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    時變曲線交點(diǎn)的視覺速度和加速度

    2018-08-31 07:49:22吳逸飛胡雨晨
    物理通報 2018年9期
    關(guān)鍵詞:時變表達(dá)式交點(diǎn)

    吳逸飛 胡雨晨

    (武漢市黃陂第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

    邱為鋼

    (湖州師范學(xué)院求真學(xué)院 浙江 湖州 313000)

    在一些競賽輔導(dǎo)資料中,有這樣求運(yùn)動曲線交點(diǎn)速度的題目.兩個直桿,或者一個直桿一個圓環(huán),或者兩個圓環(huán),它們在運(yùn)動,求兩桿交點(diǎn)的速度.這種做法其實(shí)是沒有物理意義的,交點(diǎn)并不是真實(shí)的點(diǎn),只是視覺意義上的交點(diǎn).如果從更高維度來看,三維空間相隔一段距離平行放置的兩個桿,從不同角度看,可以有交點(diǎn),也可以沒有交點(diǎn).文獻(xiàn)[1~3]利用速度分解合成法和相對運(yùn)動法,求得了一些簡單運(yùn)動曲線交點(diǎn)視覺速度.這兩種方法,對于最一般情況下隨時間變化曲線交點(diǎn)視覺速度和加速度,很難推廣.把曲線看作桿(剛體),那么曲線的變化只有剛體的轉(zhuǎn)動和平動,但曲線的變化還能是形狀的變化,所以我們要考慮最一般隨時間變化的曲線,而不能局限于運(yùn)動曲線.其次,文獻(xiàn)只考慮勻速或者勻速轉(zhuǎn)動的曲線,而沒有考慮到變速運(yùn)動的曲線,忽略了時變曲線交點(diǎn)的視覺加速度問題.最后,三維空間中3個曲面如果能交在同一點(diǎn)上,那么文獻(xiàn)所用的方法是否能推廣到求交點(diǎn)的視覺速度和加速度?我們發(fā)現(xiàn),跳出文獻(xiàn)所用的框架,另起爐灶,利用時變曲線的隱含數(shù)表達(dá)式和偏導(dǎo)數(shù)的知識,可以求得時變曲線交點(diǎn)視覺速度和加速度的解析表達(dá)式.

    先考慮兩維曲線,設(shè)兩個時變曲線的隱函數(shù)表達(dá)式為

    f(x,y,t)=0g(x,y,t)=0

    (1)

    式(1)理論上可以求出這兩個時變曲線依賴于時間的交點(diǎn)坐標(biāo)x=x(t),y=y(t),由這個形式解,定義交點(diǎn)的視覺速度和加速度為

    (2)

    但是一般情況下,這個交點(diǎn)坐標(biāo)的顯式解析表達(dá)式很難得到.給定參數(shù),交點(diǎn)的數(shù)值解是可以求得的.先定義以下矩陣,其具體含義在下文的推導(dǎo)中可以看出

    (3)

    定義形式上的曲線速度

    加速度為

    對式(1)中兩個等式兩邊做全微分,得到

    (4)

    式(4)中兩個等式兩邊除以dt,再移項,得到

    (5)

    式(3)可以寫成Av=-vcur

    (6)

    于是兩個時變曲線交點(diǎn)的視覺速度有形式意義上的解

    v=-A-1vcur

    (7)

    式(5)繼續(xù)對時間t求偏導(dǎo),得到

    (8)

    (9)

    定義一個矢量C=(vTFv,vTGv), 那么(8)、(9)兩式可以寫成矩陣形式

    t=0

    Aa=-acur-2Bv-C

    (10)

    于是兩個時變曲線交點(diǎn)的視覺加速度有形式意義上的解

    a=-A-1acur-2A-1Bv-A-1C

    (11)

    式(7)和式(11)就是兩個時變曲線交點(diǎn)的視覺速度和加速度的一般表達(dá)式.

    以上處理方法的一個好處是很容易能推廣到3個時變曲面交點(diǎn)的視覺速度和加速度計算,不需要畫圖.我們以一個具體的例子來說明如何計算. 設(shè)有兩個時變平面和一個時變球面, 它們的方程是

    (12)

    上式兩邊對時間求導(dǎo),得到

    (13)

    在時間t=0時3個面的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1,1),代入式(13),解得交點(diǎn)的視覺速度為

    (14)

    式(13)繼續(xù)對時間求導(dǎo),得到

    (15)

    代入t=0時交點(diǎn)的坐標(biāo)和視覺速度,計算得到此時交點(diǎn)的視覺加速度為

    (16)

    現(xiàn)在數(shù)學(xué)符號計算軟件非常發(fā)達(dá),很容易編程計算以上表達(dá)式.有興趣的讀者不妨利用本文的方法和結(jié)論來出一些相關(guān)的物理競賽模擬題.

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