圓的割線性質(zhì)與切線性質(zhì)相互演變規(guī)律的研究

【摘 要】 采用運(yùn)動(dòng)的方法，平移圓的割線至切線這一極限位置，發(fā)現(xiàn)了割線與切線的關(guān)系是一般與特殊關(guān)系，并從平移過程中找到了相關(guān)幾何元素之間的相互替換關(guān)系，從而通過替換實(shí)現(xiàn)了割線與切線性質(zhì)的統(tǒng)一.用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)去研究圓的性質(zhì)，不僅有利于設(shè)計(jì)教學(xué)程序引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索性思維活動(dòng)，而且有利于揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，弄清知識(shí)之間的來龍去脈，因此，本文介紹的方法對(duì)指導(dǎo)教學(xué)及減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)都具有重要的意義.

【關(guān)鍵詞】 割線；切線；運(yùn)動(dòng)，一般；特殊；替換；極限位置

在圓的性質(zhì)的教學(xué)過程中，筆者對(duì)眼花繚亂的圓的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，采用極限運(yùn)動(dòng)的方法進(jìn)行了嘗試性探索，發(fā)現(xiàn)圓的性質(zhì)盡管層層重疊豐富多彩，但其內(nèi)部有著美妙的聯(lián)系，由此找到了建立聯(lián)系的方法，從中感受到圓的性質(zhì)美不勝收，令人妙不可言.只要我們抓住其間的內(nèi)在聯(lián)系，圓的性質(zhì)由復(fù)雜變簡(jiǎn)單，牢牢地掌握在我們的靈魂深處，永不磨滅.

下面，運(yùn)用極端運(yùn)動(dòng)的方法，對(duì)圓的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的探討，由此更深切地感受到問題研究過程中所運(yùn)用的思維方法的科學(xué)性與實(shí)用性.

如圖1，OD⊥AB，垂是為E，由垂徑定理知，EA=EB，DA=DB，若水平割線AB向下勻速平移，則兩交點(diǎn)A、B始終以對(duì)等的速度分別沿AE、BE向點(diǎn)E靠近，同時(shí)以對(duì)等的速度分別沿AD、BD向點(diǎn)D靠近，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，A、B兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D，割線AB變成切線MN，如圖2.

當(dāng)割線變?yōu)榍芯€時(shí)，直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)（即兩個(gè)公共點(diǎn)）從不重合（割線）到重合（切線），并不是從兩個(gè)交點(diǎn)變?yōu)橐粋€(gè)交點(diǎn)；就象一元二次方程有兩個(gè)相等的根仍看作兩個(gè)根一樣，直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)重合仍看作直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).因此，在割線變?yōu)榍芯€的過程中，直線與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)（從這個(gè)意義上講，切線可看作兩交點(diǎn)重合的一條特殊割線）.

在割線變?yōu)榍芯€的過程中，無論從移動(dòng)速度的均衡對(duì)稱性上看（始終以對(duì)等的速度），還是從直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況來看（始終有兩個(gè)交點(diǎn)），其間未有任何“突變”的情況發(fā)生.因此，割線AB與切線MN的關(guān)系，如同割線AB與割線PQ的關(guān)系一樣，只有位置的不同，沒有本質(zhì)的變化（沒有“量變”哪有“質(zhì)變”）.由此，我們猜想：有關(guān)割線的性質(zhì)對(duì)切線仍然適用，反之亦然，其表現(xiàn)形式是一般與特殊的關(guān)系（就象一元二次方程一樣，無論兩根相等與否，都滿足“根與系數(shù)的關(guān)系”，都可用“求根公式”求根一樣；同理，無論割線與圓的兩交點(diǎn)是否重合，我們猜想它們都滿足共同的圓的性質(zhì)，其關(guān)系是“一般與特殊的關(guān)系”）.

下面我們利用上面變化過程中的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，研究它在探索圓的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系上的奇妙作用.

