數(shù)學(xué)教學(xué)：追求“合情”與“演繹”的比翼齊飛

張友國

【摘要】“推理”是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表征。推理有“合情推理”和“演繹推理”兩種，合情推理通常用來發(fā)現(xiàn)，演繹推理通常用來論證，引導(dǎo)學(xué)生在遷移中類比、在探究中歸納、在建構(gòu)中演繹。合情推理與演繹推理比翼齊飛，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要法門。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 合情推理 演繹推理

史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的‘核心素養(yǎng)有三：抽象、推理與模型。”推理貫穿著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，是學(xué)生思維的確證與表征。數(shù)學(xué)推理的基本模式有兩種：一種是合情推理，另一種是演繹推理?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力?！笨梢?，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的合情推理是相互交織在一起的，它們相輔相成，相得益彰。數(shù)學(xué)教學(xué)，追求“合情”與“演繹”的比翼齊飛。

一、先行組織，引導(dǎo)學(xué)生在遷移中類比

所謂“合情推理”，是指一種合乎情理、好像為真的推理，所以合情推理又稱之為“似真推理”，它能夠助推學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。理論上說，合情推理包括“類比推理”和“歸納推理”。所謂“類比推理”，是指從特殊到特殊的推理。波利亞指出：“類比是某種類似的相似性……是一種更確定的和更概念性的相似?！边\(yùn)用類比推理，能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，陌生的問題熟悉化，進(jìn)而舉一反三、觸類旁通。

如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”時(shí)，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“商不變的規(guī)律”“小數(shù)的性質(zhì)”以及“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，并引導(dǎo)學(xué)生溝通它們之間的聯(lián)系，學(xué)生深度體驗(yàn)到它們內(nèi)在本質(zhì)的一致性。不僅如此，筆者引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“除法算式”“分?jǐn)?shù)”“比”之間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣，學(xué)生的認(rèn)知被充分地激活。有學(xué)生迅速“類比”，認(rèn)為既然除法中有商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)中有分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，那么比中也一定存在著基本性質(zhì)，并用他們自己的語言對(duì)“比的基本性質(zhì)”展開了表述。學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的類比，形成了合情合理的數(shù)學(xué)猜想。通過多元驗(yàn)證，證實(shí)了他們的猜想。

又如：教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)相加減”時(shí)，筆者首先和學(xué)生復(fù)習(xí)了整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和同分母分?jǐn)?shù)加減法，學(xué)生認(rèn)為只有抓住“牛鼻子”，就能準(zhǔn)確計(jì)算。具體而言，整數(shù)加減法是數(shù)位對(duì)齊，小數(shù)加減法是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，同分母分?jǐn)?shù)加減法是分?jǐn)?shù)單位相同。由此，學(xué)生自主歸納形成了這樣的核心知識(shí)：只有“計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”。據(jù)此，學(xué)生展開類比推理，異分母分?jǐn)?shù)相加減的關(guān)鍵是：將不同分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母的分?jǐn)?shù)，也就是讓分?jǐn)?shù)單位從不同走向相同。這種類比，讓學(xué)生形成了比單純計(jì)算更上位、更抽象、更核心的理性化的數(shù)學(xué)認(rèn)知。這種深刻的數(shù)學(xué)認(rèn)知將引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)穩(wěn)定而充滿活力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

類比推理是或然性推理，因此，學(xué)生在類比的過程中有可能發(fā)生錯(cuò)誤，教學(xué)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生洞察新舊知識(shí)的相似點(diǎn)，通過各種關(guān)系相似，舍棄非本質(zhì)特征，找尋本質(zhì)屬性。如此，學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)就猶如一個(gè)“帶鉤的原子”，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候能方便地提取出來驗(yàn)證。

二、合情猜測，引導(dǎo)學(xué)生在探究中歸納

波利亞曾說：“數(shù)學(xué)既要教證明，又要教猜想?！睔w納屬于合情推理的一種。所謂“歸納”，是指由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。在小學(xué)里，常用的是根據(jù)已觀察到的具有某種屬性的部分對(duì)象，提出歸納性猜想，接著對(duì)盡可能多的對(duì)象進(jìn)行驗(yàn)證。歸納包括“完全歸納”和“不完全歸納”，其中“不完全歸納”和“類比”又叫“似真推理”“全情推理”“或然推理”。換言之，不完全歸納和類比常?？此坪锨椋Y(jié)論好像是、應(yīng)該是對(duì)的，實(shí)際上卻可能是錯(cuò)的。因此，對(duì)于“不完全歸納”和“類比”，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探尋推理的依據(jù)與理由，只有這樣，學(xué)生的推理才能避免盲目性，而是具有一定的針對(duì)性、指向性、科學(xué)性。

例如：研究“分?jǐn)?shù)化小數(shù)”時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律、揭示本質(zhì)。其歸納過程如下：

首先，出示這樣的分?jǐn)?shù)：等，要求學(xué)生將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“十分之幾就是一位小數(shù)、百分之幾就是兩位小數(shù)、千分之幾就是三位小數(shù)”，進(jìn)而“不完全歸納”，形成“十進(jìn)分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的規(guī)律”。

