本福德定律在內(nèi)部審計(jì)中的應(yīng)用

鄧佳軍

[摘要]本文介紹了本福德定律（Benford's law）的內(nèi)涵及其在審計(jì)實(shí)務(wù)中的適用性，通過(guò)W公司采購(gòu)業(yè)務(wù)內(nèi)部審計(jì)的真實(shí)案例，探討如何具體應(yīng)用此定律并總結(jié)了實(shí)踐中應(yīng)注意的問(wèn)題 。

[關(guān)鍵詞]本福德定律 采購(gòu) 內(nèi)部審計(jì) 數(shù)據(jù)分析 舞弊

一、本福德定律的內(nèi)涵及適用性

本福德定律描述的是在滿足特定條件情況下，大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中阿拉伯?dāng)?shù)字1-9在數(shù)據(jù)首位出現(xiàn)的概率分布規(guī)律。數(shù)學(xué)表述為：在b進(jìn)制中，以數(shù)n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為logb（n+1）-logb（n）。在十進(jìn)制中，首位數(shù)字出現(xiàn)的概率見(jiàn)表1，由此可知，數(shù)字越大，以該數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)概率就越低。

該定律適用范圍廣泛，如世界各國(guó)人口數(shù)量、各國(guó)國(guó)土面積、街道上的門(mén)牌號(hào)等數(shù)據(jù)，把來(lái)源不同的數(shù)字混合起來(lái)，或者進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算之后，多數(shù)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)符合本福德定律分布特點(diǎn)。我國(guó)審計(jì)工作發(fā)展規(guī)劃要求大力推廣先進(jìn)審計(jì)技術(shù)方法，積極探索信息化環(huán)境下的新方法，提高審計(jì)工作效率和質(zhì)量，因此，在我國(guó)內(nèi)部審計(jì)中研究應(yīng)用本福德定律具有重要意義。

二、本福德定律的應(yīng)用實(shí)例

以W公司的物料采購(gòu)審計(jì)項(xiàng)目為例，使用本福德定律進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和審計(jì)風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別。

W公司技術(shù)領(lǐng)先，提供成套解決方案，擁有可靠的產(chǎn)品和技術(shù)，然而采購(gòu)成本一直居高不下，采購(gòu)團(tuán)隊(duì)人員流動(dòng)性較大，采購(gòu)經(jīng)理職位更換頻繁。為此，管理層要求進(jìn)行物料采購(gòu)流程審計(jì)，評(píng)估采購(gòu)職能是否存在舞弊。

根據(jù)審計(jì)方案要求，審計(jì)人員開(kāi)始對(duì)供應(yīng)合同、采購(gòu)訂單、采購(gòu)計(jì)劃、 供應(yīng)商資料等進(jìn)行收集。W公司使用的是SAP系統(tǒng)，其中包括20萬(wàn)行采購(gòu)請(qǐng)求、600多家供應(yīng)商，如此巨大的數(shù)據(jù)量在短期內(nèi)全部審核是不可能完成的。因此，審計(jì)人員決定基于本福德定律確定數(shù)據(jù)偏差來(lái)快速獲取有效樣本。

第一步，審計(jì)人員通過(guò)系統(tǒng)查詢(xún)獲取公司開(kāi)業(yè)至今的所有采購(gòu)訂單，剔除空值或帶有刪除、取消標(biāo)識(shí)的訂單行，得到接近15萬(wàn)份有效采購(gòu)訂單。

第二步，將這些訂單數(shù)據(jù)加載到Excel表格中，針對(duì)采購(gòu)金額一列，可使用left函數(shù)，將金額第一位數(shù)字取到單獨(dú)一列，這樣就得到各個(gè)采購(gòu)訂單行金額對(duì)應(yīng)的首位數(shù)字。應(yīng)注意的是，對(duì)小于1元的采購(gòu)訂單，需要取小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字作為首位數(shù)。

第三步，制作數(shù)據(jù)透視表，以首位數(shù)為行向量，對(duì)采購(gòu)訂單行計(jì)數(shù)，得到按照首位1-9排列的采購(gòu)訂單行數(shù)量（見(jiàn)表2）。

第四步，進(jìn)行數(shù)據(jù)檢驗(yàn)。要準(zhǔn)確判斷數(shù)據(jù)是否為自然生成，需要計(jì)算兩個(gè)指標(biāo)，分別為K-S值和截止值。K-S值是數(shù)據(jù)的實(shí)際概率值與期望概率值差異的最大值，使用Max函數(shù)計(jì)算；截止值是1.36除以數(shù)據(jù)條目數(shù)的平方根，使用SQRT函數(shù)計(jì)算。將兩個(gè)指標(biāo)值進(jìn)行對(duì)比，如果K-S值低于截止值，那么可以判定數(shù)據(jù)為自然生成，沒(méi)有經(jīng)過(guò)人為修飾，反之就有造假的風(fēng)險(xiǎn)。

