2018年高考全國I卷解析幾何題的探究與推廣

廣東省湛江一中培才學校(524037) 魏欣

廣東省雷州市第八中學(524232) 鄧春梅

一道高考解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個性質定理的特殊情況.如果掌握了定理的原理,也就把握了試題的本質.對一些典型的試題,不應滿足于會解,可以引導學生深入探究試題背后的知識背景,挖掘問題的本質.這樣才能真正找到解決問題的方法,學會用更高觀點去看待數(shù)學問題,把握問題的本質.正如《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》所倡導的數(shù)學探究性課題學習,引導學生圍繞某個數(shù)學問題,觀察分析,自主探究,提出有意義的數(shù)學問題,探求適當?shù)男再|結論或規(guī)律.以下是引導學生從2018年高考全國I卷解析幾何題出發(fā),探究圓錐曲線的性質,揭示問題的本質.

一、試題展示

圖1

題目1(2018年高考全國I卷文科第20題)如圖1所示,設拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(?2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.

(1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;

(2)證明:∠ABM=∠ABN.

解(1)當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,可得M的坐標為(2,2)或(2,?2).所以直線BM的方程為或

(2)(i)當l與x軸垂直時,AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.

(ii)當l與x軸不垂直時,設l的方程為x=ky+則x1＞0,x2＞0.由2消去x,得y?2ky?4=0,所以

直線BM,BN的斜率之和為

將[1]式和x1=ky1+2、x2=ky2+2代入[2]式分子,可得

所以kBM+kBN=0.可知直線BM,BN的傾斜角互補,所以∠ABM=∠ABN.

綜上所述,∠ABM=∠ABN.

圖2

題目2(2018年高考全國I卷理科第20題)設橢圓的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

點評以上兩題是2018年高考全國I卷的倒數(shù)第二題,是選拔題.第(1)問根據(jù)直線方程的求法,多數(shù)學生都能完成,第(2)問是個探索性問題,重點考查用坐標法研究圓錐曲線中的定點定值問題,考查數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類討論等基本數(shù)學思想,同時考查綜合運用所學數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力,綜合考查學生的運算能力和數(shù)學素養(yǎng).本題的呈現(xiàn)形式“平易近人”,是平幾中的角平分線問題,但本題的解決過程卻充分體現(xiàn)了坐標法的思想,可以將等角的幾何關系式轉化為坐標代數(shù)關系式,然后再用坐標法來處理.本題看起來很平常,實際上卻背景豐富,有一定難度和區(qū)分度,也有很大的教學價值和研究空間,下面重點研究第二小問的相關性質.

二、性質研究

圖3

性質3的證明與性質2的證明相仿,篇幅關系,此處不再贅證.

三、性質推廣

圖4

性質6已知拋物線y2=2px(p＞0)及A(m,0)、B(?m,n)(其中),直線l過點A且與拋物線交于不同的兩點P、Q,設直線PB、AB、QB的斜率分別為kPB、kAB、kQB,則kPB+kQB=2kAB.

性質5、性質6的證明與性質4的證明相仿,篇幅關系,不再贅證.

四、真題回顧

由以上性質不難發(fā)現(xiàn),在2015年全國I卷理科第20題、2015年北京卷理科第19題、2015年四川卷理科第20題、2013年陜西卷理科第20題、2010年全國卷I理科第21題、2008年福建卷文科第22題,也均以上圓錐曲線的性質,體現(xiàn)了高考試題“常考常新,推陳出新”的理念.均可以用上述的通性通法來解答,由于篇幅關系,此處之作簡析.

1.(2015年高考全國I卷理科第20題)在直角坐標系xOy中,曲線與直線交與M、N兩點.

(I)略;(II)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

簡析(II)由性質1易得直線l過y軸上的定點P(0,?a).

(I)略;(II)設O為原點,點B與點A關于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.問:y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由.

