半波帶法研究夫瑯禾費單縫衍射的局限性分析*

董 鵬 張立紅

[中國石油大學(華東)理學院基礎物理系 山東 青島 266580]

1 引言

在大學物理課程中，對于夫瑯禾費單縫衍射這一內容，一般采用兩種方法展開研究，一是積分法，即利用菲涅耳衍射積分公式嚴格求解衍射光強，從而全面了解單縫衍射的光強分布規(guī)律；二是半波帶法，即通過半波帶法定性分析明暗條紋出現的衍射角條件，從而獲取衍射圖樣的主要特征．積分法由于計算復雜一般作為選學內容，或者僅對方法作簡單介紹并直接給出計算結果，而對計算過程不作詳細研究．半波帶法因構思巧妙、物理圖像直觀而被作為討論分析的重點．然而，作為一種粗視化分析方法，半波帶法存在局限性，首先，通過與積分法嚴格求解得到的結果對比發(fā)現，半波帶法在確定明紋出現的衍射角條件時存在誤差，即僅能給出明條紋出現的近似條件；其次，半波帶法無法給出衍射光強表達式，即通過半波帶法不能確定觀察屏上任意點的光強分布；再次，半波帶法不能充分體現衍射現象與干涉現象之間的區(qū)別．

趙凱華先生在其編寫的面向物理專業(yè)本科生的光學教材[1]中，在菲涅耳圓孔衍射部分，對半波帶法進行了補充：對于圓孔內包含非整數個半波帶的情形，采用振幅矢量圖解法對半波帶進行了細致處理，由此求解了衍射場的振幅；在夫瑯禾費單縫衍射部分，沒有采用半波帶法進行定性分析，直接采用振幅矢量圖解法和積分法嚴格求解了衍射光強分布公式．在面向非物理專業(yè)的大學物理教材中，由于夫瑯禾費衍射計算簡單且應用廣泛，一般僅講授夫瑯禾費衍射，而且把直觀的半波帶法作為討論分析夫瑯禾費單縫衍射的重點方法，然而并不指出半波帶法存在的誤差[2～5]，或者僅對這一誤差做一標注，不進行說明或展開解釋[6]．

本文將在半波帶法的基礎上對單縫波陣面進行了更精細的分割，采用振幅矢量圖解法討論明暗條紋條件，修正半波帶法所給出的明紋條件公式．同時，利用該方法定量求解單縫夫瑯禾費衍射光強表達式．由于該方法將單縫波陣面從有限個半波帶進一步細分成無限個窄波帶，這一處理充分體現了衍射現象和干涉現象之間的區(qū)別和所采取的計算方法的不同．

2 半波帶法局限性分析

圖1 半波帶法分析單縫夫瑯禾費衍射示意圖

若單縫處的波陣面恰好被分成偶數個半波帶，則P點的合振幅為零，P點處為衍射暗紋，因此暗紋出現的衍射角條件為

(1)

若單縫處的波陣面恰好被分成奇數個半波帶，因相鄰兩半波帶在P點的振動相互抵消，剩下的一個半波帶發(fā)出的光未被抵消，會聚于P點，形成亮點，故P點處為明紋，因此明紋出現的衍射角條件為

(2)

將半波帶法給出的明暗條紋條件與積分法嚴格求解得到明暗條紋條件對比，發(fā)現半波帶法給出的暗條紋條件是精確的，而明條紋條件則不然．

下面我們將式(2)給出的明紋條件與積分法嚴格求解得到的明紋條件[2]分別列出，如表1所示.

表1 半波帶法與積分法給出的明紋衍射角條件對比

將表1中的數據對比發(fā)現，半波帶法給出的明紋條件與精確值存在偏差．具體來講，由半波帶法分析得出的明紋衍射角總是略大于積分法求得的明紋衍射角，在k值較小時差別較明顯，隨著k值的增大逐漸趨近精確值，這說明半波帶法僅能給出明紋出現的近似條件．

3 振幅矢量圖解法剖析半波帶法明紋條件的近似性

由此給出了明暗條紋出現的條件

暗紋N=2k；

明紋N=2k+1,(k=1,2,3,…)．

然而由于衍射角φ是連續(xù)變化的，因此N也會隨之連續(xù)變化，即N不應局限于整數．半波帶法僅考慮了N是整數的情況，即僅對某些特定衍射角(使得單縫波面恰好被分成整數個半波帶)做了分析，而沒有針對任意衍射角作一般分析．半波帶法對單縫波面的這一粗視化分割使得對明紋條件的判斷不夠精確，下面在半波帶法的基礎上對單縫波面進行更精細化的分割，并采用振幅矢量圖解法來分析明暗條紋條件．

這與半波帶法得到的結果一致．

圖2 振幅矢量圖解法分析單縫夫瑯禾費衍射示意圖

(3)

可見P點的振幅A為ε的函數．下面我們將上式兩邊對ε求導，得

上式為超越方程，可以采用作圖法來定解．下面列出部分解.

表2 超越方程的解

當ε取上述值時，P點的振幅A取極值(極大值或極小值)．根據圖2(d)容易判斷A的最小值發(fā)生在ε=0處，為Amin=0，因此ε取表中的數值時，P點的振幅A取極大值，P點為明紋．根據表中數據可判斷，ε的取值范圍為0<ε<1，且隨著k值的增大，ε愈加趨向于1．由此，我們得到明紋條件為

(0<ε<1,k=1,2,3,…)(k增大，ε→1)

(4)

將表2中的ε值代入上式，并與表1中積分法給出的結果比較發(fā)現，兩者非常一致，這說明上述方法由于在半波帶法的基礎上對單縫波陣面進行了更加精細的分割，從而克服了半波帶法的局限性，精確地確定了明紋條件．

圖3 單縫波面分成(2k+ε)個半波帶和(2k+1)個半波帶兩種情況下的衍射場振幅大小定性分析

4 振幅矢量圖解法求解衍射光強

由

得

將之代入式(3)，并考慮光強I=A2得

(5)

上面采用振幅矢量圖解法推導出了單縫夫瑯禾費衍射光強表達式，與積分法推導衍射光強表達式相比，這一方法避免了復雜的積分運算，物理思路簡單，易于學生接受．

5 結論

本文首先通過對比半波帶法與積分法所給出的明暗條紋出現的衍射角條件，指出了半波帶法在判斷明紋條件時存在方法誤差．通過將粗視化的半波帶法精細化，即對單縫波陣面進行更精細化分割，采用振幅矢量圖解法討論了明紋條件，修正了半波帶法所給出的明紋條件公式．修正后的明紋條件表明決定單縫衍射明紋振幅的不足一個半波帶，而并非恰好一個半波帶．同時，利用該方法還求得了與積分法一致的衍射光強表達式．此外，由于該方法將單縫波陣面從有限個半波帶進一步細分成無限個窄波帶，接收屏P點的衍射光強即為從無限個窄波帶發(fā)出的子波的相干疊加，因此這一方法體現出了衍射現象與干涉現象的區(qū)別，有利于學生加深對衍射現象本質的理解．

振幅矢量圖解法已在大學物理的先修內容——簡諧振動部分學習到，在此再次使用這一方法來分析單縫夫瑯禾費衍射，有利于學生通過關聯和對比加深對兩部分內容的理解，也更突顯了物理方法在大學物理教學中的重要性．