由表2可見(jiàn)，計(jì)算出的K-S值和截止值分別為0.3%和0.4%，說(shuō)明表中所示的首位數(shù)分布和本福德定律的標(biāo)準(zhǔn)比率基本吻合，差異很小，采購(gòu)訂單金額分布屬于正常情況，K-S值小于截止值的驗(yàn)證，說(shuō)明數(shù)據(jù)屬于自然生成，從整體上看沒(méi)有經(jīng)過(guò)人為修飾。但整體符合并不意味著個(gè)體符合，仍然需要對(duì)整體數(shù)據(jù)進(jìn)行分層，如從物料類(lèi)型、供應(yīng)商等角度。下面以采購(gòu)額前十大供應(yīng)商的首位數(shù)分布情況（見(jiàn)表3）為例，來(lái)判斷各主要供應(yīng)商個(gè)體是否存在數(shù)據(jù)異常情況。

如果按照供應(yīng)商代碼來(lái)分層統(tǒng)計(jì)，可見(jiàn)供應(yīng)商明顯出現(xiàn)了分化。盡管多數(shù)供應(yīng)商能夠較好地符合本福德比率，但供應(yīng)商112511首位為2的比率占到22%，為該組數(shù)據(jù)最高；供應(yīng)商102336首位為5和6的比率明顯偏高；尤其是供應(yīng)商190274，幾乎沒(méi)有一個(gè)比率符合本福德定律的規(guī)律。于是，審計(jì)人員決定針對(duì)供應(yīng)商190274的數(shù)據(jù)單獨(dú)進(jìn)行深入分析，尋找差異原因，其分布結(jié)果見(jiàn)表4。

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算，可以看到K-S值是截止值的3倍多。因此，可以判斷該供應(yīng)商的訂單金額有人為修飾的可能，需要進(jìn)一步進(jìn)行檢查。根據(jù)采購(gòu)訂單記錄，審計(jì)人員發(fā)現(xiàn)該供應(yīng)商主要提供金屬鑄件，每一個(gè)物料都是為不同項(xiàng)目采購(gòu)的，從不同物料價(jià)格分析比對(duì)似乎看不到什么問(wèn)題，且涉及的采購(gòu)訂單也有1500多行。但其中首位為1和3的比率差異最大（分別為10.4%和9%），故選擇以此為突破口展開(kāi)分析。從鑄件的成本驅(qū)動(dòng)因素考慮，采購(gòu)金額取決于材料的品種、標(biāo)號(hào)、重量。審計(jì)人員選擇了采購(gòu)日期最近的一批物料，按照基礎(chǔ)材料進(jìn)行歸類(lèi)，與公司工程部門(mén)核實(shí)物料的尺寸、重量和材料標(biāo)號(hào)等屬性信息，然后根據(jù)采購(gòu)價(jià)格計(jì)算出基礎(chǔ)材料單價(jià)，使數(shù)據(jù)信息具有可比性，將其整理后見(jiàn)表5。結(jié)果是顯而易見(jiàn)的，基礎(chǔ)材料為GGG-40.3的物料，公斤單價(jià)為32元、15元、46元不等；基礎(chǔ)材料為WP53 106的物料，價(jià)格也是忽高忽低，顯然存在采購(gòu)價(jià)格管理問(wèn)題。針對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)，需要核對(duì)采購(gòu)合同關(guān)于原材料價(jià)格的協(xié)定，復(fù)核其準(zhǔn)確性、合理性。

三、本福德定律的應(yīng)用結(jié)論與建議

W公司采購(gòu)流程審計(jì)體現(xiàn)了本福德定律用于內(nèi)部審計(jì)數(shù)據(jù)分析的有效性，極大地提高了審計(jì)效率。因此，在審計(jì)領(lǐng)域引入本福德定律，是對(duì)常規(guī)審計(jì)數(shù)據(jù)分析方法的補(bǔ)充，可以完善和豐富現(xiàn)有方法，提高舞弊發(fā)現(xiàn)能力。必須指出的是，出現(xiàn)不符合本福德定律的情況時(shí)，只能判斷數(shù)據(jù)可能存在人為修飾，或者看到舞弊行為的預(yù)警信號(hào)，但不能直接下結(jié)論，還需進(jìn)一步調(diào)查并找到充足審計(jì)證據(jù)才能判斷流程問(wèn)題甚至舞弊行為的存在。同時(shí)，在應(yīng)用本福德定律時(shí)要注意以下方面：第一，數(shù)據(jù)量需要足夠大，必須跨越多個(gè)數(shù)量級(jí)才能產(chǎn)生效果。第二，有人為規(guī)則的數(shù)據(jù)就不滿足該定律，比如訂單編號(hào)、發(fā)票編號(hào)等數(shù)據(jù)。在實(shí)務(wù)中，審計(jì)人員還要注意選取滿足本福德定律分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到有的放矢。

（作者單位：南京大學(xué)，郵政編碼：210093，

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