垂徑定理及推論特殊化一般化切線性質(zhì)定理及推論

由垂徑定理及推論我們有，對(duì)一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備下列五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么一定滿足其它三個(gè)：（1）（垂直于弦）垂直于割線（注意，弦所在的直線是割線）；（2）過圓心；（3）（平分弦）過弦的中點(diǎn)；（4）平分弦所對(duì)的劣??；（5）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.

注意：當(dāng)知（2）（3）推（1）（4）（5）時(shí)，小心“平分弦的直徑不能推出垂直于弦，平分兩弧”；即應(yīng)強(qiáng)調(diào)附加“平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦且平分弦所對(duì)的兩弧”.

觀察如下運(yùn)動(dòng)過程：

割線（與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)）變?yōu)榍芯€（與圓有兩個(gè)重合的公共點(diǎn)）.切點(diǎn)可看成兩重合的公共點(diǎn)，過此兩（重合）公共點(diǎn)的弦（稱作切點(diǎn)弦——極限觀點(diǎn)）是長(zhǎng)度為零的弦，它的中點(diǎn)與兩重合公共點(diǎn)（即切點(diǎn)）重合，亦即，切點(diǎn)弦的中點(diǎn)為切點(diǎn).

注意，長(zhǎng)度為零的“切點(diǎn)弦”本來是不存在的，所謂“切點(diǎn)弦的中點(diǎn)”也就無從談起.為了找到割線性質(zhì)與切線性質(zhì)的相互演變方法，我們將“弦、弦的中點(diǎn)”平移到極端位置時(shí)的極限情形，給出對(duì)應(yīng)的極限定義“切點(diǎn)弦、切點(diǎn)弦的中點(diǎn)”.再則，“弦”所在的直線是割線，對(duì)應(yīng)地，“切點(diǎn)弦”所在的直線是切線.

從演變過程，我們得到如下對(duì)應(yīng)替換關(guān)系：

注意：過圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦，可見，弦的中點(diǎn)E也就是垂足E，這里，根據(jù)極限運(yùn)動(dòng)的演變規(guī)律，發(fā)現(xiàn)以上替換關(guān)系，從而找到割線性質(zhì)與切線性質(zhì)的相互演變方法.

首先，通過以上替換關(guān)系，我們可由垂徑定理及推論發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的切線性質(zhì)定理及推論如下：對(duì)一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備下列五個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么一定滿足其它三個(gè)：（1）（垂直于切點(diǎn)弦）垂直于切線（注意：切點(diǎn)弦所在的直線是切線）；（2）過圓心；（3）（過切點(diǎn)弦的中點(diǎn)）過切點(diǎn)（注意，切點(diǎn)弦的中點(diǎn)是切點(diǎn)）；（4）平分切點(diǎn)弦所對(duì)的劣?。唬?）平分切點(diǎn)弦所對(duì)的優(yōu)弧.

切點(diǎn)弦所對(duì)的劣弧是兩端點(diǎn)與切點(diǎn)重合的弧長(zhǎng)為零的弧，切點(diǎn)弦所對(duì)的優(yōu)弧是兩端點(diǎn)與切點(diǎn)重合的圓，過圓心且平分切點(diǎn)弦所對(duì)的劣弧與平分切點(diǎn)弦所對(duì)的優(yōu)弧的直線都是過切點(diǎn)的直線，因此，（4）與（5）都可用“（3）過切點(diǎn)”代替，即五條實(shí)質(zhì)可濃縮為三條，因此有：

切線性質(zhì)定理及推論：對(duì)一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備下列三個(gè)條件中的任何兩個(gè)，那么一定滿足第三個(gè)：（1）（垂直于切點(diǎn)弦）垂直于切線；（2）過圓心；（3）（過切點(diǎn)弦的中點(diǎn)）過切點(diǎn)（注意，切點(diǎn)弦的中點(diǎn)是切點(diǎn)）.

