斜拉動(dòng)滑輪時(shí)的機(jī)械效率分析

劉 勇

(杭州英特外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江 杭州 311121)

在貴刊2017年第9期“一道動(dòng)滑輪機(jī)械效率實(shí)驗(yàn)題的思考”[1]一文中，作者得到“就算是理想滑輪組，斜著拉動(dòng)動(dòng)滑輪時(shí)的機(jī)械效率會(huì)變低”的結(jié)論，筆者不贊同這個(gè)結(jié)論，在此提出自己的想法，與大家討論．

【例題】如圖1所示，忽略繩重和動(dòng)滑輪輪軸處的摩擦，人斜向上用力拉繩，將物體勻速拉升h高度，動(dòng)滑輪左邊的繩子與豎直方向的夾角始終保持不變，為θ，動(dòng)滑輪右邊的繩子與豎直方向的夾角為θ′．設(shè)人對(duì)繩子自由端的拉力為F,動(dòng)滑輪重量為G動(dòng)，物體重力為G物．此時(shí)的機(jī)械效率和豎直向上用力拉繩時(shí)相比______(變大、不變、變小)

圖1 例題題圖

解析：因?yàn)楹雎岳K重和摩擦，動(dòng)滑輪左右兩端的繩子拉力均為F．將動(dòng)滑輪和跨接其上的繩子看作一個(gè)整體，由于動(dòng)滑輪沿左邊繩子做勻速滾動(dòng)，可知整體的質(zhì)心在做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[2]，整體所受合力應(yīng)該為零．對(duì)整體作受力分析可得

θ=θ′

圖2 動(dòng)滑輪由位置1移到位置2分析

圖3 作

為了求出拉力作用點(diǎn)相對(duì)于地面產(chǎn)生的位移，可以利用經(jīng)典力學(xué)伽利略坐標(biāo)變換公式

r=R+r′

(1)

圖4 動(dòng)滑輪軸心當(dāng)作k′參考系

拉力所做的總功為

W總=F·r=

這個(gè)結(jié)果與豎直拉動(dòng)滑輪時(shí)是一樣的．所以斜拉動(dòng)滑輪時(shí)，機(jī)械效率并不會(huì)如文獻(xiàn)[1]中所說(shuō)的“機(jī)械效率會(huì)變低”．

文獻(xiàn)[1]認(rèn)為：因?yàn)閯?dòng)滑輪在水平方向上有一段位移，導(dǎo)致作用在繩子自由端拉力的水平分力做了額外功．這種看法犯了力和位移對(duì)應(yīng)的對(duì)象不一致的錯(cuò)誤，與動(dòng)滑輪的位移相對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是作用在動(dòng)滑輪上的力．事實(shí)上，人對(duì)繩子自由端的拉力并沒(méi)有作用在動(dòng)滑輪上，而是作用在繩子自由端．所以，人對(duì)繩子的拉力應(yīng)該對(duì)應(yīng)繩子自由端的位移．如前文所述，繩子自由端并沒(méi)有產(chǎn)生水平方向的位移，所以人的拉力的水平分力其實(shí)并沒(méi)有做功．如果一定要用動(dòng)滑輪的位移來(lái)計(jì)算總功，與動(dòng)滑輪的位移相對(duì)應(yīng)的力則應(yīng)該是跨接在動(dòng)滑輪上，與動(dòng)滑輪有接觸的那段繩子對(duì)動(dòng)滑輪施加的力．這段繩子有一定的長(zhǎng)度，可將其分成許多長(zhǎng)度很小的繩元，因?yàn)槊恳粋€(gè)繩元都對(duì)動(dòng)滑輪有力的作用，所以動(dòng)滑輪受到的繩子的力為一個(gè)空間力系．空間力系可以向空間任一點(diǎn)等效簡(jiǎn)化為一個(gè)合力和一個(gè)合力偶矩，合力偶矩為力系中每一個(gè)力對(duì)于簡(jiǎn)化中心點(diǎn)的力矩之和[3]．可以將繩子對(duì)動(dòng)滑輪作用的空間力系向動(dòng)滑輪軸心簡(jiǎn)化．

由于動(dòng)滑輪質(zhì)心在做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度為零，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知繩子對(duì)動(dòng)滑輪的合力的大小剛好等于動(dòng)滑輪和物體的總重量，方向豎直向上；又根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理[2]，可知繩子對(duì)動(dòng)滑輪的力對(duì)于軸心的力矩之和也為零．綜合可得：繩子對(duì)動(dòng)滑輪的力可等效簡(jiǎn)化為一個(gè)作用點(diǎn)在動(dòng)滑輪軸心，大小等于動(dòng)滑輪和物體的總重量，方向豎直向上的力．因?yàn)閯?dòng)滑輪在水平方向的位移與力的方向垂直，沒(méi)有產(chǎn)生功，可得此時(shí)的總功大小與豎直拉繩時(shí)完全一樣．所以，對(duì)于忽略繩重和輪軸處摩擦的理想滑輪，斜著拉動(dòng)時(shí)與豎直拉動(dòng)時(shí)相比，動(dòng)滑輪的機(jī)械效率不變．