2018年以數(shù)學(xué)思想立意的高考試題評(píng)析

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 李雪蓮 趙思林

數(shù)學(xué)思想方法具備很高的智力價(jià)值，是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的重要手段，掌握了數(shù)學(xué)思想方法才能透徹理解數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有助于創(chuàng)造能力的發(fā)展.數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括，屬于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).在高考考試大綱中，明確規(guī)定了對(duì)數(shù)學(xué)思想的考查.高中常用數(shù)學(xué)思想包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)與整合思想、特殊與一般思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想、整體思想、極限思想、對(duì)稱(chēng)思想等.數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，在高考數(shù)學(xué)中占有重要地位.比如，2018年不少優(yōu)秀高考試題具有以數(shù)學(xué)思想立意的特點(diǎn)，對(duì)其中部分試題作了分析與點(diǎn)評(píng).

一、函數(shù)思想

函數(shù)概念的發(fā)展經(jīng)歷了300多年，由函數(shù)概念所形成的函數(shù)思想是認(rèn)識(shí)和處理變量關(guān)系的基本指導(dǎo)思想.函數(shù)思想是高中常用的一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)提高分析變量關(guān)系能力具有重要的意義.

例1 （2018年全國(guó)卷Ⅲ理科12）設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則（ ）.

A.a+b＜ab＜0 B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜ab D.ab＜0＜a+b

分析：需要比較a+b與ab之間的大小則需要構(gòu)造出a+b與ab.若直接將a與b相加或相乘，要想得到結(jié)果是比較困難的.容易想到.由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可，再由對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系可0.30.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得＜1.由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以得到a＞0，b＜0，所以ab＜0.所以ab＜a+b＜0，選B.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

二、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)與形是數(shù)學(xué)中研究的基本對(duì)象，在一定條件下兩者可以實(shí)現(xiàn)互化.無(wú)論是“以數(shù)解形”還是“以形助數(shù)”都可以幫助學(xué)生將問(wèn)題簡(jiǎn)化.教師要有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來(lái)，激發(fā)解題思維.

例2 （2018年天津理數(shù)8）如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAC=120°，AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）.

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：此題直接運(yùn)用向量的知識(shí)不及運(yùn)用解析法簡(jiǎn)單.

三、分類(lèi)與整合思想

在解決某些問(wèn)題時(shí)，被研究的問(wèn)題包含了至少兩種情況時(shí)，就需分類(lèi)討論.找到分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，化整為零，在每個(gè)子類(lèi)中單獨(dú)解決后再將所有情況整合在一起.分類(lèi)可以使研究對(duì)象化繁為簡(jiǎn)，更有利于解決問(wèn)題.

例3 （2018年浙江卷10） 已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）.若a1＞1，則（ ）.

A.a1＜a3，a2＜a4B.a1＞a3，a2＜a4

C.a1＜a3，a2＞a4D.a1＞a3，a2＞a4

分析：由a1+a2+a3=ln（a1+a2+a3+a4）可以聯(lián)想到不等式lnx＜x-1（x＞0且x≠1）.故a4=a1q3＜-1，所以q＜0.當(dāng)q＜-1時(shí)，a1+a2＜0，a3+a4＜0，即a1+a2+a3+a4＜0，與a1+a2+a3＞1矛盾.當(dāng)-1＜q＜0時(shí)滿(mǎn)足題意.所以a1＞a3，a2＜a4，選B.

點(diǎn)評(píng)：在解決此問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是聯(lián)想到不等式lnx＜x-1（x＞0且x≠1），此后還需對(duì)公比分類(lèi)討論.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想往往可以將一種問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一種問(wèn)題，將復(fù)雜的、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問(wèn)題.

例4（2018年北京卷理科7）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線(xiàn)x-my-2=0的距離，當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：由點(diǎn)P（cosθ，sinθ）的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在單位圓上.直線(xiàn)x-my-2=0過(guò)定點(diǎn)（2，0）.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單位圓上的點(diǎn)到過(guò)定點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)的最大距離為多少.如圖3所示，當(dāng)直線(xiàn)為x=2，單位圓上的點(diǎn)（-1，0）到直線(xiàn)的距離最大為3.故選C.

點(diǎn)評(píng)：此問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化后，便將求含有兩個(gè)參數(shù)的式子的最大值的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)簡(jiǎn)單的、熟悉的幾何問(wèn)題.

圖3

五、特殊化思想

對(duì)于一般情況成立，則對(duì)于特殊情況自然也成立.當(dāng)遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以將其特殊化，簡(jiǎn)化問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律或解題思路后再推廣到一般情況.

例5（2018年全國(guó)卷Ⅰ理科10）圖4來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ）.

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

分析：結(jié)論對(duì)于任意直角三角形都成立，則對(duì)于特殊的直角三角形自然也成立.可假設(shè)其三角形是直角邊為2的等腰直角三角形.通過(guò)計(jì)算可得SⅠ=2，SⅢ=π-2，SⅡ=2.所以p1=p2＞p3.故選A.

點(diǎn)評(píng)：在解決選擇題與填空題，這種不追求過(guò)程的題目時(shí)，往往可以將問(wèn)題特殊化得到結(jié)果.對(duì)于需要展現(xiàn)問(wèn)題解決過(guò)程的題目依然可以將問(wèn)題特殊化，幫助探尋一般情況下的解題思路.

圖4

六、概率與統(tǒng)計(jì)思想

概率與統(tǒng)計(jì)思想在生活中運(yùn)用的十分廣泛，基于數(shù)據(jù)的研究必然會(huì)運(yùn)用到概率與統(tǒng)計(jì)思想，概率與統(tǒng)計(jì)思想涉及到數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模.

例6（2018年全國(guó)卷Ⅱ理科8）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）.

分析：不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè).隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有=45（種）選法，其中和等于30的有{7，23}，{11，19}，{13，17}，共3種選法.所以其和等于30的概率為，故選C.

點(diǎn)評(píng)：此題包括了數(shù)據(jù)收集，數(shù)據(jù)整理，數(shù)據(jù)分析，還運(yùn)用古典概型數(shù)學(xué)模型.

七、整體思想

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須樹(shù)立整體思想，否則往往會(huì)得到矛盾的結(jié)論.從整體的角度考慮局部與整體的關(guān)系，可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.

例7 （2018年全國(guó)卷Ⅲ文科11）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C=（ ）.

點(diǎn)評(píng)：此題將a2+b2-c2視為一個(gè)整體，結(jié)合余弦定理將可以很快捷地解決此問(wèn)題.

除了上述思想外，高中常用數(shù)學(xué)思想還有建模思想、集合思想、隱含條件思想、逆反思想、參變數(shù)思想.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)要善于用數(shù)學(xué)思想的眼光去分析和解決問(wèn)題，鍛煉思維，激發(fā)創(chuàng)造性.