研究中考試題的幾個視角

余小芬

中考試題是知識、能力和思想方法的載體，是命題思想、命題理念的程序化展現(xiàn)，具有典型性、示范性和權(quán)威性.部分中考試題設(shè)計新穎，構(gòu)思巧妙，體現(xiàn)了命題專家的智慧.研究中考、研究中考試題是復(fù)習(xí)備考中“有的放矢”的最佳途徑.縱觀歷年中考試題，不乏有一批情境新穎、探究性強、思路寬廣、解法多樣、結(jié)論豐富的優(yōu)秀試題，這些好題不僅是當(dāng)年中考的一道亮麗風(fēng)景線，而且也具有重要的教學(xué)和研究價值.同時這些試題的變式和拓展也是再次編寫中考試題的良好素材.一線的數(shù)學(xué)教師們將這些試題作為中考復(fù)習(xí)的例題或研究性學(xué)習(xí)的材料，既能避免題海戰(zhàn)術(shù)，又能有效地促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷提升.因此，數(shù)學(xué)教師們需要深入研究中考試題，認(rèn)真把握中考動態(tài)，領(lǐng)會命題改革精神.本文以2018年天津市中考數(shù)學(xué)第18題（下文簡稱18題）為例，提出研究中考試題的幾個視角：研究試題立意、試題背景、試

題解法、試題變式和試題評價，以饗讀者！圖1

試題回放 如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的點A，B，C均在格點上.

（Ⅰ）∠ACB的大小為 （度）；

（Ⅱ）在如圖1所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點P逆時針旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為P′，當(dāng)CP′最短時，請用無刻度的直尺，畫出點P′，并簡要說明點P′的位置是如何找到的（不要求證明）.1 試題立意

試題立意指試題的主題思想，是命題者命題意圖的集中體現(xiàn)[1].試題的立意引領(lǐng)試題的編擬：命題者基于命題意圖，選擇適當(dāng)?shù)目疾閮?nèi)容、設(shè)置合理的數(shù)學(xué)問題、擬定恰當(dāng)?shù)目疾樾问?近年中考命題形成了“注重基礎(chǔ)，考查能力”的命題特點.18題立意深刻，分析如下：

1.1 考查主干知識

18題考查了平行線的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等、相似等初中主干知識，考查了尺規(guī)作圖原理及作圖操作，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性、綜合性及應(yīng)用性.

1.2 考查能力

18題以“能力立意”為核心，從多角度、多層次考查學(xué)生的探究能力、空間想象能力和推理能力.

（1）探究能力

數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程.這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.具體來講，“探”指“是什么”，“究”指“為什么”.探究的基本思路是：特值引路，先猜后證.18題考查了學(xué)生探究能力.

“探”：解答（Ⅱ）問首先要探出P′的運動軌跡；其次需探出BC旋轉(zhuǎn)后的位置；最后要探出使CP′最小的點P′的位置.圖2

“究”：如圖2，首先利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，確定出P′應(yīng)落在邊B′C′上；其次，利用旋轉(zhuǎn)、正方形性質(zhì)、三角形全等、相似、銳角三角函數(shù)等知識，確定出B′C′上兩點位置（或一點及B′C′的傾斜程度），進而根據(jù)“直線外一點（C）與直線（B′C′）上任意一點的連線中，垂線段最短”，將問題轉(zhuǎn)化為作CP′平行于AC′，從而利用三角形中位線定理、平行線判定定理及性質(zhì)確定CP′.

（2）空間想象能力

偉大科學(xué)家愛因斯坦曾說：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且它是知識進化的源泉.嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實在因素.”關(guān)于空間想象力的含義，林崇德教授指出，中學(xué)生的空間想象能力包括對平面幾何圖象和立體幾何圖形的運動、變換和位置

關(guān)系的認(rèn)識，以及數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問題的幾何解釋等[2].《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中對培養(yǎng)初中生空間觀念的內(nèi)容中就明確提出：能描述圖形的運動和變化，能依據(jù)語言的描述畫出圖形[3].

18題探究出點P′位置對學(xué)生的空間觀念要求較高.首先需要學(xué)生能夠想象△ABC旋轉(zhuǎn)后的位置；再次，確定邊B′C′所在直線時，需想象邊BC上特殊點（如格點）旋轉(zhuǎn)后的位置；最后，探究CP′最短時，要能想象CP′與邊AC′的平行關(guān)系.