簡析(II)由性質2易得,點Q的坐標為或

2.3 療效判定 治療前，兩組患者視力水平無顯著性差異，經(jīng)過3周臨床連續(xù)性靜脈注射前列地爾治療后，治療組有效率顯著高于對照組(P＜0.05）(見表 3）。

圖5

(I)求橢圓E的方程;

(II)在平面直角坐標系xOy中,是否存在與點P不同的定點Q,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

簡析(I);(II)由性質2可知,存在點Q(0,2),使得恒成立.

4.(2013年陜西卷理科第20題)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(I)求動圓圓心的軌跡C的方程.

(II)已知點B(?1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P、Q,若x是∠PBQ的平分線,證明直線l過定點.

簡析(I)y2=8x;(II)類比性質2易得,直線l過定點(1,0).

5.(2010年全國卷I理科第21題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點K(?1,0)的直線l與C相交于A、B兩點,點A關于x軸的對稱點為D.

(I)證明:點F在直線BD上;(II)略.

簡析由條件知焦點F(1,0),點A、D關于x軸的對稱,直線BD不與x軸垂直,類比性質1可得,直線BD過焦點F在直線BD上.

6.(2008年福建卷文科第22題)已知橢圓C:的一個焦點為F(1,0),且橢圓過點(2,0).

圖6

(I)求橢圓C的方程;

(II)如圖6,若AB為垂直于x軸的動弦,直線l:x=4與x軸交于點N,直線AF與BN交于點M.

(1)求證:M點恒在橢圓C上;(2)略.

簡析(I)求得橢圓C的方程為

(II)(1)點N的坐標為(4,0),易得設直線BN與橢圓C交于另一點M1,由AB為垂直于x軸的弦知點A、B關于x軸對稱,則直線AM1不與x軸垂直.由性質4可得,直線AM1過焦點F(1,0),即直線AF過點M1,又由條件知直線AF過點M,且M、M1都在直線BN上,則點M、M1重合,故點M恒在橢圓C上.

五、備考建議

1.解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題.在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進行轉換,通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關系,將已知的幾何條件表示成代數(shù)式,然后進行適當?shù)拇鷶?shù)運算得出代數(shù)結果,最后通過分析代數(shù)結果的幾何含義解決幾何問題.在這個過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之問的多重轉換,因此,我們必須重視對幾何關系的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當表示題目中的幾何關系,同時有利于代數(shù)運算,從而形成正確的解題策略.

2.重視解析幾何的運算教學.“不會運算、運算出錯”是高中數(shù)學學習的普遍現(xiàn)象,解析幾何更是如此,很多問題學生不是不會做,他們運算能力太差,就是算不出結果或者算錯,因此,教學中要利用好學生的錯誤運算資源,剖析失誤的原因,加強“算理”的分析.

3.充分發(fā)揮歷年高考題的教學功能.首先教師所選擇的歷年高考題要有典型性,課堂上通過歷年高考題的教學,要能輻射到多種思想方法,或能起到構建知識框架的作用,或能揭示一般性的解題策略等等,從而達到教學效果的最大化,是解題教學的理想境界.

4.課堂例題要少而精.選擇少而精的例題能減少學生思維的斷層,教師可通過探究、變式、一題多解等手段,來加強學生思維的連續(xù)性,從而調(diào)動學生的學習積極性.這就需要我們教師在選題上下功夫,在例題的解題教學分析上下功夫,找準課堂的主攻方向,是通過問題探究激發(fā)學生的興趣,還是通過一題多解構建思想方法,或是通過問題回顧來還原知識體系等等.

5.加強解題后反思,進一步發(fā)展思維和提升能力.圓錐曲線的定點、定值和定直線等探索性問題歷來是高考命題中的一個熱點,此類問題往往蘊含具有代表性、引申性的數(shù)學知識、性質.由一個問題往往能引申出多個結論.它的延伸、推廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學內(nèi)容.因此,在平常備考時,我們要有意加強對圓錐曲線性質的推導與證明,注重對歷年高考題進行適當?shù)陌l(fā)散研究,可以讓達到深化認識、舉一反三的目的,使得我們在高考中就能快速作答.另外,對于培養(yǎng)學生發(fā)展思維、創(chuàng)造性品質也有著重要的意義.