語言理解·邏輯推理·問題解決

朱菊花

[摘 要] 能力培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題，能力培養(yǎng)需要立足基本點，才能抓住能力培養(yǎng)的關(guān)鍵. 實踐表明，語言理解、邏輯推理、問題解決應(yīng)當(dāng)是其他能力培養(yǎng)的基本點，抓住這三個基本點，可以統(tǒng)領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中其他能力的培養(yǎng)，也能有效實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；能力培養(yǎng)；基本點

談到能力培養(yǎng)，相信每一位高中數(shù)學(xué)教師并不陌生，因為無論對于教師還是學(xué)生來說，能力的重要性總是超越知識掌握的（當(dāng)然能力也是在知識掌握的過程中形成的），但很多時候教師談及能力，似乎將能力看成了一個有形的物體，甚至是與知識相分離的對象. 這樣的認識在筆者看來是有問題的，真正的能力培養(yǎng)其實應(yīng)當(dāng)是學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”的培養(yǎng)，而學(xué)習(xí)能力不是一個空洞的概念，其對于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，就是支撐數(shù)學(xué)知識構(gòu)建與問題解決的心智活動. 同時，考慮到能力是多元的，能力培養(yǎng)不可能是面面俱到的，只有讓學(xué)生真正站立在能力的幾個基本點上，才能讓其他能力由此生長出來. 那么，從學(xué)生的視角來看，哪些能力才可以認為是起到基本點作用的能力呢？對此筆者進行了探究，總結(jié)如下.

語言能力指向?qū)W生的數(shù)學(xué)理解

通常教師都會強調(diào)理解學(xué)習(xí)，那何為理解呢？學(xué)生解決了問題就算是理解了嗎？對于這個問題，恐怕我們還要更多地從學(xué)生的角度去思考. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，首先是數(shù)學(xué)概念、規(guī)律構(gòu)建的過程，而概念又是基礎(chǔ). 學(xué)生是否理解數(shù)學(xué)概念，其實是一個很重要的問題，其關(guān)系到學(xué)生有沒有準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)語言.

數(shù)學(xué)語言是一門特殊的語言，尤其是在高中數(shù)學(xué)中，總能看到數(shù)學(xué)學(xué)科中用著最精確、最簡練的語言，表達出一個最豐富的意思，最嚴密的規(guī)律. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，用得最多的往往是生活語言和不太熟練的數(shù)學(xué)語言，在應(yīng)試的背景下，教師往往會忽視數(shù)學(xué)概念與規(guī)律的教學(xué)，學(xué)生也往往忽視數(shù)學(xué)概念的理解，而一個直接原因就是考試中并不考概念及其定義. 其實這是一種危險的傾向，其意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)可能就是在建造空中樓閣，但對數(shù)學(xué)語言的重視又不是數(shù)學(xué)概念的死記硬背，那又應(yīng)該是什么呢？

筆者以為，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要促進學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解能力的提升，關(guān)鍵要看三種語言的寓意，這三種語言就是文字語言、圖形語言和符號語言.

以“函數(shù)的單調(diào)性”為例，實際教學(xué)中可以給學(xué)生同時提供一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像（如果時間充裕，還可以讓學(xué)生在自己的坐標(biāo)紙上去畫這兩個函數(shù)的圖像），讓學(xué)生認識到一次函數(shù)y=x的圖像是從左至右一直上升的，而二次函數(shù)y=x2的圖像是先下降后上升的，讓學(xué)生鎖定“上升”“下降”兩個關(guān)鍵詞，描述兩種函數(shù)的不同，并告訴學(xué)生可以用“單調(diào)性”這個概念去描述不同函數(shù)上升或下降的特性. 在這個過程中，圖像成為學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)，而單調(diào)性以及其所包含的上升與下降等關(guān)鍵詞就組成了對函數(shù)變化特征的概括性理解. 這個過程中，學(xué)生思維的對象就是圖像和文字，以及函數(shù)單調(diào)性定義中的相關(guān)符號等.

