從2017年高考全國(guó)（I）卷第17題談解三角形的復(fù)習(xí)

蔡雙湖

摘要：本文以2017年高考全國(guó)（1）卷第17題為切入點(diǎn)簡(jiǎn)要分析了解三角形的復(fù)習(xí)。希望能給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)些許啟示。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；高考真題；解三角形的復(fù)習(xí)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）01-0119

一、知識(shí)儲(chǔ)備

1. 正弦定理及其變式 = = ，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

2. 余弦定理及其變式

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC；

3. 內(nèi)角和定理A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC；

4. 大角對(duì)大邊定理A>B a>b；

5. 三角形面積公式S△= absinC= bcsinA= acsinB；

6. 三角恒等變換

7. 特殊三角形（直角、等腰、等邊三角形）的性質(zhì)。

二、高考真題分析

第17題.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，=3，求△ABC的周長(zhǎng)。

1. 重視基礎(chǔ)，精通知識(shí)點(diǎn)

高考是考核學(xué)生的雙基是否扎實(shí)，是否理解數(shù)學(xué)思想方法的真諦。解三角形的重點(diǎn)：熟練掌握正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合內(nèi)角和定理實(shí)現(xiàn)內(nèi)角之間的轉(zhuǎn)換，化簡(jiǎn)需要三角恒等變換，注意幾個(gè)定理的正用、逆用和變用。難點(diǎn)：分析已知條件， 確定邊角轉(zhuǎn)換，從而找到解題的入口。

思路1：（1）由面積S= bcsinA= 得

sinBsinCsinA= 即sinBsinC=

思路2：（1）由面積S= bcsinA= 得bc=

∴sinBsinC= · = =

2. 重視公式的推導(dǎo)

公式的推導(dǎo)過(guò)程含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，能體會(huì)出一些數(shù)學(xué)文化，在復(fù)習(xí)中可以引導(dǎo)學(xué)生再現(xiàn)這些公式的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，找出公式與公式之間的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)再創(chuàng)造性思維活動(dòng)，從而使學(xué)生建立知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)圖。

思路3：（1）由于a邊上的高h(yuǎn)=bsinC=csinB

∴S= ah= bcsinC=

∴bsinC= =

∴sinBsinC=

思路4：∵ = ∴ =

∴S= acsinB=

∴sinBsinC=

3. 重視回歸課本，分析題源

高考的命題源于課本，高于課本，回歸課本的目的就是要尋出題目的“源”。課本教材和考試大綱可以說(shuō)是限制高考的“法”。課本才是總題庫(kù)，每一道高考題都可以從課本中找到源頭。從這幾年來(lái)的高考試題，越來(lái)越呈現(xiàn)出回歸教材的趨勢(shì)。在各年高考試題中不少讓學(xué)生感到生疏的題目，都是在課本上原題的基礎(chǔ)上變身。對(duì)能力的考查離不開(kāi)課本知識(shí)。高考無(wú)論考查什么題，其知識(shí)點(diǎn)都是在課本內(nèi)，如果“吃透教材”，遇到高考題，只須對(duì)課本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思維再加工就可以應(yīng)對(duì)自如了。

課本人教版必修5中第20頁(yè)B組第一題：

求證S△ABC= · （證略）

思路5：由S= · =

∴sinBsinC=

4. 注重知識(shí)的交匯

從2012年到2017年的高考解答題第17題主要是以數(shù)列或解三角形問(wèn)題為主，考查有關(guān)正余弦定理和三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)。主要有下列重要題型：正余弦定理與三角恒等變換結(jié)合；正余弦定理與方程思想結(jié)合（需設(shè)未知數(shù)建立等式）；正余弦定理與函數(shù)思想結(jié)合（需建立函數(shù)關(guān)系式）。

第（2）題分析提高：根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用三角恒等變化進(jìn)行變形，迅速解出角A是本題的關(guān)鍵；熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的應(yīng)用。

第（2）題由題設(shè)及（1）得cosBcosC-sinBsinC=- ，即cos（B+C）=- .

所以B+C= ，故A= .由題設(shè)得 bcsinA= ，即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9，即（b+c）-3bc=9，得b+c= .

所以周長(zhǎng)為3+ 。

5. 注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

在全國(guó)卷中，要求學(xué)生要有較高的運(yùn)算能力，即要求準(zhǔn)確、合理、簡(jiǎn)捷、快速完成解答。在復(fù)習(xí)過(guò)程要讓學(xué)生掌握運(yùn)算的通法，靈活運(yùn)用概念、性質(zhì)、公式和法則進(jìn)行運(yùn)算。教師可以結(jié)合教材內(nèi)容，編制和收集一些靈活性較大的練習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的靈活性，并引導(dǎo)學(xué)生收集、歸納、積累經(jīng)驗(yàn)，形成熟練技巧，以提高運(yùn)算的簡(jiǎn)便性和快速性。

對(duì)第（2）題而言，學(xué)生還會(huì)出現(xiàn)這樣的解法：

處理1：得cosBcosC-sinBsinC=- 即cos（B+C）=- .所以B+C= ，故A= .由題設(shè)得 bcsinA= ，即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9。

由bc=8b2+c2=17解方程組b= c= 所以a+b+c=3

處理2：由sinBsinC= ，cosBcosC= 聯(lián)立sin2B+cos2B=1，sin2C+cos2C=1

sin2C= cos2C= ；sin2B= cos2B=

= = ，再結(jié)合bc=8可解b，c下略.

處理3：由cosBcosC= · =

得81-（c2-b2）2=6bc又bc=8可解b，c。

以上三種處理方法思路雖也自然，但運(yùn)算量大，稍有不慎就會(huì)解不出正確的結(jié)果。

三、小結(jié)提高

熟悉各知識(shí)點(diǎn)是解決三角形問(wèn)題的根本，而能適當(dāng)選擇公式并快速運(yùn)算是得分的關(guān)鍵。走進(jìn)高考題，通過(guò)解題、分析、歸納，你就能站得更高，看得更遠(yuǎn)。讓學(xué)生再現(xiàn)高考真題，可以讓學(xué)生體會(huì)高考的考察難度，積累解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識(shí)間的融匯貫通，從而做到知己知彼，決勝高考。

（作者單位：福建省泉州安溪八中 362000）