桿系結(jié)構(gòu)的大變形幾何非線性分析

孟陽君，張家生

?

桿系結(jié)構(gòu)的大變形幾何非線性分析

孟陽君1，張家生2

(1. 湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 常德 415000；2. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

傳統(tǒng)的幾何非線性分析方法—完全的拉格朗日列式法(TL)、更新的拉格朗日列式法(UL)不適用于大變形幾何非線性分析?；贑R列式法的基本原理，整理分析得到平面桿系單元的切線剛度矩陣。根據(jù)幾何非線性程序編制的關(guān)鍵在于確定大變形條件下的剛性位移和變形位移，據(jù)此分析并提出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的具體表達(dá)式。給出幾何非線性分析程序框圖，編制幾何非線性分析程序PMGXFXX。結(jié)合大撓度及大轉(zhuǎn)角算例，對比理論解析解，PMGXFXX程序解最大誤差均在5%以內(nèi)。

幾何非線性；CR列式法；大撓度；大轉(zhuǎn)角；程序

結(jié)構(gòu)動力可靠度分析的對象都是處于各種極限狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)，在這些極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)一般很難保持線彈性，這時考慮結(jié)構(gòu)的非線性因素成為必然。本文僅對結(jié)構(gòu)的幾何非線性問題——大撓度及大轉(zhuǎn)角進(jìn)行探討。傳統(tǒng)的幾何非線性分析方法是基于Langrangian坐標(biāo)系的TL和UL列式法，在幾何非線性分析計(jì)算中，經(jīng)常忽略考慮變形后的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，導(dǎo)致在大轉(zhuǎn)角問題分析中無法收斂甚至出錯[1?3]。TL列式法中，由于局部坐標(biāo)系變形前后保持不變，未能考慮變形之后結(jié)構(gòu)狀態(tài)的影響[4]；UL列式法中，單元兩端節(jié)點(diǎn)按照局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的Euler角度進(jìn)行變換，導(dǎo)致單元兩端的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣不同，同時也不能考慮單元彎曲變形的影響[5]?；谏鲜鲈?，本文采用CR列式法對幾何非線性問題進(jìn)行分析，并編制相應(yīng)的分析程序，結(jié)合算例進(jìn)行驗(yàn)證。

1 幾何非線性分析(CR列式法)

以平面桿系結(jié)構(gòu)分析為例?？紤]圖示1(a)梁元，以表示節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)方向的位移，以表示節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)方向的位移，以表示節(jié)點(diǎn)逆時針方向的轉(zhuǎn)角。設(shè)單元左節(jié)點(diǎn)1發(fā)生總位移1，1和1，單元右節(jié)點(diǎn)2發(fā)生總位移2，2和2。變形之后，單元移動到新位置，如圖1(b)所示，其位移包含了剛體位移和變形，扣除剛體位移部分后，可算出桿在和坐標(biāo)方向上方的新的投影長度x和y，單元長度，單元斜率，見式(1)。

(a) 變形前狀態(tài)；(b) 變形后狀態(tài)；(c) 節(jié)點(diǎn)力

式中：0為單元初始長度；0為單元初始轉(zhuǎn)角。

整理分析得到總體坐標(biāo)系下梁單元的切線剛度矩陣，見式(3)[6?7]。

式中：

2 幾何非線性程序編制

根據(jù)CR列式法，采用fortran語言編制平面桿系幾何非線性分析程序PMGXFXX。由于桿系內(nèi)各單元的局部坐標(biāo)方向各不相同，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時，需要建立統(tǒng)一的總體坐標(biāo)系。編制PMGXFXX程序關(guān)鍵是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的確定。確定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣首先是確定單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生總位移1，11，2，2和2，這需要依據(jù)上一步的分析結(jié)果與節(jié)點(diǎn)約束情況綜合確定，其次是0的確定。計(jì)算原理如下：

根據(jù)單元變形前后兩端節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位移量，單元初始斜率0的具體表達(dá)式見式(4)。

結(jié)合單元變形前后兩端節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位移量，單元斜率的具體表達(dá)式見式(5)。

考慮剛性位移及變形位移轉(zhuǎn)角的計(jì)算。

根據(jù)剛性位移及變形位移轉(zhuǎn)角的判斷與確定。

具體坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系見式(6)。

平面幾何非線性分析程序PMGXFXX框圖見圖2。

3 非線性分析算例

3.1 端部受集中力的懸臂梁

圖3 端部受集中力P作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)

表1 PMGXFXX程序解結(jié)果與理論解的比較

3.2 端部受集中彎矩的懸臂梁

圖4 端部受彎矩M作用的懸臂梁結(jié)構(gòu)

圖5 懸臂梁受集中彎矩的變形示意圖

3.3 壓桿的大撓度分析

(8)

3.4 桁架的大撓度分析

圖7所示桁架結(jié)構(gòu)，橫截面面積=4 cm2，彈性模量=200 GPa，跨中受荷載作用(處于線彈性工作階段)，跨中節(jié)點(diǎn)撓度計(jì)算結(jié)果見表3[12?13]。

3.5 桿系系統(tǒng)的大撓度分析

圖8所示桿系結(jié)構(gòu)，所有梁截面尺寸均為0.76 m×1.22 m，所有桿截面尺寸均為0.76 m×0.76 m，彈性模量=20.69 GPa，頂部受集中力作用，頂部節(jié)點(diǎn)撓度計(jì)算結(jié)果見表4。

表2 PMGXFXX程序解與理論結(jié)果的比較

圖7 計(jì)算結(jié)構(gòu)模型

表3 PMGXFXX程序解與理論解的比較

圖8 計(jì)算結(jié)構(gòu)模型

表4 PMGXFXX程序解與理論解的比較

4 結(jié)論

1) 基于CR列式法得到的切線剛度矩陣包含了大撓度、大轉(zhuǎn)角的剛性位移及變形位移信息，提出了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的具體表達(dá)式，既適用于普通梁單元，也適用于隨機(jī)場梁單元。

