懸而未決，“轉”出精彩
——“旋轉法”在解決與線段數(shù)量有關問題中的運用

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學 戴 惠

一、知識背景

旋轉變換作為幾何的三大變換之一，常常蘊含了全等、相似、勾股定理等很多知識點，對學生分析問題和解決問題的能力有較高要求，往往具有較大的難度和區(qū)分度.九年級學生經(jīng)過一輪復習后，對于此類指明“旋轉”的題目基本會解決.但是對沒有出現(xiàn)“旋轉”字眼的題，學生對此常感到束手無策.此時我們可以試將圖形的某一部分作適當旋轉，突破思維瓶頸，找到解題思路.

二、教學目標

1.知識與技能

當已知條件比較分散時，考慮“旋轉法”，把分散的條件通過旋轉的方式重新整合，構造特殊圖形，進而解決問題.

2.過程與方法

在數(shù)學解題中，有時用“動”的觀點來處理“靜”的問題，即“化靜為動”，讓學生深刻的體會“從變化中找不變”的基本解題思路.

3.情感、態(tài)度與價值觀

從旋轉的角度思考問題，提高空間想象能力和邏輯思維能力.

三、教學過程簡錄

片斷（一） “旋轉法”的引出與認識

例1 如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是BC，CD邊上的點，且∠EAF＝45°，連接EF.

求證：EF＝BE＋FD.

圖1

設計意圖：此題以我們熟悉的正方形作為載體，線段EF、BE、FD位置分散，常用方法為“截長補短”法.啟發(fā)引導學生從旋轉的角度去思考問題，初步認識 “旋轉法”.

師：分析題目條件，你想到了什么？

生（齊）：“截長補短”法.

師：實物投影展示正確的解法.

師（啟發(fā)）：幾何畫板演示△ABE旋轉至△ADE′過程，從旋轉的角度考慮，以點A為旋轉中心，將△ABE逆時針旋轉90°，如圖2請問△AEF≌△AE′F依然成立嗎？

生：成立，∠BAE=∠DAE′，∠BAE+∠FAD=45°，可以得到∠DAE′+∠FAD=45°，即∠E′AF=45°，通過SAS證明全等.

圖2

圖3

圖4

片斷（二） “旋轉法”的探索與歸納

變式1 如圖3，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，它的兩邊分別交CB，DC的延長線于點E、F，線段BE，DF和EF之間又有怎樣的數(shù)量關系？

設計意圖：此題為例1的變式，∠EAF從在正方形的內部變成有部分在正方形內部，同樣使用“旋轉法”可以解決問題.讓學生感知“旋轉法”的思路，體會用運動的觀點思考問題，“化靜為動”，讓學生深刻地體會“從變化中找不變”的基本解題思路.

師：這道題跟例1的區(qū)別在哪里？我們先猜測一下三條線段之間有什么數(shù)量關系？

生（齊）：DF=BE+EF.

師：怎么證明呢？我們能不能也使用旋轉的方法解決它呢？

生（齊）：將△ABE旋轉至△ADE′，如圖4.

師（追問）：旋轉的目的是什么呢？

生1：使得DE′=BE，DF-BE=E′F，只要證EF=E′F即可.師（追問）：怎么證線段相等？我們常用方法是什么？生（齊）：全等，對應邊相等.

師：證哪兩個三角形全等呢？

生2：通過SAS證明△AEF≌△AE′F.

師：幾何畫板演示△ABE旋轉至△ADE′過程，我們將這樣的方法稱為“旋轉法”.什么情況下我們可以使用“旋轉法”呢？

生：已知條件中線段的位置不交分散，有公共頂點，有相等的邊……

師：共點——旋轉中心；相等的線段——對應線段；旋轉角度——旋轉角.（板書）

通過構造全等三角形，轉移線段，尋找線段間的數(shù)量關系.

變式2 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，且∠EAF=∠BAD.

（1）點E、F分別在邊BC、CD上，試說明EF=BE+DF；

（2）如圖6，點E、F分別在直線CB、DC延長線上，線段BE、DF和EF之間又有怎樣的數(shù)量關系？

圖5

圖6

設計意圖：此題作為學生自主練習題，是上面兩道的變式，正方形、45°角的特殊關系一般化，“半角模型”.一方面檢驗學生是否學會使用“旋轉法”，另一方面讓學生體會“從特殊到一般”的數(shù)學思想.這兩道題請兩位同學到講臺前講解，激發(fā)學生學習興趣.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生舉一反三的數(shù)學能力.