在實際教學(xué)中，要將這種思路顯性地體現(xiàn)出來，告訴學(xué)生描述數(shù)學(xué)概念，常用的就是文字語言、圖形語言和符號語言，要讓學(xué)生知道已有的數(shù)學(xué)概念和將學(xué)的數(shù)學(xué)概念，也是通過這三者來描述的. 也就是說，要讓學(xué)生顯性地認識到，數(shù)學(xué)基本概念與規(guī)律的學(xué)習(xí)，離不開數(shù)學(xué)語言的這三種基本形式. 事實證明，一旦學(xué)生形成明確的語言認識，他們就會在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中去琢磨關(guān)鍵詞，而琢磨的過程實際上也就是數(shù)學(xué)理解生成的過程，因此數(shù)學(xué)語言就成為引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗與先前經(jīng)驗抵達數(shù)學(xué)理解的重要途徑. 離開了這一能力的基本點，真正的有效學(xué)習(xí)是難以發(fā)生的.

邏輯推理指向?qū)W生的數(shù)學(xué)思維

邏輯推理是從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開始時就強調(diào)的能力，其自然是數(shù)學(xué)能力的基本點. 但在具體的高中數(shù)學(xué)教學(xué)語境中，邏輯推理又不是簡單的由幾個已知條件推理可能結(jié)果的過程，高中階段的邏輯推理既涉及數(shù)學(xué)學(xué)科自身的邏輯關(guān)系，同時也運用到了基本的邏輯方法，實際教學(xué)中要基于學(xué)生思維能力提升的目的，來實施邏輯推理的教學(xué).

比如說同樣在“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)中，當(dāng)需要讓學(xué)生去求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的時候，通常的思路是讓學(xué)生根據(jù)單調(diào)性的定義（涉及上一點所強調(diào)的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)理解）去推理，但直接根據(jù)單調(diào)性定義考查的情形較少，往往都是存在一些變化的，學(xué)生要懂得這些變化，就得運用邏輯推理.

如有這樣的一個問題：求函數(shù)f（x）=x2-2x+2的單調(diào)區(qū)間. 此問題題干很短，但內(nèi)容豐富，且起點不低. 尤其是對于初學(xué)者而言，肯定需要邏輯推理才能解決問題. 筆者曾經(jīng)做過試驗，如果此時不給學(xué)生任何提示，很多學(xué)生是無法下手的，但學(xué)生也基本上都能認識到，之所以無法下手，問題就出在函數(shù)的表達式中有一個絕對值符號. 于是筆者就問到：“有絕對值符號意味著什么？”學(xué)生思索片刻之后回答：“意味著有兩種可能. ”（這實際上已經(jīng)邁開了邏輯推理的第一步）“有兩種可能怎么辦呢？”筆者追問到，而學(xué)生的回答是去掉絕對值符號（邏輯推理的第二步）. 需要強調(diào)的是，剛才的兩步邏輯推理更多的是面向一般邏輯關(guān)系而非面向數(shù)學(xué)關(guān)系的，在教學(xué)中不能因為其與數(shù)學(xué)關(guān)系聯(lián)系間接而有所忽視. 其后再根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系來進行邏輯推理的第三步，那就是在x大于或等于0與小于0的情況下，將原函數(shù)式分別進行表示. 于是最終也就獲得了f（x）=x2-2x+2（x≥0）和f（x）=x2+2x+2（x<0）兩個表達式. 而這一推理過程就常常被歸納為“分段函數(shù)轉(zhuǎn)化”.