（3）推理能力

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式[2].波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面……用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實驗性的歸納科學(xué)”.數(shù)學(xué)推理也應(yīng)有兩類：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗證猜想，證明結(jié)論.《標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中明確提出要求：要發(fā)展合情推理和演繹推理的能力.兩種推理功能不同，相輔相成[3].

解答18題對學(xué)生推理能力要求較高：解答（Ⅱ）問首先根據(jù)作圖工具為無刻度直尺，分析出作圖原理——構(gòu)造線段、射線或直線；其次，由合情推理大膽猜想BC上的一些特殊點（如格點）旋轉(zhuǎn)后的位置；再次，確定B′C′的位置、構(gòu)造垂線段CP′需進行嚴(yán)密邏輯推理.整個過程既有合情推理又有演繹推理.2 試題背景

試題的背景指命題時選取素材中含有的知識、模型、問題、文化、思想和方法等[1].弄清試題背景對領(lǐng)悟試題的立意有益，對理解試題的本質(zhì)有利，對探索試題的解法有用.常見的試題背景有現(xiàn)實背景、教材背景、高考（或高中）背景、高等數(shù)學(xué)背景、競賽背景、數(shù)學(xué)史背景等等.18題內(nèi)涵豐富，有深刻的教材背景和中考試題背景.

2.1 教材背景

該試題取材于人教版九年級（上）第二十三章“旋轉(zhuǎn)”一章（教材62頁）的兩道習(xí)題.圖3 圖4

習(xí)題3：如圖3，△ABC中，AB=AC，P是邊BC上任意一點，以點A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

習(xí)題4：如圖4，分別畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形.

點評 教材習(xí)題3介紹了利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，P旋轉(zhuǎn)后應(yīng)落在BC對應(yīng)邊B′C′上，且AB旋轉(zhuǎn)至AC.這恰好為18題（Ⅱ）問確定B′位置、P′的軌跡積累了作圖經(jīng)驗.習(xí)題4考查在網(wǎng)格中作△ABC的旋轉(zhuǎn)圖形.這與18題（Ⅱ）問僅使用無刻度直尺作圖原理一致.同時，18題（Ⅱ）問當(dāng)CP′最短時，即C1P最短（如圖2，C1為邊AB上點，且AC1=AC），故（Ⅱ）問也可轉(zhuǎn)化為以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，將△C1PB旋轉(zhuǎn)至△CP′B′，這與習(xí)題4顯然同類型，只不過習(xí)題4中旋轉(zhuǎn)角為90°和180°，作圖思維難度更小，可操作性更強.

2.2 中考試題背景

利用網(wǎng)格作圖是近年中考的重點和熱點.在網(wǎng)格背景下研究平面圖形，一方面保留了圖形自身的幾何特性，另一方面網(wǎng)格自身的位置和數(shù)量特性又賦予了圖形一些特殊關(guān)系，進而使圖形的一般幾何性質(zhì)得以特殊化、數(shù)量化.[4]由此可見，網(wǎng)格中尺規(guī)作圖注重知識間的緊密聯(lián)系與靈活轉(zhuǎn)化，對學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化問題的能力要求較高.近年，天津市中考數(shù)學(xué)卷18題始終堅持考網(wǎng)格中的作圖問題，形成了獨特的命題風(fēng)格，為新作圖問題的命制提供了樣板，為新作圖題的解答提供了思路和方法，為應(yīng)對新作圖問題積累了經(jīng)驗.因此，可以說18題含有歷年網(wǎng)格作圖題的背景.3 試題解法

解法研究是研究中考試題的最基本形式和主要內(nèi)容.解答方法是命題意圖的直觀呈現(xiàn)，是試題背景的外化.解法研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯解分析等等.其中，一題多解指從不同視角對同一問題進行分析，進而得到多種解答方法.在一題多解的過程中，需要關(guān)注思路的形成、方法的提煉、過程的表達和策略的優(yōu)化.通過對解法間共性與差異的分析，加深對問題本質(zhì)的認(rèn)識，同時培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和策略的多樣性.18題解答視角寬，下面給出分析.

解析 AB=52，BC=42，AC=32，∠ACB=90°.不妨設(shè)△ABC旋轉(zhuǎn)至△AC′B′，則點P旋轉(zhuǎn)后應(yīng)落在邊B′C′上，故當(dāng)CP′最小時，圖5應(yīng)滿足CP′⊥B′C′.又AC′⊥B′C′，故AC′∥C′P′.

下面首先給出確定CP′所在直線的方法：如圖5，取格點I，J，線段IJ交AB于點F，則直線CF即為CP′所在直線.