其次出示這樣的分?jǐn)?shù)：……要求學(xué)生化成小數(shù)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)好像沒有規(guī)律。有的可以化成有限小數(shù)，有的卻不能化成有限小數(shù)；有些分?jǐn)?shù)能化成循環(huán)小數(shù)，從第一位開始就循環(huán)，有的卻不是從第一位開始循環(huán)，它們有著怎樣的規(guī)律呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生深度研究以下問題：

（1）分?jǐn)?shù)化小數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)哪幾種情況？

（2）“除得盡”的分?jǐn)?shù)有著怎樣的特征，除不盡的分?jǐn)?shù)有著怎樣的特征？（溫馨提示：可以從分母觀察開去）

學(xué)生對(duì)已有的分?jǐn)?shù)展開觀察、探索，他們發(fā)現(xiàn)：分母是4、25、8、40的分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)。在這個(gè)基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生對(duì)分母分解質(zhì)因數(shù)，學(xué)生再次展開探索，他們發(fā)現(xiàn)，這些分母分解質(zhì)因數(shù)后只有2和5兩個(gè)，沒有其他因數(shù)。由此，學(xué)生進(jìn)行“不完全歸納”：如果一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母只含有2、5兩個(gè)質(zhì)因數(shù)，這樣的小數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)，這樣的小數(shù)就不能化成有限小數(shù)。

再次出示這樣的分?jǐn)?shù)：……學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，他們的前半部分結(jié)論得到了驗(yàn)證，但后半部分結(jié)論卻被推翻了，這是什么原因呢？學(xué)生再次對(duì)分?jǐn)?shù)、分母等展開觀察、探索。他們發(fā)現(xiàn)，這些分?jǐn)?shù)有的可以約分，也就是說不是最簡分?jǐn)?shù)。于是，學(xué)生對(duì)原先的猜想進(jìn)行修改：如果一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，分母里含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)，就不能化成有限小數(shù)。對(duì)于新的數(shù)學(xué)猜想，學(xué)生再一次舉例驗(yàn)證。通過不斷地驗(yàn)證，學(xué)生歸納出了分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的規(guī)律。

在歸納推理中，教師要引導(dǎo)學(xué)生展開猜想，積極發(fā)掘合理因素，同時(shí)對(duì)結(jié)論的合理性進(jìn)行甄別，引導(dǎo)學(xué)生不斷變換角度進(jìn)行驗(yàn)證，多角度地審視問題，從簡單情形、特殊情形中完善自己的發(fā)現(xiàn)。由此，不斷揭示知識(shí)的合理因素，不斷敞亮隱藏著的規(guī)律。在這個(gè)過程中，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生感受合情推理的可能，達(dá)成意義學(xué)習(xí)的目的。

三、嚴(yán)密論證，引導(dǎo)學(xué)生在建構(gòu)中演繹

數(shù)學(xué)通常被人們看作是一門以嚴(yán)格論證為特征的演繹科學(xué)，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論總是建立在論證推理的基礎(chǔ)上。所謂的“演繹推理”，是指從一般到特殊的推理，“三段論證法”是演繹推理的基本方式。學(xué)生從大前提（已知的一般原理，包括定義、定理、公理等）和小前提（研究的特殊情況）出發(fā)，做出嚴(yán)密的論證，形成可靠的結(jié)論。

如教學(xué)“長方體和正方體的特征”時(shí)，學(xué)生通過觀察、操作，形成了長方體有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)，并且每個(gè)面都是長方形，相對(duì)的面完全相同、相對(duì)的棱長度相等……在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生展開動(dòng)態(tài)想象：“至少留下幾條棱，你就能還原出長方體呢？”由此形成了長方體的長、寬、高等概念。接著，運(yùn)用多媒體課件，讓長方體的長慢慢變短，逐漸變成了正方體。學(xué)生根據(jù)研究長方體的面、棱、頂點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)研究正方體，形成了正方體的特征。這時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生借助知識(shí)間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行演繹推理，學(xué)生展開了嚴(yán)密的論證。因?yàn)檎襟w具備長方體的一切特征，所以正方體是長方體；因?yàn)殚L方體不一定具備正方體的一切特征，所以長方體不一定是正方體。如此，學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)了長方體和正方體的特征，而且對(duì)于長方體和正方體之間的邏輯關(guān)系也有了深刻的把握。

可見，演繹推理能夠很好地幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從無序走向有序，從混沌走向敞亮。學(xué)生演繹推理的形成和發(fā)展不同于一般知識(shí)與技能的獲得，它是一個(gè)隱性的、緩慢的漸進(jìn)過程。教學(xué)中，教師要不斷地引領(lǐng)，滲透演繹推理的思想方法，滋養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。

數(shù)學(xué)推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得出一個(gè)新判斷的思維過程，推理的主要思維形式就是合情推理與演繹推理。合情推理和演繹推理既相互對(duì)立又相互統(tǒng)一，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常是相互融合的，合情推理中有著演繹的成分，演繹推理中也有著合情的猜想。合情推理通常用來發(fā)現(xiàn)，演繹推理通常用來論證，讓合情推理與演繹推理比翼齊飛，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要法門。？筻