經(jīng)過了這樣的邏輯推理，該問題也就迎刃而解了. 在日常教學(xué)中，這樣的問題解決常常不會引起教師的重視，因為教師常常感覺這就是一個普通的數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程，不需要花費太多的精力. 可是真正從邏輯推理的角度來認識這一過程時，你會發(fā)現(xiàn)其中有著豐富的邏輯推理過程，因此也就可以說是一個很好的邏輯推理能力培養(yǎng)的機會. 抓住這個機會，是可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尋找到一個能力的支撐點的，因此邏輯推理應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的能力培養(yǎng)的一個基本點.

當(dāng)然上面這個例題其實還可以進行邏輯延伸，那就是學(xué)生的解題過程反思. 在實際教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：在含有絕對值的函數(shù)問題中，去掉絕對值符號以獲得分段函數(shù)，已經(jīng)成為我們的一種基本的解題思路（邏輯推理隱含其中），其實還有一個重要的方面，那就是對于分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，通常采取的不是定義法，而是圖像法，因為前者復(fù)雜而后者直觀——這里也正是基于解題經(jīng)驗的邏輯推理，是提升學(xué)生問題解決品質(zhì)的.

問題解決指向?qū)W生的綜合能力

談到問題解決，就不能不說這也是能力培養(yǎng)的另一個重要的基本點. 其實問題解決不是一個單純的能力，而是一種復(fù)合能力. 問題解決在心理學(xué)中是指學(xué)生在解決問題的過程中表現(xiàn)出來的對各種問題解決思路、邏輯關(guān)系以及相關(guān)心理活動的總和. 由于問題解決對學(xué)生的綜合能力培養(yǎng)具有至關(guān)重要的作用，而高中數(shù)學(xué)教學(xué)無論是試卷評價，還是核心素養(yǎng)視角下的評價，都與學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題相關(guān)，因此問題解決無論從哪個角度講，都應(yīng)當(dāng)是能力培養(yǎng)的最重要的基本點.

由于問題解決常常是面向綜合性問題的，因此這里筆者以一個綜合性問題來做解釋.

在“指數(shù)函數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)中，常常有結(jié)合生活實際的問題，如：市場營銷人員針對某商品在過去幾年的銷售情況做出了數(shù)據(jù)分析，結(jié)果得出了一個規(guī)律：該商品的價格每上漲x%（x>0），那銷售的數(shù)量就減少kx%（其中k是一個正常數(shù)）. 目前，該商品的定價是a元，銷售的數(shù)量是b個. 那當(dāng)k=時，該商品的價格上漲多少，就能讓銷售總額達到最大？在上漲過程中，如果想讓銷售總額不斷上升，那k的取值范圍是多少？

這個問題來源于實際，需要學(xué)生在分析的過程中將其進行抽象，以得到一個與函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型（這里用到數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模，而這正是核心素養(yǎng)的兩個重要組成部分）. 于是學(xué)生應(yīng)當(dāng)建立起這樣的關(guān)系：銷售總金額y=a（1+x%）·b（1-kx%）. 這是問題解決中最為關(guān)鍵的一步，這一關(guān)系式的得出，是學(xué)生剝離了具體的銷售情境，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系后的產(chǎn)物. 這一過程是典型的問題解決過程，是學(xué)生綜合能力運用的嘗試.

值得一提的是，在兩個問題的解決過程中，也涉及重要的問題解決策略，比如說第二個問題的解決過程中，由于進一步的推理，可以發(fā)現(xiàn)這是一個開口向下的圖像，因此在判斷k的取值范圍時，可以根據(jù)圖像表現(xiàn)出來的單調(diào)性，來迅速地判斷k的取值范圍. 這種問題解決思路的優(yōu)化，實際上也體現(xiàn)了學(xué)生的問題解決能力，在新課教學(xué)中可以通過兩種問題解決思路的比較，來幫學(xué)生形成認識. 具體不贅述.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要抓住能力培養(yǎng)的基本點，從學(xué)生需要的角度培養(yǎng)學(xué)生的能力，這樣才能讓能力培養(yǎng)真正落到實處，而能力形成了，核心素養(yǎng)的培育也就不是空話了.