說明 因為IJ∥BC，J為AK中點，所以F為AB中點，故在Rt△ABC中，F(xiàn)A=FC，∠1=∠2.由旋轉(zhuǎn)知∠2=∠3，所以∠1=∠3，得CF∥AC′.因此，CP′落在直線CF上.

再確定B′C′的位置.易知點B旋轉(zhuǎn)至B′，因此只需再確定直線B′C′上一點或B′C′的傾斜程度.下面給出幾種不同的處理方法.

法1 取格點G，N，H，S，連接GH與SN交于點M，則邊B′C′落在直線B′M上.

說明1 易知∠FBI=∠MB′H.又∠FBI=45°-∠ABC，∠MB′H=45°-

∠CB′M，因此∠ABC=∠CB′M.故邊BC旋轉(zhuǎn)后落在直線B′M上.

說明2 如圖5，不妨設(shè)邊BC旋轉(zhuǎn)后落在過B′的直線l上，延長BC交l于點O.在Rt△B′CO中，CO=B′C·tanB=322.又BC延長線過格點N，S，且CN=2，故NO=CO-CN=22，顯然O為單位正方形對角線NS的中點，故O與M重合，即邊B′C′落在直線B′M上.圖6

法2 如圖6，取格點K，S，延長線段AS至點N.取格點D，E，G，H，L.連接ED交直線SC于點F，連接GH交直線DL于點Q，連接FQ與射線SN交于點M，則M為BC邊上點K旋轉(zhuǎn)后所得點，即邊B′C′落在直線B′M上.

說明 如圖6，由AKAC=BKCS=2，∠AKB=∠ACS=135°，知△ACS∽△AKB，故∠SAC=∠BAK.所以∠KAS=∠BAC.故K旋轉(zhuǎn)后所得點K′應(yīng)落在射線AS上，又AK=6，AS=5，所以SK′=1.

又由相似，F(xiàn)SDL=45.同理，QLGS=45.又DL=GS=1，所以FS=QL=45.故在Rt△SFM中，F(xiàn)S=SM·

sin∠FMS=SM·sin∠SAK，解得SM=1.

綜上，M與K′重合，即邊BC旋轉(zhuǎn)后落在直線B′M上.

法3 如圖7，以A點為原點建立平面直角坐標(biāo)系.取格點K，D，E，F(xiàn)，U，T.連接CF交AK于點N，連接DE交直線l于點M，作直線MN.再取格點H，G，I，S，L，O.連接GH交直線CD于點J，連接IS交直線EF于點Q，直線MN交JQ于點R，則邊BC旋轉(zhuǎn)后落在直線B′R上.圖7

說明 令K（6，0）旋轉(zhuǎn)至點K′，故K′的橫坐標(biāo)xK′=AK′·cos∠K′AK=6cos∠CAB=185，縱坐標(biāo)yK′=AK′·sin∠K′AK=245.即K′坐標(biāo)為（185，245）.

由相似，TN=UM=35，故AN=AT+TN=185，且直線MN⊥AK.同理，JL=OQ=45，故JQ∥GS，且NR=4+45=245，所以R（185，245）.

綜上，R與K′重合，即邊BC旋轉(zhuǎn)后落在直線B′R上.

點評 法1、法2、法3的關(guān)鍵均是確定邊BC旋轉(zhuǎn)后的位置.其中法1又可從兩種不同視角進行理解：說明1是通過構(gòu)造全等三角形說明角相等，從而利用一定點（B′）和定角確定直線；說明2是先計算再構(gòu)造.即先假設(shè)圖形存在，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)計算出邊B′C′上關(guān)鍵點M所應(yīng)滿足的條件（CM=322），最后再利用網(wǎng)格幾何性質(zhì)反過來尋找滿足條件的點M，由此確定邊B′C′位置.

法2、法3則是抓住邊BC上的關(guān)鍵格點K.其中法2是結(jié)合計算，構(gòu)造相似三角形找出旋轉(zhuǎn)角，從而明確K′所在直線，進而根據(jù)“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”確定K′位置.而法3則通過建立直角坐標(biāo)系，將K′位置坐標(biāo)化，再結(jié)合橫縱坐標(biāo)構(gòu)造對應(yīng)長線段來確定K′.同時，法2、法3中繪制長度為35（或45）的線段均是將35（或45）處理為兩個相似三角形的相似比.圖8

特別指出，18題提供的是8×9網(wǎng)格，如果替換成8×10網(wǎng)格紙，更容易確定B′C′所在直線.如圖8，取格點D，D′，B′，則直線BC上點D旋轉(zhuǎn)后為點D′，故B′C′落在直線B′D′上.圖9

還比如替換成8×35網(wǎng)格，也可通過下列作法直接確定點P′：如圖9，取格點B′，J，E，F(xiàn)，G，H.連接B′J，連接EF交直線l1于點M，連接GH交直線l2于點N，則直線MN與B′J的交點即為所求P′.

