數(shù)項級數(shù)概念教學中學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)探究

王雪琴，成榮強

(渭南師范學院 a.數(shù)理學院;b.馬克思主義學院，陜西 渭南 714099)

數(shù)學思維蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學學習的重要目標。[1]數(shù)學思維是人們通常所指的數(shù)學思維能力，即能夠用數(shù)學的觀點去思考問題和解決問題的能力。數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，即思維活動的教學，是循序漸進幫助學生熟悉數(shù)學概念,培養(yǎng)數(shù)學發(fā)散思維、邏輯思維、逆向思維等能力，提升解決問題的能力。數(shù)學思維是與課程內(nèi)容息息相關并深深扎根于課程之中，教學中利用各種途徑挖掘知識體系中的數(shù)學思維也是教學的一個重要目標。對大學數(shù)學專業(yè)的學生而言，數(shù)學思維能力不僅影響當前學習數(shù)學知識的學習效率，而且影響長遠對數(shù)學的發(fā)明和創(chuàng)造。數(shù)項級數(shù)概念的教學能培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，數(shù)項級數(shù)是微積分學中最重要的概念之一，是研究無限個數(shù)的求和問題，與有限求和相比，無限求和不論在形式上、本質(zhì)上，還是在思維的多向性上都有一定的難度。第一個問題是什么是數(shù)項級數(shù)？即什么是無限個數(shù)的和?第二個問題是無限個數(shù)的和在什么條件下存在？第三個問題是如果無限個數(shù)的和存在，那么如何求和？一元函數(shù)微積分學主要研究的對象是初等函數(shù)，雖然初等函數(shù)能夠描述許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的問題，但是，初等函數(shù)還遠遠不能滿足研究數(shù)學和許多實際問題，數(shù)學家就借助函數(shù)項級數(shù)引入了非初等函數(shù)，而數(shù)項級數(shù)又是函數(shù)項級數(shù)產(chǎn)生的基礎，因此深刻理解和掌握數(shù)項級數(shù)就非常重要。

華東師范大學數(shù)學系編寫的《數(shù)學分析》[2]僅從簡單的知識體系出發(fā)研究數(shù)項級數(shù)，即直接給出數(shù)項級數(shù)相關的概念和判別方法。雖然簡潔，但也存在如下不足：學生難以很快完成從有限項相加到無限項相加的過渡；學生對無限和的存在性問題認識不深刻；學生要實現(xiàn)從有限和到無限和的轉(zhuǎn)化需要有一個數(shù)學思維轉(zhuǎn)變的過程。文中給出的數(shù)項級數(shù)的基本構(gòu)成就比較單薄，沒有留給學生充分發(fā)揮想象的空間，讓學生對學習數(shù)項級數(shù)沒有強烈的求知欲望，缺乏學習的興趣與熱情。因此，為了讓學生對數(shù)項級數(shù)的內(nèi)涵有充分的認識和理解，提高學生的學習積極性，拓展數(shù)項級數(shù)的研究領域，豐富數(shù)項級數(shù)的知識內(nèi)涵，本文從以下六個方面談一談如何在數(shù)項級數(shù)概念的教學中培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力，進而提高數(shù)學分析課堂的教學效果與質(zhì)量，營造興趣盎然、思維活躍、視域?qū)拸V的數(shù)學分析課堂教學氛圍，為構(gòu)建多維高效的數(shù)學分析課堂教學質(zhì)量體系打好基礎。

一、數(shù)項級數(shù)是歷史發(fā)展的必然

二、數(shù)項級數(shù)是有限求和的推廣

三、數(shù)項級數(shù)是數(shù)列極限的延伸

在教學實踐中，只要堅持從實際出發(fā)，經(jīng)常采用這種聯(lián)想思維來引導學生探究新知識，學生就能在原有的認知結(jié)構(gòu)體系中，逐步探索并學會掌握定義新的知識體系的思維方式，從而建立牢固的知識體系，把課堂上的被動接受學習變?yōu)橹鲃犹剿鲗W習，不僅活躍了課堂學習氣氛，而且提高了學習效率。

四、數(shù)項級數(shù)是廣義積分知識的儲備

命題1[6]設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+)的任一閉區(qū)間上可積，則廣義積分收斂的充要條件是：對于發(fā)散于正無窮大的每個數(shù)列{An}?[a,+)，數(shù)項級數(shù)收斂，其中A0=a。

