從兩道解析幾何問(wèn)題談教學(xué)中“說(shuō)”數(shù)學(xué)與“做”數(shù)學(xué)

☉江蘇省無(wú)錫市堰橋高級(jí)中學(xué) 陸旌霞

說(shuō)數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)對(duì)師生來(lái)說(shuō)都不陌生，說(shuō)數(shù)學(xué)泛指對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決方向的思考和嘗試，未必一定可做；做數(shù)學(xué)泛指對(duì)問(wèn)題的具體嘗試，能做也未必一定能講清楚，使人接受.因此，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“說(shuō)”與“做”，教師必須有清晰的認(rèn)知，要從理論中有一定的思辨.

說(shuō)數(shù)學(xué) 做數(shù)學(xué)思維性 思維廣度廣，可操作性未必能實(shí)現(xiàn)思維深度深，但思考角度較少操作性 操作性不強(qiáng)，更多是一種猜測(cè)操作性強(qiáng)，是對(duì)知識(shí)的實(shí)戰(zhàn)運(yùn)用對(duì)比 優(yōu)點(diǎn)是思維廣度、發(fā)散性思維得到了培養(yǎng)優(yōu)點(diǎn)是親身經(jīng)歷了對(duì)不同問(wèn)題方法取舍的實(shí)戰(zhàn)

因此可以這么說(shuō)，說(shuō)數(shù)學(xué)更多的是一種“探路”，而做數(shù)學(xué)是真正的“走路”.但在說(shuō)的過(guò)程中不做，是不能理解是否真的可以解決問(wèn)題；反過(guò)來(lái)一味地靠直覺思維做，而沒有更深、更廣的思、說(shuō)數(shù)學(xué)，很難獲得更好的思維層次，因此兩者的相輔相成是教師教學(xué)更需要關(guān)注的.

一、先說(shuō)再做

說(shuō)，是思維過(guò)程的語(yǔ)言表述形態(tài).而思維的活躍性，往往決定了能否找出合適的方向，因此思和說(shuō)成為問(wèn)題解決的首要探路方向.筆者就某一問(wèn)題進(jìn)行了學(xué)生探索的記錄，跟讀者一起來(lái)看看.

問(wèn)題1：如圖1，過(guò)x軸上一動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，P、Q為切點(diǎn)，設(shè)切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問(wèn)：直線PQ是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：本題是筆者給本備課組一次組內(nèi)說(shuō)題比賽時(shí)選用的一道圓錐曲線題.請(qǐng)教師從說(shuō)數(shù)學(xué)的視角首先說(shuō)一說(shuō)解決的可能性，然后從做一做的視角嘗試.主要是為了考查教師自身解決圓錐曲線問(wèn)題的能力.

圖1

教師甲（新教師）：我從最根本的角度思考，利用相切問(wèn)題判別式等于0來(lái)求解，我覺得這是最簡(jiǎn)單的思維方式，對(duì)于第（2）問(wèn)，要求定點(diǎn)只需要寫出直線方程即可教師乙（5年教齡）：我是想到了算兩次的想法，解析幾何中算兩次的使用非常多，本題中P、Q為切點(diǎn)，顯然利用了同理算兩次的原理，因此我是從這樣的斜率角度去思考教師丙（1 0年教齡）：對(duì)于第（1）問(wèn)，可以從方程思想出發(fā)思考，顯然是過(guò)一個(gè)點(diǎn)引兩條切線，其斜率是同一方程的兩解，因此可以認(rèn)為方程思想合適，第（2）問(wèn)我倒是認(rèn)為算兩次使用比較合理

說(shuō)的僅僅是思路，接下來(lái)請(qǐng)教師試一試，他所說(shuō)的方式到底能不能行得通？

教師丙（10年教齡）法3：（1）設(shè)過(guò)A（a，0）與拋物線y=x2+1相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為y=k（x-得x2-kx+（ka+1）=0，故Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4.

