用轉(zhuǎn)置矩陣求解靜不定桁架的內(nèi)力

李苗苗，吳 曉

(1.常德職業(yè)技術學院土建系，湖南 常德 415000；2.湖南文理學院機械工程學院，湖南 常德 415000)

1 引 言

由于平面靜不定桁架、空間靜不定桁架在工程實際中得到了廣泛應用，因此尋求簡潔、清晰的方法來求解靜不定桿系內(nèi)力，對工程力學教學及工程設計是有理論指導意義的。文獻[1]采用拉格朗日法研究了靜不定梁、圓弧、剛架、平面桁架的內(nèi)力求解；文獻[2]在文獻[1]的基礎上，采用拉格朗日函數(shù)法研究了桿系裝配應力的求解；文獻[3]采用數(shù)學微分法研究了靜不定空間桁架內(nèi)力的求解。以上方法研究平面靜不定桁架、空間靜不定桁架內(nèi)力求解時，仍存在計算繁瑣復雜的不足。本文通過研究發(fā)現(xiàn)，采用轉(zhuǎn)置矩陣研究靜不定桿系的內(nèi)力求解，與其它方法相比具有簡潔、清晰的優(yōu)點，更易于學生和工程設計人員掌握和應用。

2 力與位移轉(zhuǎn)換矩陣證明

以圖1所示受力彈性體為例，設坐標原點O的力系為(XO，YO)，將此力系平移到A點時，可知A點的力系為(XO，YO，M)，且附加力偶M為：

M=XOyA-YOxA

(1)

式中，xA、yA分別為A點橫坐標、縱坐標。

圖1 受力彈性體示意圖

因此，可把力系(XO,YO)與力系(XO,YO,M)之間關系用矩陣表示為：

(2)

令u、v分別為與XO、YO對應的廣義位移，設彈性體有一位移可用A點的平移uA、vA和繞A點的轉(zhuǎn)角θA表示，所以，O點位移(uO,vO)與A點位移(uA,vA)之間關系可用矩陣表示：

(3)

比較式(2)與式(3)可知，右側(cè)的兩個矩陣是互為轉(zhuǎn)置矩陣。

力系(XO，YO)在位移(uO，vO)做的功及力系(XO，YO，M)在位移(uA，vA，θA)做的功分別為：

WO=XOuO+YOvO

WA=XOuA+YOvA+MθA

(4)

把式(3)代入式(4)中，可得WO=WA，所以對于彈性體來說，靜力等效力系也就是功等效力系。

對式(2)、式(3)進一步分析，可以看出，式(2)表示兩組功等效力系的相互關系，一般可寫成：

{P}Ⅰ=[A]{P}Ⅱ

(5)

式中，{P}Ⅰ和{P}Ⅱ是兩個功等效力系，[A]稱為力轉(zhuǎn)換矩陣。

式(3)表示與兩個力系對應的兩組廣義位移之間的關系，以{δ}Ⅰ、{δ}Ⅱ分別表示這兩組廣義位移，則式(3)可表示為：

{δ}Ⅱ=[B]{δ}Ⅰ

(6)

式中，[B]稱為位移轉(zhuǎn)換矩陣。

由于已設力系{P}Ⅰ和{P}Ⅱ為等效力系，則有：

(7)

把式(5)代入式(7)中，可得：

(8)

由于式(8)對于任何力系都成立，所以可得：

{δ}Ⅱ=[A]T{δ}Ⅰ

(9)

對比式(6)、式(9)可以知道，右側(cè)的兩個矩陣是互為轉(zhuǎn)置矩陣，即：

[B]=[A]T

(10)

因此，已知{P}Ⅰ=[A]{P}Ⅱ，必有{δ}Ⅱ=[A]T{δ}Ⅰ成立。

3 問題的求解步驟

為了說明轉(zhuǎn)置矩陣在求解靜不定桿系內(nèi)力中的應用，下面著重闡述協(xié)調(diào)條件的建立。

3.1 力系方面

假設靜不定桿系是n次靜不定的，因此共有n個多余未知反力Xi(i=1,2,…,n)，可寫成{X}，把外載荷{F}和多余未知反力{X}作為力系[X?F]T。多余未知反力一方面作為加于靜定基上的外力，一方面多余未知反力實際上是內(nèi)力，可把全部內(nèi)力含廣義應力作為內(nèi)力系{Q}。由于外力功與應變能相等，所以力系[X?F]T與力系{Q}是功等效的。

3.2 位移方面

3.3 平衡方程

根據(jù)平衡條件，外力系[X?F]T與內(nèi)力系{Q}可以用平衡矩陣聯(lián)系起來，可得平衡方程：

(11)

式中，[E]為平衡矩陣。

由于桿系內(nèi)力矩陣與位移矩陣是互為轉(zhuǎn)置矩陣，結(jié)合以上位移方面對應于{X}的位移為0的說明，可把式(11)化為：

(12)

式中，{δ}為多余未知反力{X}相對應桿件的拉伸或壓縮位移的列陣。

在式(12)中，左側(cè)列陣中的分塊零列陣{0}共包含n個零元素。因此，可由式(12)列出變形δi(i=1,2,…,n)之間的n個關系式，亦即n個變形協(xié)調(diào)方程。

4 實例計算

算例1 圖2所示桿1和桿2的剛度皆為E1A1，桿3的剛度為E3A3，桿3的長度為l+Δ，其中Δ為加工誤差。試求桿3裝入AD位置后，三桿的軸力。

圖2 平面三角桁架

假設各桿軸力皆為拉力(以下類同)，對A點進行分析可知：

N1=N2,N3=-2N1cosα

(13)

在內(nèi)力作用下各桿伸長為：

(14)

以N1為未知反力，利用式(11)、式(13)可得：

(15)

