從一道選擇題看回歸教材本源

朱卡麗

摘要：從一道2015年初中畢業(yè)生學業(yè)適應(yīng)性的選擇題，我們既可以考查學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，又能通過變式訓練得出一些相似的題目。所謂萬變不離其宗，回顧近幾年中考，都在強調(diào)“追根溯源，回歸課本”，在中考復習的教學中要重視教材，充分發(fā)揮教材的示范功能.

關(guān)鍵詞：銳角互余；初中數(shù)學；變式訓練

（2015·貴陽適應(yīng)性第10題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，∠CDB=30°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為（）

（A）12（B）22（C） 32（D）33

本題選自貴陽市2015年初中畢業(yè)生學業(yè)適應(yīng)性考試第10題. 此題作為選擇題的最后一題，涉及較多數(shù)學學習的基礎(chǔ)知識、基本思想等，綜合性較強，可考查學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.

一、原題分析

此題考查的知識領(lǐng)域為圖形與幾何，知識點為直角三角形兩個銳角互余，圓周角定理，切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)值等四個，主要考查學生的推理能力、幾何直觀、數(shù)感、符號意識、運算等方面的能力.

二、解法

解題思路一：從結(jié)論求sinE出發(fā)，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，通過已知條件“CE是⊙O切線”判斷連接切點與圓心的半徑OC構(gòu)造Rt△OCE；因為“同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍”，所以∠COB=2∠CDB=60°.所以在Rt△OCE中，∠E=90°- 60°=30°，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值，即可求得sinE=12.選擇A選項.

評析：此種解法將銳角三角函數(shù)的求解問題通過構(gòu)造輔助線與圓的知識相結(jié)合，最直觀最易達到求解目的.要求學生會利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想分析問題和解決問題.有效地考查了學生邏輯推理、幾何直觀、數(shù)感、符號意識等能力.

解題思路二：此題作為選擇題，結(jié)果的生成不止一種.在解法一的基礎(chǔ)上，也可以通過銳角三角函數(shù)的定義求得最終結(jié)果.

解題思路三：連接AC、BC，構(gòu)造圓周角∠ACB.不止作一條輔助線也可以求解，但涉及到弦切角定理，教材已不做要求.作為教師應(yīng)該知道這種解法，不過此種解法較繁瑣，不提倡.

由解題思路可以看出，解此題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，為此學生的思維障礙是：學生由題目已知或結(jié)論不能聯(lián)想到已學過的知識點；不能構(gòu)造輔助線或構(gòu)造了干擾答題的輔助線，從而影響正確選項的判斷；對課標要求的切線的性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)值等知識點不清晰.

三、教材原型

本題綜合性較強，但又都是基礎(chǔ)知識的考查，對學生來說更是“新鮮出爐”的初三下冊剛學的內(nèi)容.課本的習題是否“吃透”決定了能否綜合運用這些基礎(chǔ)知識.

（一）圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半九下教材80頁隨堂練習1.如圖，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度數(shù).

（二）切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑：九下教材105頁復習題11.如圖，AB與⊙O相切于點C，OA=OB，⊙O的直徑為8cm，AB=10cm，求OA的長.

四、變式訓練

改編一：將求sinE變?yōu)榍蟆螮.

評析：題目看似變簡單了，但是分析的思路不變，解題時使用的數(shù)學思想方法不變.同樣考查學生的推理能力、幾何直觀等.作為選擇題，還能設(shè)置更多的干擾選項.

改編二：將已知改為sin∠E=12（∠E為銳角），求∠CDB.

評析：原題通過“切線”“sin”等關(guān)鍵詞可以聯(lián)想到作輔助線構(gòu)造直角三角形，而求圓周角能不能聯(lián)想到作輔助線構(gòu)造圓心角？通過這樣一個簡單的變式，再一次讓學生在做題中重視“題感”的培養(yǎng).在訓練時有利于學生養(yǎng)成運用圖形思考問題的習慣，有利于學生提升數(shù)形結(jié)合的能力.體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)價值.

改編三：將已知改為OA=BE=2.

評析：既然可以通過直角三角形的邊長求解sinE，為什么不直接給出線段長作為本題條件？而這個已知條件的添加更加微妙：由OA=OB=OC=BE，在構(gòu)造的Rt△OCE中，利用邊長的比例得出答案.在數(shù)學教學活動中，培養(yǎng)學生運算能力的核心素養(yǎng)，有利于學生提升邏輯推理的能力，此題的改編避免了學生僅靠“猜”也能得出原題A選項.

這樣的改編還可以從圖中添加線段進行.

（2016·浙江衢州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于E，若∠A=30°，則sin∠E的值為（）

（B）12（B）22（C） 32（D）33

（2015·貴州貴陽）小明把半徑為1的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時，光盤與AB，CD分別相切于點N，M.現(xiàn)從如圖所示的位置開始，將光盤在直尺邊上沿著CD向右滾動到再次與AB相切時，光盤的圓心經(jīng)過的距離是

五、復習建議

以上題目的改編只是滄海一粟.回顧近幾年中考，都在強調(diào)“追根溯源，回歸課本”，在中考復習的教學中要重視教材，充分發(fā)揮教材的示范功能.

中考命題需要體現(xiàn)考試的激勵功能、評價功能、選拔功能和導向功能，而適應(yīng)性考試更是中考前的“熱身”.從這一道適應(yīng)性考試的選擇題可以看出，學生要想獲得較高的分數(shù)，必須具有扎實的基本功和靈活運用所學知識解決問題的能力！作為老師，在平時的教學中既要緊扣教材習題，也要適當兼顧優(yōu)秀學生的拓展要求，更要注重學生數(shù)學思想方法、數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

（作者單位：貴州省貴陽市第七中學550000）