需要和讀者一起探討.本文主要是關(guān)于高等數(shù)學(xué)積分學(xué)中幾點(diǎn)重要的幾種特殊情況說(shuō)明，首先我們介紹定積分和不定積分的區(qū)別和聯(lián)系，然后又介紹了定積分和不定積分積分方法的內(nèi)在本質(zhì)，重點(diǎn)舉例說(shuō)明了他們之間的不同點(diǎn).接下來(lái)我們分析了廣義積分的兩大類型，我們對(duì)兩類廣義積分，給出了比較簡(jiǎn)單的計(jì)算公式.最后介紹了幾種特殊積分的積分方法，使讀者能對(duì)特殊積分有更深刻的了解和認(rèn)識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011：160.

[2]李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2017：190.

[3]劉忠東.高等數(shù)學(xué)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，2015：186.

[4]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題集[M].北京：高等教育出版社，2003：126.

[5]上海大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].上海：上海大學(xué)出版社，2006：98.