命題2[2]設函數(shù)f(x)是區(qū)間[1,+)的任一閉區(qū)間上可積且非負遞減函數(shù)，則正項級數(shù)與非正常積分同時斂散。

在教學實踐中，教師要經(jīng)常對學生進行知識延伸、類比推理，這樣不僅能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，而且能逐漸形成學生的創(chuàng)造思維，同時還可以使知識由此及彼進行傳導，達到訓練學生思維的變通性，使學生思維更加靈活，運用知識更加自如。把所有相似的知識點連接起來，形成一個知識鏈，使學生能夠系統(tǒng)地掌握知識和鞏固知識。

五、數(shù)項級數(shù)是數(shù)值計算的基礎

牛頓在1666年得到了用函數(shù)項級數(shù)來表示反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)：

所謂離散資源分配問題就是：屬于某社會團體的成員被劃分成若干部門，而團體所擁有的某種一定量的資源被稱為是離散資源，是指分給每個部門的資源量必須是非負整數(shù)，要解決的問題是團體如何將這些離散資源公平地全部分給下屬部門.

萊布尼茨在1673年左右得到了用函數(shù)項級數(shù)來表示正弦函數(shù)和余弦函數(shù)：

歷史上，有許多用數(shù)項級數(shù)來表示圓周率π的公式：如萊布尼茨和歐拉分別得到：

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，為了適應航海、天文學和地理學發(fā)展的需求，需要求出三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的精確值，這就必須利用數(shù)項級數(shù)。我們知道實數(shù)是由有理數(shù)與無理數(shù)組成的，而有理數(shù)可以用分數(shù)表示，也可以用有限十進制小數(shù)或無限十進循環(huán)小數(shù)來表示，任何一個無限循環(huán)小數(shù)總能被表示成分數(shù)，同時也可以用數(shù)項級數(shù)表示，例如：

六、數(shù)項級數(shù)是現(xiàn)實應用的工具

數(shù)學應用意識的培養(yǎng)有利于學生從數(shù)學的視角觀察周邊生活中的事物，分析事物中的數(shù)學點，尋求解決問題的數(shù)學方法。因此，把數(shù)項級數(shù)知識的學科性與數(shù)項級數(shù)知識的應用性相融合，就是數(shù)學教學過程的主要任務之一。數(shù)項級數(shù)的應用十分廣泛，首先，它在處理各類方程中發(fā)揮了其特有的功能。邱寧[8]就利用數(shù)項級數(shù)解決了一類時滯微分方程的解，并得到了很好的近似結(jié)果，同樣劉明鼎[9]在求解時滯拋物型方程時利用數(shù)項級數(shù)中幾何級數(shù)的相關理論得到了最好的近似結(jié)果。其次，特殊的數(shù)項級數(shù),即幾何級數(shù)的問題無處不在，比如，前面提出的阿基里斯追龜問題，還有物理學中放射性衰變問題等等。

例1[10]某合同規(guī)定，從簽約之日起，由甲方永不停止地每年支付給乙方500萬元人民幣，設銀行存款的年利率為10%，若(1)以年復利計息，(2)連續(xù)復利計算利息，則合同的現(xiàn)值應該是多少？

解 從題意可以看出，本題是經(jīng)濟學中由將來值求現(xiàn)值問題，其題意為數(shù)項級數(shù)求和問題，那就需要用現(xiàn)值來逼近無限和,利用幾何級數(shù)的理論可知：

這是以年復利計息一次在銀行存入55百萬元，才可以達到要求。

(2)連續(xù)復利計算利息，則和(1)的道理一樣。

總的現(xiàn)值 5+5e-0.1+5e-0.12+5e-0.13+…=536。

這是以連續(xù)復利計息一次在銀行存入約53.6百萬元的現(xiàn)金，才可以達到要求。

由此看出，對于同樣的結(jié)果連續(xù)復利比年復利所需要的現(xiàn)金要少一些。由此可得數(shù)項級數(shù)也與我們的生活息息相關，打破了我們的生活只與有限有關的概念。由此培養(yǎng)學生生活中認識數(shù)學，學會科學地思考問題并解決問題的能力，從中感悟數(shù)學的博大精深，形成正確的數(shù)學態(tài)度，實現(xiàn)生活中現(xiàn)實問題的數(shù)學化。

