基于非均勻離散Fourier變換的隱含Levy模型估計研究

胡小平，曹 杰

(1.東南大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210000)

1 引言

市場上交易的期權(quán)價格，蘊含了豐富的投資者對市場未來走勢的預(yù)期信息，這些信息對風(fēng)險管理與衍生品定價都有重要作用，依據(jù)期權(quán)價格得到的風(fēng)險中性概率稱為隱含風(fēng)險中性概率分布。Rubinstein[1]，Derman等[2]給出了隱含多期二叉樹的構(gòu)建方法，而Wan[3]，Hui[4]，Lai[5]則利用隱含二叉樹研究期權(quán)定價問題，Lai[5]，Du Yijun等[6]，Celis等[7]，Santos和Guerra[8]基于樣條函數(shù)等非參數(shù)方法研究隱含概率密度的求解方法，胡小平等[9]，崔海蓉和胡小平[10]則通過利用支持向量機，歐氏距離研究非參數(shù)方法求解隱含概率密度函數(shù)的方法?，F(xiàn)有求解隱含風(fēng)險中性概率密度函數(shù)中，多期二叉樹過于簡單，而非參數(shù)法存在兩個方面的缺陷與問題：一是需要大量的數(shù)據(jù)用于模型參數(shù)擬合；二是存在模型過擬合現(xiàn)象。

Levy模型被廣泛地應(yīng)用于衍生品定價研究中，在關(guān)于Levy模型參數(shù)估計現(xiàn)存文獻中，只見到基于標的資產(chǎn)價格歷史數(shù)據(jù)估計Levy模型參數(shù)，未能見到基于期權(quán)價格數(shù)據(jù)估計隱含Levy模型的研究文獻。因Levy過程不存在解析形式的概率密度函數(shù)，但是存在解析形式的特征函數(shù)。本文利用Fourier變換，把時域的價格信息，考慮到市場上期權(quán)執(zhí)行價格不是均勻分布的，使用NDFT將其轉(zhuǎn)換為Fourier域的頻域信號，在Fourier空間進行模型擬合與參數(shù)估計。

2 基于Fourier變換的歐式期權(quán)定價

St=S0e(r-d-m)t+Xt

(1)

其中r>0是無風(fēng)險利率，d≥0是股息，m=E[Xt]用于保證方程描述的標的資產(chǎn)價格收益率為無風(fēng)險收益率 ，如果Xt的概率密度函數(shù)為f(x) ，則到期時間為T，支付函數(shù)為g(ST)的歐式期權(quán)在t=0時的價格為：

(2)

DT是折現(xiàn)因子，令F=S0e(r-d-m)T，對于執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)，有：

(3)

(4)

也就是說隨機變量的特征函數(shù)是概率密度函數(shù)的Fourier變換。根據(jù)Parseval定理的內(nèi)積形式：

(5)

其中G(u),H(u) 分別是g(x),h(x) 的Fourier變換。則歐式期權(quán)在Fourier變換空間的定價公式為：

(6)

方程中被積函數(shù)是支付函數(shù)的Fourier變換與特征函數(shù)的乘積。Fourier變換要求函數(shù)屬于L1() ，所以歐式看漲期權(quán)的支付函數(shù)的Fourier變換不存在。P Carr and D Madan[36]使用Damping因子，把方程重寫成為：

[e(1+α)xf(x)]dx

(7)

只要選擇適當?shù)摩?，f(x)尾部衰減的速度快于e-(1+α)|x|，方程中兩個方括號中部分Fourier變換都存在。并且有：

(8)

而修正后的支付函數(shù)對應(yīng)的Fourier變換為：

(9)

歐式看漲期權(quán)的價格由如下公式?jīng)Q定：

C(k)=

(10)

Carr和Madan[36]引用修正歐式看漲期權(quán)價格：

(11)

則定價方程可以寫成：

(12)

其中

(13)

(14)

對于衰減因子(Damping factor)α，其取值要能夠保證概率密度函數(shù)的誤差速度快于給定的指數(shù)函數(shù)，因面有一定的限制。對于Brownian process，α的取值沒有限制，而對下面幾種常用的Levy過程，White[37]給出了如下的限制：

-(1+G)<α

(15)

-(a+b+1)<α

(16)

(17)

方程(10)給出的Fourier變換法定價歐式看漲期權(quán)定價公式，相比其他形式的Fourier變換定價公式，通過引入所謂的衰減因子，使看漲期權(quán)的支付函數(shù)Fourier變換存在，同時，逆Fourier變換的計算在實數(shù)域。

3 Levy過程

Levy 過程是一個獨立平穩(wěn)增量過程，每一個Levy過程對應(yīng)一個無窮可分分布。 給定一個Levy過程Xt, 根據(jù)Levy-Khintchine公式,X1對數(shù)特征函數(shù)形式如下：

(18)

Xt的特征函數(shù)為：

Φ(u)=EXt[eiux]=etΨ(u)

(19)

除了維納過程，大多數(shù)常用的Levy過程只有解析形式的特征函數(shù)，而不存在解析形式的概率密度函數(shù)(PDF)f(x) 或者累積分布函數(shù)(CDF)F(x) 。Wong和Guan Peiqiu[32]給出了金融衍生品定價中常用的幾種Levy過程特征函數(shù)，見表1。

表1 Levy過程特征函數(shù)表

Wong和Guan Peiqiu[32]給出的CGMY過程特征函數(shù)有錯誤，這里已經(jīng)修正。

表1 中給出的幾種Levy過程，被廣泛應(yīng)用于衍生品定價研究中，當擁有Levy過程的解析形式特征函數(shù)Φ(u) 時，利用歐式期權(quán)的Fourier變換定價公式和可知，從期權(quán)價格出發(fā)，可以利用Fourier變換，得到Levy過程的特征函數(shù)信息，進而確定特征函數(shù)的參數(shù)取值。