再利用式(12)、式(14)、式(15)可得：

(16)

由式(16)可得變形協(xié)調(diào)條件為：

(17)

由式(17)可以求得：

(18)

此結(jié)果與文獻[2]給出的結(jié)果是一致的。

算例2 圖3所示桿系，桿6比名義長度略短，誤差為Δ，桿的剛度同為EA，試求將桿6裝配到A、C之間后各桿的內(nèi)力，其中，l1=l2=l3=l4=a。

圖3 平面桿系

對節(jié)點A進行分析可知：

(19)

因結(jié)構和載荷均對稱可知：

N1=N2=N3=N4,N5=N6

(20)

各桿在內(nèi)力作用下伸長為：

(21)

以N1為未知反力，利用式(11)可把式(20)寫為：

(22)

利用式(12)及有關各式可得：

(23)

由式(23)可得變形協(xié)調(diào)條件為：

(24)

由式(24)及式(20)可得：

(25)

式(25)與文獻[2]給出的結(jié)果是一致的。

圖4 空間4桿桁架

對節(jié)點O進行分析，可得x、y、z方向的平衡方程分別為：

(26)

由式(26)可以求得：

(27)

以N4為未知反力，利用式(11)、式(27)可得：

(28)

再由式(12)、式(28)可得：

(29)

由式(29)可得變形協(xié)調(diào)條件為：

14N4-N1-2N2-3N3=0

(30)

利用式(30)可求得：

(31)

當P1=2，P2=3，P3=4時，由式(27)、式(31)可得：

N1=-1.6987,N2=-2.3974,N3=-3.0962,N4=-1.1273

(32)

式(32)與文獻[3]給出的結(jié)果是一致的。

圖5 一次靜不定空間桁架

對節(jié)點O進行分析，可得x、y、z方向的平衡方程分別為：

(33)

由式(33)可以求得：

(34)

以N4為未知反力，利用式(11)、式(34)可得：

(35)

再由式(12)、式(35)可得：

(36)

由式(36)可得變形協(xié)調(diào)條件為：

14N4-2N1-N2-3N3=0

(37)

利用式(34)、式(37)可求得：

(38)

當P1=1，P2=-1，P3=1時，由式(34)、式(38)可得：

N1=-1.331,N2=2.0587，N3=-0.8239，N4=-0.2196

(39)

式(39)與文獻[3]給出的結(jié)果是一致的。

圖6 空間桿系

由于A、B、C、D、E五節(jié)點共有15個平衡方程，若以N1為未知反力，可求得：

(40)

利用式(11)可把式(40)表示為如下形式：

(41)

式中，

{N}T={N1N2N3N4N5N6N7N8N9N10}，

再利用式(12)，可把式(41)化為：

(42)

利用式(42)，可得變形協(xié)調(diào)條件為：

2N1+2N2+2N3+2N4-4N9-4N10=0

(43)

把式(40)代入式(43)中可求得：

(44)

若F=100，可以得到：

N1=37.5，N2=-12.5,N3=-12.5,N4=-12.5,

N5=61.237,N6=-122.474，N7=-61.237,N8=0,

N9=-17.675,N10=17.675

(45)

式(45)與文獻[3]中給出的結(jié)果是一致的。

由以上算例可知，采用轉(zhuǎn)置矩陣求解靜不定桿系內(nèi)力，利用靜力平衡方程可得桿系內(nèi)力矩陣，而桿系內(nèi)力矩陣與位移矩陣是互為轉(zhuǎn)置矩陣，得到靜不定桿系的變形協(xié)調(diào)條件后，即可方便求得靜不定桿系的內(nèi)力。

由文獻[1]、文獻[2]可知，采用拉格朗日函數(shù)法研究靜不定結(jié)構的內(nèi)力計算具有通用的優(yōu)點，但是需要引進拉格朗日系數(shù)且利用靜力平衡方程構造靜不定結(jié)構能量函數(shù)，然后對未知變量求偏導得到變形協(xié)調(diào)條件后，才能求得靜不定結(jié)構的內(nèi)力。

由算例1、算例2可知，采用轉(zhuǎn)置矩陣求解靜不定桿系內(nèi)力，要比采用拉格朗日函數(shù)法研究靜不定結(jié)構內(nèi)力簡便。由算例3、算例4、算例5可知，采用轉(zhuǎn)置矩陣求解空間靜不定桿系內(nèi)力，要比數(shù)學微分法研究靜不定空間桁架的內(nèi)力更簡便。所以，采用轉(zhuǎn)置矩陣研究靜不定桿系的內(nèi)力求解，比其它方法具有簡潔、清晰的優(yōu)點，更易于學生和工程設計人員掌握和應用。

5 結(jié) 論

(1)采用轉(zhuǎn)置矩陣求解靜不定桿系內(nèi)力，利用靜力平衡方程可以得到桿系內(nèi)力矩陣，而桿系內(nèi)力矩陣與位移矩陣是互為轉(zhuǎn)置矩陣，這樣在得到靜不定桿系的變形協(xié)調(diào)條件后，即可方便地求得靜不定桿系的內(nèi)力。

(2)采用轉(zhuǎn)置矩陣求解靜不定桿系內(nèi)力，比采用拉格朗日函數(shù)法研究靜不定結(jié)構內(nèi)力簡便，比采用數(shù)學微分法研究

靜不定空間桁架的內(nèi)力更簡便。

(3)當靜不定桿系內(nèi)、外力平衡關系較容易確定，而靜不定桿系的變形協(xié)調(diào)條件難以確定時，采用轉(zhuǎn)置矩陣可以方便求得靜不定桿系內(nèi)力，其計算過程簡潔、清晰、明了，與其它方法相比具有簡潔、清晰的優(yōu)點，更易于學生和工程設計人員掌握和應用。