高考中分段函數(shù)與零點(diǎn)交匯問(wèn)題的解題策略

廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門(mén)高級(jí)中學(xué)(528225) 徐正印 李妙珊

分段函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)的交匯問(wèn)題在近年的高考試題中常常出現(xiàn).由于解決這類(lèi)題目涉及到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等性質(zhì),其過(guò)程融合了數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)法、分離參數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法,加之這類(lèi)題目能較好地反映學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力,因此,此類(lèi)題目出現(xiàn)頻率較高.本文對(duì)近年高考試題中的這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)分析,便于讀者能熟練地掌握其解題要領(lǐng).

題型一 確定零點(diǎn)的值

解方程組法,即先求出分段函數(shù)的表達(dá)式,再分別解方程組.

例1(2014年高考湖北卷文科)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2?3x,則函數(shù)g(x)=f(x)?x+3的零點(diǎn)的集合為()

分析當(dāng)x＜0時(shí),?x＞0,f(?x)=x2+3x.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(?x)=?f(x),?f(x)=x2+3x,

題型二 確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1.解方程 (組)法

例2(2011年高考山東卷理科)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0≤x＜2時(shí),f(x)=x3?x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )

A.6 B.7 C.8 D.9

分析解x3?x=0得:x=0或x=1,所以y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,2)上與x軸的交點(diǎn)為2個(gè).因?yàn)閒(x)是最小正周期為2的周期函數(shù),所以y=f(x)的圖象在區(qū)間[2,4)和[4,6)上與x軸的交點(diǎn)各有2個(gè).因?yàn)閒(6)=0,所以y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.

類(lèi)似地有

題目1(2012年高考遼寧卷理科)設(shè)f(x)(x∈R)滿足:f(?x)=f(x),f(x)=f(2?x),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3.函數(shù)g(x)=|xcos(πx)|,則h(x)=g(x)?f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.利用函數(shù)的單調(diào)性

不難理解:若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增(減),且f(a)f(b)＜0,則f(x)在[a,b]上只有一個(gè)零點(diǎn).

例3(2014年高考福建卷文科)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____.

分析(i)解f(x)在(?∞,0]有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),,f(x)單調(diào)遞增.f(1)=?4＜0,f(e)=2e?5＞0,f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述得到:f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

類(lèi)似地有

題目2(2010年高考福建卷文理科)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A.3 B.2 C.1 D.0

3.利用函數(shù)的圖象

把所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含參數(shù)的分段函數(shù)的圖象與一定直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

例4(2015年高考天津卷文科)函數(shù)f(x)=則y=f(x)?g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )

A.2 B.3 C.4 D.5

圖1

分析因?yàn)閥=f(x)?g(x)=f(x)+f(2?x)?3,所有y=f(x)?g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)?y=f(x)+f(2?x)的圖象與y=3的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).因?yàn)閥=f(x)+f(2?x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以只需要研究y=f(x)+f(2?x)(x≥1)與y=3的交點(diǎn)情況.因?yàn)樗云鋱D象如圖1,可見(jiàn)y=f(x)?g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

類(lèi)似地有

題目3(2015年高考江蘇卷文理科)已知函數(shù)則方程|f(x)+g(x)|=1實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)___.

題型三 確定參數(shù)的取值范圍

(一)分段函數(shù)不含參數(shù)

1.利用函數(shù)的圖像

方法1轉(zhuǎn)化為y=f(x)的圖象與斜率為零的直線的交點(diǎn)問(wèn)題.

例5(2015年高考天津卷理科)若f(x) =其中b∈R,y=f(x)?g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn),則b的取值范圍是()

圖2

分析因?yàn)閥=f(x)?g(x)=f(x)+f(2?x)?b,所以y=f(x)?g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)?y=f(x)+f(2?x)與y=b恰有4個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閥=f(x)+f(2?x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以只需要研究y=f(x)+f(2?x)(x≥1)與y=b有4個(gè)交點(diǎn).的圖象如圖2,可知

類(lèi)似地有

分析g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)?y=f(x)的圖象與y=?x?a的圖象恰有2個(gè)交點(diǎn).作y=f(x)與y=?x?a圖象,如圖3,可見(jiàn):選C.

圖3

圖4

分析g(x)=f(x)?mx?m在(?1,1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)?y=f(x)(x∈(?1,1])與y=m(x+1)(x∈(?1,1])恰有2個(gè)交點(diǎn).y=f(x)(x∈(?1,1]),y=m(x+1)(x∈(?1,1])圖象如圖4,可見(jiàn)選A.

方法4轉(zhuǎn)化為y=f(x)的圖象與從原點(diǎn)出發(fā)的射線的交點(diǎn)問(wèn)題.

例8(2014年高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___.

圖5

分析y=f(x)?a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)?y=f(x)的圖象與y=a|x|的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn).(i)當(dāng)a≤0時(shí),y=f(x)與y=a|x|不可能有交點(diǎn).(ii)當(dāng)a=1時(shí),y=f(x)與y=a|x|有3個(gè)交點(diǎn).(iii)當(dāng)a=2時(shí),y=f(x)與y=a|x|有3個(gè)交點(diǎn).由圖5可知:1＜a＜2.

(二)分段函數(shù)含有參數(shù)

例9(2015年高考湖南卷)已知f(x)=若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)?b有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是____.

方法1(解不等式組)問(wèn)題等價(jià)于方程x3=b(x≤a)與方程x2=b(x＞a)的根的個(gè)數(shù)和為2.(i)若兩個(gè)方程各有一個(gè)根,則可知關(guān)于b的不等式組有解,從而a＞1.(ii)若方程x3=b(x≤a)無(wú)解,方程x2=b(x＞a)有2個(gè)根:則可知關(guān)于b的不等式組有解,從而a＜0.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,0)∪(1,+∞).

方法2(利用函數(shù)的圖象)若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)?b有兩個(gè)零點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)b,使y=f(x)的圖象與y=b有兩個(gè)零點(diǎn)

(i)當(dāng)a＜0時(shí),圖象如圖6,當(dāng)0＜b≤a2時(shí),y=f(x)的圖象與y=b有兩個(gè)交點(diǎn).

(ii)當(dāng)a=0時(shí),y=f(x)圖象如圖7,y=f(x)的圖象與y=b只有一個(gè)交點(diǎn).

(iii)當(dāng)0＜a＜1時(shí),y=f(x)圖象如圖8,y=f(x)的圖象與y=b與最多有一個(gè)交點(diǎn).

(iv)當(dāng)a=1時(shí),y=f(x)圖象如圖9,y=f(x)的圖象與y=b只有一個(gè)交點(diǎn).

(v)當(dāng)a＞1時(shí),y=f(x)圖象如圖10,當(dāng)a2＜b≤a3時(shí),y=f(x)的圖象與y=b恰有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述:a的取值范圍是(?∞,0)∪(1,+∞).

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

類(lèi)似地有

題目7(2015年北京卷理科)設(shè)函數(shù)

(I)略;(II)若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___.

題目8(2016年山東卷理科)已知函數(shù)

題目9(2016年天津卷理科)已知函數(shù)

(a＞0且)在 R上單調(diào)遞減,關(guān)于x的方程|f(x)|=2?x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是( )