2) 編制幾何非線性分析程序PMGXFXX，針對幾種不同類別的幾何非線性算例進(jìn)行了對比分析。分析結(jié)果如下：端部受集中力的懸臂梁算例(大撓度)，對比解析解，最大誤差為3.08‰；端部受集中彎矩的懸臂梁(大轉(zhuǎn)角)，對比解析解，最大誤差為2.0‰；壓桿的大撓度分析，對比解析解，最大誤差為4.28%；桁架的大撓度分析，對比解析解，最大誤差為4.65%；桿系系統(tǒng)的大撓度分析，對比解析解，最大誤差為3.11%；上述分析結(jié)果最大誤差均小于5%，滿足工程精度要求，同時驗(yàn)證程序的可靠性。

3) 通過算例分析對比表明，幾何非線性分析程序PMGXFXX適用于大撓度和大轉(zhuǎn)角的問題分析。

[1] 吳慶雄, 陳寶春, 韋建剛. 三維桿系結(jié)構(gòu)的幾何非線性有限元分析[J]. 工程力學(xué). 2007, 24(12): 19?24. WU Qingxiong, CHEN Baochun, WEI Jiangang. A geometric nonlinear finite element analysis for 3D framed structures[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(12): 19? 24.

[2] 葉康生, 陸天天, 袁駟. 結(jié)構(gòu)幾何非線性分析中分叉失穩(wěn)的直接求解[J]. 工程力學(xué), 2011, 28(8): 1?8. YE Kangsheng, LU Tiantian, YUAN Si. A direct method for the computation of bifurcation buckling in geometric nonlinear analysis of structures[J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(8): 1?8.

[3] 袁駟, 劉學(xué)林, 葉康生. 張拉膜結(jié)構(gòu)極小曲面找形的有限元線法求解[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 2010, 43(11): 1?7. YUAN Si, LIU Xuelin, YE Kangsheng. FEMOL solution for minimal surface forrn finding of tensile manbrane structures[J]. China Civil Engineering Journal. 2010, 43(11): 1?7.

[4] 馬玉全. 改進(jìn)CR列式法及在幾何非線性分析中的應(yīng)用[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程, 2010, 10(30): 7488?7490. MA Yuquan. A new CR formulation and its application in gecmetrically nonlinear analysis[J]. Science Technology and Engineering, 2010, 10(30): 7488?7490.

[5] Fujii F, Okazawa S. Pinpointing bifurcation points and branch-switching[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1997, 20(97): 11?17.

[6] YUAN Si, XING Qinyan, WANG Xu, et al. Self-adaptive strategy for one-dimensional finite element method based on EEP method with optimal super-convergence order[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2008, 29(5): 533?542.

[7] 袁駟, 邢沁妍, 王旭, 等. 基于最佳超收斂階EEP法的一維有限元自適應(yīng)求解[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2008, 29(5): 533?542. YUAN Si, XING Qinyan, WANG Xu, et al. Self-adaptive strategy for one-dimensional finite element method based on EEP method with optimal super-convergence order[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2008, 29(5): 533? 542.

[8] 宋振森, 沈祖炎, 羅永峰. 求解預(yù)定位移水平的改進(jìn)弧長法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 24(4): 509?512. SONG Zhensen, SHEN Zuyan, LUO Yongfeng. An improved arc-length method for searching pre-defined displacement in nonlinear analysis of structures[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(4): 509?512.

[9] 孟陽君. 大跨徑拱橋仿真分析[D]. 長沙: 湖南大學(xué), 2007: 20?35. MENG Yangjun. Simulation analysis of long span arch bridges[D]. Chansha: Hunan University, 2007: 20?35.

[10] Shi J, Crisfield M A. A semi-direct approach for the computation of singular points[J]. Computers and Structures, 1994, 11(8): 100?106.

[11] Hashash Y M A, Hook J J, Schmidt B, et al. Seismic design and analysis of underground structures[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2001, 16(4): 247?293.

[12] Teh L H, Clarke M J. Symmetry of tangent stiffness matrices of 3D elastic frame[J]. Journal of Engineering, 1999, 8(3): 28?34.

[13] YUAN S, YE K, Williams F W, et al. Recursive second order convergence method for natural frequencies and modes when using dynamic stiffness matrices[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003, 15(8): 37?42.

(編輯 陽麗霞)

A large deformation geometric nonlinear analysis for frame structure

MENG Yangjun1, ZHANG Jiasheng2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Traditional geometric nonlinear analysis methods of TL and UL method are not suitable for large deformation geometric nonlinear analysis. Based on a basic principle of CR formulation, a plane beam element tangent stiffness matrix was derived. According to the key of geometric nonlinear programming which includes determination of rigid displacement and deformation displacement, a coordinate transformation matrix was analyzed and its concrete expression was derived. A geometric nonlinear analysis program chart was given and a geometric nonlinear analysis program-PMGXFXX was compiled. Combined with large deflection calculation examples and large angle calculation examples, the maximum error of PMGXFXX solutions was found to be within 5% by comparing with the theoretical analytical solution.

geometric nonlinear; CR formulation; large deflection; large angle; program

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2018.08.017

TU323

A

1672 ? 7029(2018)08 ? 2034 ? 06

2017?05?20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50978258)；湖南省教育廳一般項(xiàng)目(16C1091)

孟陽君(1982?)，男，湖南澧縣人，高級工程師，博士，從事大跨橋梁結(jié)構(gòu)理論研究；E?mail：352357749@qq.com