積極聯(lián)想 發(fā)散挖掘

鄭學(xué)濤　郭煥

1 例題呈現(xiàn)

（2018年山東臨沂中考25題）將矩形ABCD繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<360°），得到矩形AEFG，

（1）如圖1，當(dāng)點E在BD上時，求證：FD=CD；

（2）當(dāng)α為何值時，GC=GB？畫出圖形并說明理由.

圖1 圖22 題目解答

當(dāng)點E在BD上時，∠AEF=90°，所以∠DEF+∠AEB=90°，又因為AE=AB，所以∠AEB=∠ABE，∠ABE+∠CBD=90°，可得∠DEF=∠CBD，而證明線段相等最常用的方法為證明這兩條線段所在的三角形全等，故想到構(gòu)造一個與Rt△BCD全等的三角形，而且這一組全等三角形還要為∠DEF=∠CBD為對應(yīng)角，自然想過延長GF，交BD的延長線于N，則可證Rt△BCD≌Rt△EFN，再證FD=FN即可得FD=CD；對于第（2）問，要保證GC=GB，則G點一定在線段BC的垂直平分線上，因此首先尺規(guī)作圖得到圖3和圖4，當(dāng)α分別為60°（圖3）和300°（圖4）時，有GC=GB，且兩圖待證結(jié)論都可通過連接DG證明△DGC≌△AGB得到.圖3 圖43 積極聯(lián)想，發(fā)散挖掘

3.1 以題聯(lián)題

無獨有偶，2018年江蘇無錫中考數(shù)學(xué)的27題以幾乎同樣的問題背景設(shè)置了兩個問題，這兩個問題與臨沂25題具有異曲同工之妙，聯(lián)合起來不但使問題類型更既豐富，而且增加問題的趣味性.圖5

如圖5，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，經(jīng)此矩形繞B點順時針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，點A1在直線CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點D到點D1所經(jīng)過路徑的長度；

（2）將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞B點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2，點D2在直線BC的延長線上，設(shè)A2B與CD交于E，若A1EEC=6-1，求nm的值.

解 （1）過A1向AB作垂線，可得∠A1BA=30°，點D到點D1所經(jīng)過路徑為弧，其所對的圓周角為∠A1BA，半徑為2，求得路徑長度為π3；

（2）因為A1EEC=6-1，所以A1CEC=6，可證△BCE∽△BAD，則BCAB=CEAD，即CE=n2m，則A1C=6n2m，在Rt△A1CB中，根據(jù)BC2+A1C2=A1B2得n2+（6n2m）2=m2，解得m=3n，nm=33.

3.2 探究更加一般的中點圖6

對于臨沂中考第（1）問，當(dāng)點E在BD上時，有CD=DF，且此時C、D、F三點共線，也即D為CF中點，而更一般的結(jié)論應(yīng)為：當(dāng)0°<α<360°時，直線BE交線段CF于M，則M是CF的中點，僅當(dāng)點E在BD上時，點D與點M重合，如圖6，其證明如下：過F作FQ∥BC交直線BE于Q點，繼而可證△BCM≌△EFQ，可得CM=FQ，再證MF=QF，即可得CM=MF.

3.3 探究線段之間的位置關(guān)系

在3.2問的基礎(chǔ)上，連接AM，則AM和CF具有怎樣的位置關(guān)系？

AM⊥CF，連接AC和AF，可得AC=AF，則△ACF是等腰三角形，根據(jù)三線合一可得AM⊥CF.

3.4 探究最大最小值

設(shè)AB=m，BC=n，當(dāng)α分別為何值時，CF取得最大和最小值？若設(shè)矩形ABCD對角線交于P點，連接PF和PE，則△PFE面積的最大值和最小值是多少？

其實E點在以A為圓心，AE為半徑的圓周上運動（不與B重合），而C為定點，根據(jù)兩點之間線段最短，當(dāng)C、A、E三點共線且E在A線段AC上時，CE取得最小值為m2+n2-m，此時PE⊥PF，則△PFE的面積取得最小值，為2mn-nm2+n24，α=arctannm，當(dāng)C、A、E三點共線且E在線段AC延長線上時，CE取得最大值為m2+n2+m，此時PE⊥PF，則△PFE的面積取得最大值，為2mn+nm2+n24，α=180°+arctannm.對a和b賦予特殊的值，初中生就可以求解了.

3.5 變轉(zhuǎn)動為滑動圖7

當(dāng)AB=m，BC=n時，E是線段BC上一動點，連接AE作矩形AEFG，使G恰好落在射線CB上，延長DC到H并連接CF，如圖7，∠FCH的大小發(fā)生變化嗎？如果不變，請用m、n的代數(shù)式表示其正切函數(shù)值.

∠FCH是個定值，過F作FQ⊥CH，垂足為Q，可證△ABG≌△EQF，故EQ=AB=CD，所以CQ=DE，又因為△ADE∽△ABG，所以ADAB=AEAG=AEEF=nm，因為△ADE∽△EQF，所以AEEF=DEFQ=nm，故FQ=mnDE，所以tan∠FCH=mn.4 思考

數(shù)學(xué)是一門靈活的科學(xué)，無論是教師還是學(xué)生，在面對具體的數(shù)學(xué)題目時都不要僅僅把自己看作是一個解答者，有時候“不識廬山真面目”的原因就是在解決問題上匆匆而過，在完成一個題目的解答之后并未再以命題者的身份對問題進行深入探究，挖掘那些隱藏的細節(jié)，聯(lián)想更多的問題，筆者通過本文和文獻[1]-[3]向讀者提供一些細致研究題目的方法和視角，希望對讀者有所幫助.

參考文獻

[1]鄭學(xué)濤，劉元香.從特殊到一般——對2016年日照中考數(shù)學(xué)21題的深入探究

[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（04）：57-59.

[2]鄭學(xué)濤.還原全貌 深度思考——對2017年淄博市中考數(shù)學(xué)23題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（10）：60-62.

[3]鄭學(xué)濤.既見樹木，何不深入森林？——圍繞2017年濟寧市中考數(shù)學(xué)20題開展的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（04）：60-62.