（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是x1x+1，切線AQ的方程是.又A點(diǎn)在AP、AQ上，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過(guò)定點(diǎn)（0，2）.

二、邊做邊說(shuō)

剛剛談到了先說(shuō)后做，這樣的方式存在一個(gè)很明顯的問(wèn)題，即萬(wàn)一說(shuō)的思維并不能實(shí)現(xiàn)，怎么辦？因此，現(xiàn)在說(shuō)數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)相比，并不是一先一后的方式，更多的是以并存的方式實(shí)現(xiàn)和進(jìn)行的.研究一個(gè)課題教學(xué)問(wèn)題2.

問(wèn)題2：設(shè)A和B為圓周x2+y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足與圓內(nèi)一定點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)A和B的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：本題是筆者改編自江西高考理14題，切點(diǎn)弦的考查是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題.請(qǐng)學(xué)生在不斷嘗試過(guò)程中，邊做邊說(shuō)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決和思維的螺旋上升.考慮角度：圓方程是最為特殊的二元二次曲線，學(xué)生不難求得其切點(diǎn)處的切線方程；另一問(wèn)，從∠ANB=可獲得等量關(guān)系，進(jìn)而得到A，B坐標(biāo)的關(guān)系，最終解決切點(diǎn)弦方程.

圖2

師：思考本題，看看怎么解決？

師：請(qǐng)?jiān)囈辉?

師：到此處，請(qǐng)你思考，你聯(lián)想到了什么？

生：從這個(gè)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，自然是韋達(dá)定理.

師：需要跟哪些點(diǎn)有關(guān)的韋達(dá)定理？

生：自然是直線AB方程有關(guān)的韋達(dá)定理.

師：那么現(xiàn)在首先解決直線AB方程，思考：過(guò)圓C：x2+y2=r2外一點(diǎn)M（x0，y0）作圓的兩條切線MA、MB，求切點(diǎn)A、B所在直線方程？

生：這個(gè)我做好了，可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行解決.

師：這位同學(xué)的思考是非常合理的，因?yàn)橛谩包c(diǎn)”去解決解析幾何問(wèn)題是最為常規(guī)的方式.

生：我是這樣解決的，我想利用我最熟悉的思路，即判別式等于0表示直線和圓相切，也能得到.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），切線lMA：y=k（1x-x1）+y1，聯(lián)立lMA與圓C方程得關(guān)于x的一元二次方程，由Δ=0得k=-x，得切線MA的方程

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生：老師，我也可以用剛剛學(xué)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求切線（.這位同學(xué)的做法很新鮮）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y2=r2-x2兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2yy′=-2x，于是有y′=-，所以切線MA的方程為y-y1=-（x-x1），即x1x+y1y=x12+y12=r2.同理lMB：x2x+y2y=r2.又M（x0，y0）在直線MA，MB上，則表示A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)都在直線x0x+y0y=r2上，即切點(diǎn)弦lAB：x0x+y0y=r2.

師：非常好！這樣我們可以對(duì)切點(diǎn)弦問(wèn)題做一個(gè)總結(jié)了.

過(guò)圓 C：x2+y2=r2上一點(diǎn) P（x0，y0）的切線方程為 x0x+y0y=r2.過(guò)圓 C：x2+y2=r2外一點(diǎn) P（x0，y0）作圓的切線，切點(diǎn)為 A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2.

師：用最后一位同學(xué)切點(diǎn)弦的思路，我們來(lái)解決原題.

總之，做數(shù)學(xué)和說(shuō)數(shù)學(xué)是不可分割的，說(shuō)是為了更好地做，做則實(shí)現(xiàn)了說(shuō)的目的.筆者以為教師間也要多開展類似活動(dòng)，讓說(shuō)和做呈現(xiàn)一定的交替，從而在一定程度上實(shí)現(xiàn)教師教學(xué)能力的提升.F