中考試題研究

何君青??

2018年中考?jí)m埃落定，各地中考試卷相繼出爐，作為一線教師，對(duì)本市的中考試題的研究必不可少，教師不僅會(huì)在第一時(shí)間將試題認(rèn)真做一遍，更會(huì)設(shè)計(jì)出適合下一屆學(xué)生的試題講評(píng)課.今年南京市中考試卷第27題構(gòu)思巧妙、內(nèi)涵豐富，筆者在深入研究后，感悟頗深，結(jié)合之前嘗試的“分層教學(xué)”模式，設(shè)計(jì)了一節(jié)講評(píng)課，這種模式下的講評(píng)課不僅體現(xiàn)因材施教的教學(xué)原則，也有利于對(duì)學(xué)生個(gè)性化進(jìn)行教育，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，同時(shí)能更好地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，故撰文與同行交流.1 課堂設(shè)計(jì)

本節(jié)課的授課對(duì)象是較好的學(xué)生，將全校最為優(yōu)秀的一部分學(xué)生挑選出來(lái)進(jìn)行授課，故設(shè)計(jì)原則應(yīng)以提升數(shù)學(xué)能力為主，以2018年南京市中考試題第27題入手，通過(guò)變式研究，找尋其中蘊(yùn)涵的規(guī)律.

1.1 原題呈現(xiàn)

下面是小穎對(duì)一道題目的解答.

題目：如圖1，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積.圖1

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F.CE的長(zhǎng)為x.

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根據(jù)勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2.

整理，得x2+7x=12.

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索.

已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n.

可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn.

倒過(guò)來(lái)思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求證∠C=90.

改變一下條件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積.

分析 本題綜合性、探究性較強(qiáng)，考查三角形、圓、三角函數(shù)、勾股定理等有關(guān)知識(shí)，題目注重知識(shí)之間的連貫性、幾何語(yǔ)言的規(guī)范性，更注重學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).本題的第1問(wèn)和第2問(wèn)做法比較常規(guī)，難度不大.第3問(wèn)要求學(xué)生要有轉(zhuǎn)化的思想，化斜為直，從而解決問(wèn)題.從考查內(nèi)容上看，本題涉及的內(nèi)容都是核心考點(diǎn)，如直角三角形的面積、切線長(zhǎng)定理、勾股定理，可見(jiàn)題目特別注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，同時(shí)注重對(duì)學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力的考查，能反映出平時(shí)課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累程度；從考查方式上看，本題一開(kāi)始給予學(xué)生適當(dāng)解題策略指導(dǎo)，降低了題目本身的難度，可以讓不同層次的學(xué)生都有所收獲；從考查意義上看，本題關(guān)注知識(shí)間的連貫性，將初中三年的知識(shí)貫穿在一起，用一個(gè)題讓學(xué)生再次經(jīng)歷三年的學(xué)習(xí)過(guò)程.1.2 數(shù)值更換

為了能讓學(xué)生對(duì)上述問(wèn)題的研究更加深入，筆者決定將∠C=60°的條件更換成∠C=120°.這樣讓題目涉及的范圍更加廣泛，從一開(kāi)始的直角三角形到后來(lái)的銳角三角形，再到鈍角三角形，研究會(huì)十分充分.

變式1 若∠C=120°，用α、m、n表示△ABC的面積.圖2

解 如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G.

因?yàn)椤螦CB=120°，

所以∠ACG=60°.

1.3 找尋規(guī)律

變式2 若∠C=α（0°<α<90°），用α、m、n表示△ABC的面積.圖3

解 如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G.

分析 此題將原試題中∠C的度數(shù)用α（0°<α<90°）進(jìn)行表示，更具一般性，是中考試題的一般化研究，需要用三角函數(shù)表達(dá)，難度大大增加.

變式3 若∠C=α（90°<α<180°），用α、m、n表示△ABC的面積.圖4

解 如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G.

分析 此題將變式1中∠C的度數(shù)用α（90°<α<180°）進(jìn)行表示，更具一般性，雖然初中階段研究的是銳角三角函數(shù)，但本題的研究并不超綱，對(duì)于成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生完成符合.2 感悟思考

2.1 研究適合的題目

當(dāng)今教育，素質(zhì)教育流于形式，凡是中考必考的知識(shí)一定進(jìn)行大量的訓(xùn)練，凡是中考不考的知識(shí)絕不補(bǔ)充講解，這一不良教育原則嚴(yán)重阻礙了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.所以數(shù)學(xué)課堂研究適合學(xué)生的題目極其重要，中考題都是專家仔細(xì)打磨出的精品，是課堂教學(xué)中題目的重要來(lái)源，若在課堂教學(xué)時(shí)多去研究、深入探討，對(duì)素質(zhì)教育的落實(shí)和課堂教學(xué)改革將起到潛移默化的作用.在對(duì)中考題的研究過(guò)程中，要讓學(xué)生主動(dòng)探究、了解知識(shí)來(lái)龍去脈，給學(xué)生留有足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、分析、綜合、歸納和論證等活動(dòng)，讓其親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、形成與發(fā)展過(guò)程，學(xué)會(huì)研究的策略和方法，發(fā)展探究和歸納的能力，獲得終身受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

所以研究合適的題目，尤其是中考好題，讓學(xué)生多研究定有好處，筆者建議在中考試題習(xí)題課評(píng)講時(shí)，一定要講透，一節(jié)課可以只研究一個(gè)題，讓學(xué)生從不同層面，不同角度提出各種各樣的見(jiàn)解，從而形成不同的思路，得出解決問(wèn)題的不同辦法，這樣的教學(xué)方式學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才能達(dá)到真正的發(fā)展.

2.2 找尋適合的規(guī)律

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：在人的心靈深處，有一個(gè)根深蒂固的需要，希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.課堂教學(xué)內(nèi)容的選擇要有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索.課堂教學(xué)內(nèi)容的組織要重視過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系.課堂教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)更應(yīng)注重層次性和多樣性.在這種“分層教學(xué)”模式下，教師要完全尊重學(xué)生的能力，選擇合適的課堂教學(xué)內(nèi)容、題目，很有必要.

一道中考題，就是一節(jié)課，題目不簡(jiǎn)單，意義更不“簡(jiǎn)單”，無(wú)論是價(jià)值還是作用都值得深思，在適合的教育下自由的呼吸，才能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)能力發(fā)展才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一要義.