（對于圖8、圖9作法，有興趣的讀者可自行證明，限于篇幅，此處略.）4 試題變式

變式是指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質(zhì)屬性時隱時現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式.“依靠變式提升演練水準(zhǔn)”是張奠宙先生指出的數(shù)學(xué)教學(xué)的四個特征之一.變式有助于完善學(xué)生認(rèn)知，幫助學(xué)生形成良好的的認(rèn)知結(jié)構(gòu).圖10

4.1 條件變式

改變18題的作圖工具，提供圓規(guī)、無刻度直尺，則可直接作出旋轉(zhuǎn)角、截取線段等于已知線段長、作已知直線的垂線段.作法如圖10所示（僅保留作圖痕跡）.

4.2 問題變式

如圖11，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的點A，B，C均在格點上.圖11

（Ⅰ）P是BC邊上任意一點，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點C順時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點為C′，當(dāng)C′P最短時，請用無刻度的直尺，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的.

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，又以B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)，得到△A′BC″.Q為邊A′C″上任意一點，當(dāng)CQ+PQ最短時，請用無刻度的直尺，畫出點Q，并簡要說明點Q的位置是如何找到的.（限于篇幅，僅保留作圖痕跡及證明中需取的關(guān)鍵點.）5 試題評價

斯塔弗爾比姆指出：“評價最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進.”評價中考試題，對于應(yīng)試者來說，就是為了改進教與學(xué)：是立足、堅守？還是改進、優(yōu)化？對命題者來說，評價是提高試題質(zhì)量的有力保障.

總的說來，18題是整張試卷中的一道優(yōu)秀試題.首先，該試題涉及知識容量較大，覆蓋了平行線的判定定理及其性質(zhì)、三角形、正方形、勾股定理、全等、相似等基本知識，這符合考查主干知識的命題原則；其次，題目注重對數(shù)學(xué)思想的考查，比如：（Ⅱ）問考查了數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想；再次，考查了運算能力、推理能力、空間想象能力和自主探索能力，這體現(xiàn)了“加強基礎(chǔ)，培養(yǎng)能力，發(fā)展智力”的教學(xué)指導(dǎo)思想；第四，從題目的設(shè)置層次上看也是非常合理的，它在有良好“信度”、“效度”的基礎(chǔ)上，具有十分好的區(qū)分度：（Ⅰ）問考查了特殊角度的求解，屬于簡單問題，絕大部分學(xué)生都能解決，這體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展”這一理念；（Ⅱ）問難度較大，帶有濃厚的“壓軸題”味道，在區(qū)分度上非常好；第五，該試題的編制具有創(chuàng)新性，具體表現(xiàn)在：打破了傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖題型，少了圓規(guī)，多了利用幾何性質(zhì)作圖，這些充滿活力的格點和平行線使得作圖題充滿魅力、充滿趣味、賦予挑戰(zhàn)，這也體現(xiàn)了“在玩中學(xué)、在學(xué)中思、在思中得”的理念；第六，該試題源于教材和中考試題，對回歸教材教學(xué)和把握中考動向有很好的引領(lǐng)和示范作用.

盡管該試題獨具匠心，但仍存在一些瑕疵.18題（Ⅱ）問只要求作圖，不需證明.盡管命題者設(shè)計意圖是為了降低試題難度，但這對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不利.《標(biāo)準(zhǔn)》也明確要求：“在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡”，即作圖也要做到“有根有據(jù)”.否則，可能使得學(xué)生會畫（具備操作技能），但不會“寫”（缺乏語言表達能力），更不會“證”（缺乏邏輯思維能力），這直接影響對學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力的培養(yǎng).因此，在日常教學(xué)中，除了加強學(xué)生動手操作能力，也要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推證能力和語言表達能力，使得學(xué)生的理性精神在潛移默化中完美升華.

波利亞指說：一個專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的老師往往能夠拿出一個有意義但又并不復(fù)雜的題目，幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.這樣看來，18題正是“這樣的一道題”，而研究中考試題的五個視角正是打開“那道門的鑰匙”，由此必將促使學(xué)生通過有限的分析領(lǐng)悟解決無窮問題的數(shù)學(xué)機智.

參考文獻

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