4 非均勻離散Fourier變換

在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，信號的非均勻的離散Fourier變換(Non-uniform discrete Fourier transform：NDFT)是一類與離散Fourier變換或離散時間Fourier變換相關(guān)的Fourier變換，但這里的輸入信號不是在空間均勻抽樣的。因此，計算得到的離散Fourier變換也包含了非均勻抽樣的頻率值。當然，NDFT也能夠從非均勻抽樣的輸入鋡信號計算均勻抽樣的頻率值。當抽樣點以相等的空間角度(Equally spaced angles)位于單位圓上時，NDFT退化為標準的DFT。

(20)

5 Fourier域中的Levy模型估計

假定市場上當前標的資產(chǎn)價格為S0，無風(fēng)險利率r>0是常數(shù)， 存在執(zhí)行價格Kn,n=0,1,2,…,N-1，且Kn

C-P=S0-ke-rT

(22)

利用方程，得到：

(23)

(24)

依據(jù)方程，可得到特征函數(shù)在N個點處的值

(25)

假定Levy過程的在[0，T]內(nèi)特征函數(shù)依賴于參數(shù)θ，記為：

Φ(u|θ)=etΨ(u|θ)

(26)

隱含Levy模型的特征函數(shù)應(yīng)與上面得到的離散Fourier域值盡可能的接近，因而有：

(27)

其中A是模型參數(shù)的可行域,conj(·) 是復(fù)數(shù)的共軛。

6 算例

Variance Gamma模型是一種時變布朗運動，具有良好的數(shù)學(xué)特性，又是另一種廣泛應(yīng)用的CGMY過程的特例，近年來被廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價研究中，為了驗證本文方法在參數(shù)估計與模型識別方面的有效性，故選用Variance Gamma Levy過程描述標的資產(chǎn)價格運動。令Variance Gamma模型的參數(shù)為ν=0.2，θ=-0.14，σ=0.12，歐式看漲期權(quán)的成熟期T=0.5， 年無風(fēng)險利率r=0，期初股價為S0=100，歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價共有12個，分別為：

K={25，30，60，70，90，95，100，105，115，120，130，150}

最優(yōu)衰減因子α=0.75， 對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的價格如圖1所示。

基于上面12個不同執(zhí)行價格處的歐式期權(quán)價格，利用上面介紹的方法，分別使用Brownian Motion，Generalized Hyperbolic等5種Levy過程，估計模型參數(shù)。得到模型參數(shù)與優(yōu)化的目標函數(shù)值列于表2。

從表2可以看出，在沒有Levy過程類型的先驗知識前提下，廣義雙曲、CGMY兩種模型擬合效果都好于真實的Variance gamma模型，其原因有兩點：一是歐式看漲期權(quán)只提供了12個不同的執(zhí)行價格，另一個是CGMY和Generalized Hyperbolic都包含一大類Levy過程，其中CGMY包含Variance gamma作為其特例，它們的模型擬合能力都比Variance gamma強。

圖1 帶有不同執(zhí)行價格的歐看漲期權(quán)價格

表2 基于Fourier變換的隱含Levy模型

本示例中，只給出了12個不同執(zhí)行價格的歐式看漲期權(quán)的價格，在實際衍生品交易市場中，絕大部分交易的歐式期權(quán)都能夠滿足這一要求。甚至很多交易活躍的歐式看漲期權(quán)的不同執(zhí)行價格有接近100個之多，參見期權(quán)交易所數(shù)據(jù)網(wǎng)站。隨著數(shù)據(jù)量的增多，期權(quán)價格中蘊含的信息量也就增多，能夠提供更為理想的模型擬合效果。即使在數(shù)據(jù)量非常少的情況下，如本例只有12個數(shù)據(jù)點，得到的模型也具有一定的應(yīng)用價值，三種包含真實模型的擬合效果最好的Levy模型，都是無窮跳躍Levy模型。

7 結(jié)語

研究了Fourier空間的期權(quán)價格隱含的Levy模型參數(shù)估計問題。利用Fourier變換，能夠得到歐式看漲期權(quán)價格與Levy模型特征函數(shù)之間的關(guān)系，考慮到市場中交易的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格并不是均勻分布的，使用NDFT方法，把修改后的歐式看漲期權(quán)價格信息轉(zhuǎn)換為Fourier域的頻率信息，在Fourier域?qū)evy模型進行擬合，得到期權(quán)價格隱含的Levy模型參數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，在缺乏Levy模型先驗知識情況下，如果具有不同執(zhí)行價格的歐式期權(quán)數(shù)量較少，存在著模型類型錯誤選擇的可能，但得到的模型仍然具有較好的應(yīng)用價值。

期權(quán)價格蘊含了市場參與者對標的資產(chǎn)價格未來運動的預(yù)期信息，基于期權(quán)價格數(shù)據(jù)得到的隱含Levy模型，也就包含了市場參與者對未來的預(yù)期信息。因而，隱含Levy模型應(yīng)用于衍生品定價和風(fēng)險管理，從理論上來說，也優(yōu)于基于資產(chǎn)價格歷史數(shù)據(jù)得到的Levy模型。為了解決歐式期權(quán)執(zhí)行價格不均勻這一問題，本文使用了NDFT方法將時域信號轉(zhuǎn)換為Fourier域的頻域信號，同時也由于數(shù)據(jù)點個數(shù)不是2n，這兩個原因?qū)е铝瞬荒苤苯邮褂糜嬎阈矢叩腇FT。今后，將進一步研究利用樣條插值方法在時域進行插值，解決不均勻的抽樣和數(shù)據(jù)點個數(shù)不是2n的問題。