片斷（三） “旋轉法”的運用與鞏固

例2 如圖7，在等邊三角形△ABC內有一點P，PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC的度數(shù).

設計意圖：此題具備了數(shù)學的簡潔之美，條件之間沒有直接聯(lián)系，不再問邊的關系，而是換成了角度，學生對此束手無策.但當我們從旋轉的角度去思考該問題時，轉移相關線段，就會豁然開朗，柳暗花明.

圖7

圖8

生（齊）：勾股定理

師：這里有直角三角形嗎？

生（齊）：沒有.

師（啟發(fā)）：那這里是不是也可以旋轉呢？通過旋轉某個三角形，轉移某些線段，進而構造直角三角形呢？大家試一試.

生1：將△PBC進行旋轉，如圖8.

師：如圖8，幾何畫板演示旋轉過程.我們想要的直角三角形出現(xiàn)了嗎？

生（齊）：沒有，再連接PP′.

師：很好，將我們要求的∠BPC轉化成兩個角的和，此時∠P′BP=60°且BP=BP′，我們得到△P′PB是等邊三角形，得到∠BP′P=60°.另外一個角∠AP′P又是多少度呢，你會嗎？

生2：90°，根據(jù)勾股定理的逆定理得到.

師：非常好，一起告訴我∠BPC的度數(shù).

生（齊）：150°

師：你感受到了旋轉法的奇妙之處了嗎？

圖9

變式1 如圖9，在正方形ABCD內有一點P，∠BPC=135°，BP=，PC=1，求AP的邊長.

設計意圖：此題作為學生練習題，載體等邊三角形換成正方形，已知條件既有邊的關系，又有角的關系，在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生融會貫通的能力.

片斷（四） “旋轉法”的拓展與提升

例3 （2015·常州）如圖10，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是__________.

設計意圖：展示中考題，激發(fā)學生攻克難題的決心.學生通過積極思考和探索，把握命題規(guī)律，提煉問題本質.一題多解，通過比較讓學生切實體會旋轉法的奇妙作用，調動學習積極性.

師：哪位同學來挑戰(zhàn)一下這道中考題？

生1：C為弧BD的中點可以得到CB=CD，將△ACD進行旋轉，如圖11.

圖10

圖11

師（追問）：這里四邊形ABCD有什么特殊性使得我們可以選擇使用“旋轉法”.

生1：⊙O的內接四邊形對角互補，符合我們的“旋轉法”.

師（追問）：然后我們如何做呢？

生1：在△AA′C中作AA′邊上的高.

師：接下來我們利用三角函數(shù)、等腰三角形性質等就可以解決.

設計意圖：問題再次升級，將學生剛剛已經(jīng)熟悉邊角關系以直線解析式的形式呈現(xiàn)，給人耳目一新的感覺.難度提升一個臺階，對學生的能力要求進一步提高.通過 “轉化的思想”，通過直線解析式可以得到邊角關系，同樣使用“旋轉法”可以解決問題.

圖12

圖13

師：在圓中，圓周角90°，我們常作什么輔助線？

生（眾）：連接AC，AC為直徑.

師：EC-EA如何處理呢？“旋轉法”好用嗎？

生2：以O為旋轉中心，將△OAE逆時針旋轉90°，如圖13.

師：EC-EA=EE′，△OEE′為等腰直角三角形，則EE′∶EO為.能否將△OAE，以A為旋轉中心順時針旋轉90°呢？課后思考.

四、教后反思

對于“空間與圖形”的教學，《數(shù)學課程標準》的理念是：觀察感知、動手操作、深化理解.“向學生提供充分參與數(shù)學活動的機會，幫助他們在自立探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗”.這節(jié)課作為初三專題復習課較好地體現(xiàn)了《數(shù)學課程標準》的新理念，教會學生用旋轉的思想去解決問題.

教學設計中比較注重數(shù)學思想的滲透與點拔，注重引領學生認識和體會數(shù)學內在的美感.如“旋轉點”“基本形”等數(shù)學語言所體現(xiàn)的簡約美；旋轉變換帶給學生的奇妙感覺，讓學生感受數(shù)學的推力，激發(fā)學生進一步學習數(shù)學的欲望；幾何畫板的使用讓是整個運動過程比較直觀具體.練習圖形的旋轉過程，既讓學生演示了順時針旋轉，又進一步引導學生動手實踐逆時針旋轉等不同方法，培養(yǎng)學生的思維廣闊性.J