學生認識數(shù)項級數(shù)是數(shù)學歷史發(fā)展的需要，讓學生歷史地學習知識，認識到任何知識的產(chǎn)生都與社會的需要緊密相連；讓學生理解數(shù)項級數(shù)知識的來源基礎，進而掌握新的知識，用互相聯(lián)系的觀點理解由舊知識開拓新知識；數(shù)項級數(shù)在實際問題中的應用，讓學生明白知識來源于社會實踐并形成理論體系，最終還要服務于社會。多方位、多維度、發(fā)散式研究數(shù)項級數(shù)的知識體系，幫助學生豐富無窮級數(shù)的知識內(nèi)涵，建立各個知識體系之間的關系，了解數(shù)項級數(shù)發(fā)展中的歷史背景及艱辛歷程，幫助學生開闊學習的思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，提高學生學習數(shù)學知識的興趣。數(shù)項級數(shù)概念教學中對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)也可以應用到其他相關概念的教學，為通過數(shù)學教學來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力提供了一種行之有效的方法。

數(shù)學教學的研究視角也日益呈現(xiàn)出多元化的趨勢，且更為關注對實踐的指導意義和價值；而數(shù)學文化研究則在理論的層級化、關注其教育價值和功能以及學與教的改進與變革等方面不斷深入。[11]不斷提高教學效率，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，是數(shù)學教師義不容辭的責任。如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，我們在長期的數(shù)學教學實踐中，總結(jié)出以下幾個方面:首先，在數(shù)學教學實踐中，應該積極引導學生參加創(chuàng)造性活動，強化創(chuàng)新、創(chuàng)造意識。鼓勵學生的各種新穎、獨特的創(chuàng)造性行為，激發(fā)創(chuàng)造性欲望，鼓勵他們大膽嘗試、勇于實踐、不怕失敗，在不斷發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)經(jīng)驗中進步。當前，正在提倡并且應該加強培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，即培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學建模能力、數(shù)學運算能力、直觀想象能力和數(shù)據(jù)分析能力。其次，在數(shù)學教學實踐中，應該積極創(chuàng)造條件，促進學生的好奇心，激發(fā)學生的求知欲。通過創(chuàng)設問題情境，使學生面臨疑難，產(chǎn)生求知的需要和探索的欲望，主動提問和質(zhì)疑，教師應及時給予鼓勵。還可結(jié)合教學，向?qū)W生提出一些他們感興趣而又需要動腦筋才能解決所思考的問題，從而促進創(chuàng)造性思維的發(fā)展。再次，在數(shù)學教學實踐中，應該加強學生發(fā)散思維訓練，鼓勵直覺思維。發(fā)散思維更能體現(xiàn)思維的創(chuàng)造性，是創(chuàng)造性思維的主要成分。教師應從思維的獨創(chuàng)性、變通性和流暢性入手，重在啟發(fā)學生從不同角度對同一問題進行思考，以提高學生發(fā)散思維的能力。直覺思維在創(chuàng)造性活動中具有重要作用，教師應該有意識地去培養(yǎng)和發(fā)展它。要教育學生認真掌握一門課的基本理論和體系，這是非常重要的一步。還要鼓勵學生進行推測、猜想，提出各種設想，倡導學生學會捕捉轉(zhuǎn)瞬即逝的直覺，對學生直覺回答中的錯誤不要指責，應給予正確引導。最后，在數(shù)學教學實踐中，應該加強學生的直觀想象能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造個性。想象力是人類創(chuàng)造活動不可缺少的因素。教師要引導學生學會觀察，獲得感性經(jīng)驗，不斷豐富學生的想象。引導學生積極思考，不斷積累豐富經(jīng)驗，打開想象的大門。

總之，思維能力決定學習能力，教師在數(shù)學教學過程中，只有將學生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與數(shù)學教學內(nèi)容有機地結(jié)合起來，揭示數(shù)學思維過程，激發(fā)學生的好奇心、求知欲，重視創(chuàng)新思維訓練，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，以提高學生的學習效率，提高教學質(zhì)量。