焦半徑、焦點弦公式在高考中的應用

☉湖北省武漢市武昌實驗中學 李樂恒

眾所周知，拋物線上任意一點與焦點之間的所連線段的長度，叫做焦半徑；過拋物線焦點的直線被拋物線截得的線段叫做焦點弦.焦半徑、焦點弦是拋物線中的重要幾何性質(zhì)，因其能與直線的傾斜角、向量（定比分點）、三角形面積等知識交匯，故備受命題人青睞，而成為近年來高考試題、自主招生試題中的一個熱點問題，作為客觀題中的壓軸題，甚至解答題進行考查，以測試考生數(shù)學知識和思想方法的掌握和運用.

一、考題重現(xiàn)

下面列舉5個近年來焦半徑、焦點弦在新課標試卷中考查過的試題：

1.（2017新課標Ⅰ，理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

2.（2014新課標Ⅱ，理10）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）.

3.（2014新課標Ⅱ，文10）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則|AB|=（ ）.

4.（2013新課標Ⅱ，文10）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）.

5.（2016新課標Ⅲ，文20（1）理20（1））已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點.若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ.

二、教材出處

上述問題涉及拋物線的焦點弦、焦半徑的長度計算.在教材中追根溯源，其出處是：普通高中課程標準試驗教課書《數(shù)學選修2-1A版》（人民教育出版社2007年2月第2版）（以下簡稱課本）.

（1）課本第69頁例4：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，求線段AB的長.

（2）課本第70頁例5：過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

三、題根延伸

下面以課本中這兩道拋物線焦點弦、焦半徑的“題根”，延伸出如下6個問題或結論：

設AB是過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的一條弦，A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的傾斜角為θ.

（1）拋物線中的定值問題：y1y2=______，x1x2=______.

（2）拋物線焦半徑的長度：|AF|=_____，|BF|=______.

（3）拋物線焦點弦的長度：|AB|=______.

（4）焦點弦中最短的弦（通徑）的長度=______.

（6）△OAB的面積=______.

（2）過A作AA1⊥l于A1（l為準線），

則|AF|=|AA1|=p+|AF|cosθ，

圖1

注：當焦點在y軸上時，將cosθ換為sinθ，sinθ換為cosθ.

四、考題解答

五、解答總結

從以上各題可以看出，解決這類問題的常規(guī)解法，是按照解析幾何問題求解的“三部曲”，聯(lián)立直線和曲線方程，消元得到關于x或y的一元二次方程，用韋達定理得到焦點坐標的關系式，最后將目標轉(zhuǎn)化表示，運算量往往較大，若運用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡化運算，直達結論，起到事半功倍的效果.H