行星做橢圓軌道運(yùn)動周期和能量的證明

張海利 侯 恕

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院 吉林 長春 130024)

1 問題引出

在本文的推導(dǎo)中需要引入角動量的知識，角動量是描述物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量，角動量是參考點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與質(zhì)點(diǎn)動量的叉乘，是矢量．角動量的方向一定垂直于位置矢量與質(zhì)點(diǎn)的動量所構(gòu)成的平面，表達(dá)式為L=r×mv，大小為L=mvτr,其中L是行星角動量的大小，vτ是垂直于徑向方向的速度，r是行星到太陽之間的距離[2]．

2 公式推導(dǎo)

行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運(yùn)動，軌道如圖1所示，行星和太陽的連線在相等的時間間隔內(nèi)掃過的面積相等．

圖1 行星角動量沿橢圓軌道運(yùn)動

設(shè)行星的質(zhì)量為m，行星到太陽之間的距離為r，其在dt時間內(nèi)掃過的面積為

單位時間內(nèi)掃過的面積為

(1)

式中L為行星角動量的大?。?/p>

如圖2所示，A和B分別為行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)，v1和v2分別表示在遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的速度，下面對行星做橢圓軌道運(yùn)動的周期和能量做一證明.

圖2 遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)及其速度

由圖2中的幾何關(guān)系可知

r1=a+cr2=a-c

其中r1+r2=2a

r1·r2=a2-c2=b2

(2)

行星運(yùn)動總機(jī)械能E等于其動能與勢能之和，設(shè)行星到太陽之間的距離為r，角動量的大小為L，近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的機(jī)械能和角動量可表示為

(3)

L=mvr

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

對式(5)變形得

(6)

r1和r2為方程(6)的解，結(jié)合式(2)并由韋達(dá)定理有[3]

(7)

(8)

由式(7)推得

(9)

由式(8)推得

(10)

由式(1)推得行星運(yùn)動的周期為

(11)

式中πab為橢圓的面積．

將式(9)及式(10)代入式(11)得到

(12)

由式(12)可得

則行星做橢圓軌道運(yùn)動的周期和能量為

其中M是太陽的質(zhì)量，G是引力常數(shù)，a是半長軸．

行星做橢圓軌道運(yùn)動周期和能量的公式在解決問題中有很大的用處，下面的典型問題就是公式的實(shí)際應(yīng)用．

3 解題應(yīng)用

3.1 典型問題1

要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r2的預(yù)定軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動．如圖3所示，在A點(diǎn)，實(shí)際使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時，再次改變衛(wèi)星速度，使它進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行，試求在橢圓軌道上A點(diǎn)，B點(diǎn)的速度和衛(wèi)星從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所需的時間，設(shè)萬有引力恒量為G，地球質(zhì)量為M．

圖3 典型問題1題圖

分析：以vA和vB分別表示衛(wèi)星在橢圓軌道上A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度，在橢圓軌道上A點(diǎn)和B點(diǎn)的機(jī)械能等于動能和勢能之和，根據(jù)推導(dǎo)出的行星能量的公式列式,有

解得

衛(wèi)星做橢圓軌道運(yùn)動的周期

則衛(wèi)星從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)所需時間

3.2 典型問題2

從赤道上C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少．假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6 400 km．若不考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？

圖4 典型問題2題圖

圖5 幾何關(guān)系分析

由幾何關(guān)系可知

設(shè)發(fā)射時導(dǎo)彈的速度為v，則有

代入數(shù)據(jù)得

v=7.2 km/s