“等周問題”重歸高考—詳解2018年高考全國(guó)I卷理科12題

廣東省廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)(510800) 李桃

在周長(zhǎng)給定并滿足某些條件的所有區(qū)域中,找出面積最大的區(qū)域,這類最值問題稱之為等周問題.

題目1(2006年高考全國(guó)I卷理科第11題)用長(zhǎng)度分別為 2、3、4、5、6(單位:cm)的 5 根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形 (允許連接,但不允許折斷),能夠得到的三角形的最大面積為()

分析本題中的5根細(xì)木棒“允許連接,但不允許折斷”,顯然,它們圍成的三角形有許多.但,這里隱含著一個(gè)重要信息:這些三角形有一個(gè)共同的周長(zhǎng)20 cm.

題目2(2013年高考全國(guó)I卷理科第12題)設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,···,若b1＞c1,b1+c1=2a1,an+1=an,,則( )

A.{Sn}為遞減數(shù)列

B.{Sn}為遞增數(shù)列

C.{S2n?1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n?1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列

分析因?yàn)閍n+1=an,所以數(shù)列{an}是常數(shù)列,即△AnBnCn的一邊是固定不變的.其余兩邊bn+1+cn+1=,又已知b+c=2a,111可得bn+cn=2a1.那么△AnBnCn的一邊是固定的,其余兩邊的和是定值,即△AnBnCn的周長(zhǎng)是定值.

上述兩道相隔7年的高考試題具有相同的特征:三角形的周長(zhǎng)是定值,探究面積大小,同為“等周問題”.時(shí)隔5年,“等周問題”重歸全國(guó)高考.

題目3(2018年全國(guó)I卷理科12題)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截_面面積的最大值為( )

分析根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征,可將所有棱與平面α的線面角問題,轉(zhuǎn)化為共頂點(diǎn)的三條棱的線面角問題.再根據(jù)線面角的定義,先找出一個(gè)符合題意的截面.圖1中的截面B1CD1即可.將平面B1CD1平移,若向點(diǎn)C1方向平移,截面是三角形且面積越來越小,若向點(diǎn)A方向平移,截面先是六邊形,當(dāng)平面經(jīng)過點(diǎn)A1時(shí),截面是三角形A1DB,繼續(xù)向點(diǎn)A平移,截面仍是三角形,面積相比越來越小.

弄清符合題意的截面變化趨勢(shì)后,分析截面為六邊形這個(gè)階段.利用相似成比例,易知所有六邊形的周長(zhǎng)都等于△B1CD1的周長(zhǎng),這又是一個(gè)“等周問題”.

圖1

筆者在文[1]中列出多個(gè)有助于解決中學(xué)階段“等周問題”的等周定理的推論,其中有:

推論1在周長(zhǎng)為定值的所有平面n邊形中,以正n邊形面積最大.(其中n≥3)

推論2在具有公共底邊和周長(zhǎng)的所有三角形中,等腰三角形有最大面積.

題目1的簡(jiǎn)答由推論1可知,當(dāng)三角形是等邊三角形時(shí),它的面積最大.調(diào)整三角形的三邊,使其盡量相等,只能是7、7、6,此時(shí)三角形面積為

題目2的簡(jiǎn)答由,可知隨著n的增大,△AnBnCn逐漸趨近等腰三角形.由推論2可知,三角形面積越來越大,則{Sn}為遞增數(shù)列.故選B.

題目3的簡(jiǎn)答由推論1可知,當(dāng)截面是邊長(zhǎng)為的正六邊形時(shí),其面積最大為

在知道相關(guān)結(jié)論的情況下,解以上的等周問題會(huì)簡(jiǎn)潔很多.這幾個(gè)結(jié)論淺顯易懂,老師不妨讓學(xué)生記住.此外,我們還可以關(guān)注以下結(jié)論.

推論3周長(zhǎng)給定的正n(n≥3,n∈N)邊形的面積S(n)是n的單調(diào)增函數(shù).

推論4內(nèi)接于圓的n邊形面積大于其他任何有相同邊(各條邊的長(zhǎng)度與排列順序都相同)的n邊形面積.(其中n≥4)

推論5在具有公共底邊和周長(zhǎng)的所有四邊形中,其它三邊相等時(shí)的等腰梯形面積最大.

推論6表面積一定的四面體中,正四面體體積最大.

題目4(2016屆廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二))在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a+c=4,,則△ABC的面積的最大值為_____.

解析由化簡(jiǎn)可得2sinB=sinA+sinC,所以2b=a+c,則b=2.因?yàn)閍+c=4,這是一個(gè)“等周問題”,由推論2可知,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),其面積最大,此時(shí)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,其面積為

圖2

題目5(2015屆河北石家莊模擬測(cè)試)已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線,其余各邊均在此直線的同側(cè),如圖2所示),且

AB=2,BC=4,CD=5,DA=3則四邊形ABCD面積S的最大值為____.

解析由推論4可知,當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí),其面積最大.此時(shí)A+C=π,C=π?A.由余弦定理得,在△ABD中,

在△CBD中,

由[1]、[2]式得13?12cosA=41+40cosA,所以cosA=

以上三個(gè)高考題和兩個(gè)高三模擬題考察的落腳點(diǎn)都是“等周問題”,這是高考命題的延續(xù)性.題目的出發(fā)點(diǎn)卻又都不同,融合的是不同知識(shí)模塊,具有一定創(chuàng)新性.“等周問題”一而再,再而三出現(xiàn),值得廣大教師和學(xué)生關(guān)注.