可見，哪怕我們還沒有接觸學(xué)習(xí)切線性質(zhì)定理及推論，但利用已證的垂徑定理及推論，我們可通過如上替換法，發(fā)現(xiàn)切線性質(zhì)定理及推論，它們是一般與特殊的關(guān)系.

總之，利用如上給出的替換關(guān)系，我們既可由割線性質(zhì)特殊化發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的切線性質(zhì)，也可由切線性質(zhì)一般化發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的割線性質(zhì)，這對(duì)設(shè)計(jì)圓的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)式教學(xué)程序有重要的指導(dǎo)性作用.上面（注意：弦所在直線是一般的割線，切點(diǎn)弦所在的直線則是特殊的割線即切線），我們利用替換關(guān)系由垂徑定理及推論發(fā)現(xiàn)了切線性質(zhì)定理及推論，從替換中，我們不但發(fā)現(xiàn)了切線性質(zhì)定理及推論，而且看到了垂徑定理與切線性質(zhì)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系.

（說明：如上替換演變方法，也是割線問題變?yōu)榍芯€問題進(jìn)行一題多變的常用方法.對(duì)割線與切線的相應(yīng)性質(zhì)，其證明過程也應(yīng)該是相互對(duì)應(yīng)的，也具有一般與特殊的關(guān)系.大家可將它們的證明過程對(duì)比轉(zhuǎn)換，就能看出這一點(diǎn).從這里可見，只要證明了有關(guān)割線的性質(zhì)，再將證明過程對(duì)應(yīng)特殊化，就得到相對(duì)應(yīng)的切線性質(zhì)的證明方法，不需要另外去探索證明方法了，從而減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)的負(fù)擔(dān).）下面，我們利用上面給出的替換關(guān)系，研究若干割線性質(zhì)與切線性質(zhì)相互演變的具體方法，示范如下，以此類推：

一、平行弦性質(zhì)特殊化平行切線性質(zhì)

二、切線長(zhǎng)定理一般化割線長(zhǎng)定理

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB為⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn) OA=OBPA=PB∠APO=∠BPO

則可通過替換演變出內(nèi)部和諧統(tǒng)一的幾何命題.

引入切點(diǎn)弦及所具有的軸對(duì)稱性，可將圓的一些性質(zhì)有機(jī)地串聯(lián)起來，揭示圓的性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從中感受到圓性質(zhì)的內(nèi)在對(duì)稱美，其研究過程中的極限思維閃耀著的智慧之光，鮮艷奪目，燦爛輝煌，給我們帶來新奇的美的感受，感受美欣賞美贊嘆美，美不勝收，其樂無窮.綜上可見，用極限運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)去研究圓的性質(zhì)，不僅有利于設(shè)計(jì)教學(xué)程序引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索性思維活動(dòng)，而且有利于揭示知識(shí)之面的內(nèi)在聯(lián)系，弄清知識(shí)之間的來龍去脈.如此“活化”后的圓的知識(shí)框架，更能加深對(duì)知識(shí)的理解記憶，達(dá)到靈活運(yùn)用的功效.

從這里深切感受“極端運(yùn)動(dòng)的方法”，在幾何研究中的巨大作用與非凡的功能，也讓我們體會(huì)到創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，不墨守成規(guī)，不局限教材方法的好處，方法比死記僵死的知識(shí)更重要，善于總結(jié)方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能開發(fā)智力，提高學(xué)習(xí)效率，成為一代創(chuàng)新型人才.作者簡(jiǎn)介 李道生（1962—），男，中教一級(jí)，主要從事快速記憶、創(chuàng)新教育、教材教法等課題的研究工作，發(fā)表中數(shù)教研論文二十余篇，出版專著三本，輔導(dǎo)學(xué)生獲第三十屆全國(guó)青少年科技創(chuàng)新大賽數(shù)學(xué)一等獎(jiǎng).