一題多解需謹(jǐn)慎 分層遞進(jìn)是良策*

☉江蘇省無錫市錫山高級(jí)中學(xué)匡村實(shí)驗(yàn)學(xué)校 周榮偉

在當(dāng)前初一、初二的數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常會(huì)看到這樣兩種現(xiàn)象：新授課上為了追求所謂的教學(xué)深度，簡化知識(shí)的發(fā)生過程，忽視例題的基本方法，更多關(guān)注的是一題多解、一步到位（美其名曰：深度學(xué)習(xí)、與中考接軌?。?；但是到了單元習(xí)題課、章節(jié)復(fù)習(xí)課、期末復(fù)習(xí)課、乃至初三中考復(fù)習(xí)課上卻依然停留在回憶式的習(xí)題講解上，除了提高解題的熟練度，方法并沒有任何更新.筆者認(rèn)為，導(dǎo)致這兩種現(xiàn)象頻發(fā)的主要根源是對(duì)一題多解教學(xué)理解的偏失.本文以蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的一個(gè)習(xí)題為例，談?wù)勅绾位诜謱舆f進(jìn)開展一題多解教學(xué)，以真正提高新授課、習(xí)題課以及復(fù)習(xí)課的教學(xué)效益.

一、題目呈現(xiàn)

已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，4），B（6，2）.求△OAB的面積.

圖1

圖2

二、基本解答

視點(diǎn)1：這是八上第5章《平面直角坐標(biāo)系》第5.2節(jié)平面直角坐標(biāo)系第二課時(shí)（新授課）的內(nèi)容，課標(biāo)要求是把一些簡單圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，探索點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)化，從而進(jìn)一步感受“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.基于此，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生得出以下兩種常用的面積分割法.

解法1：如圖2，過點(diǎn)A作DC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，兩條線相交于點(diǎn)D，則四邊形OCDE是長方形.（注：蘇科版義務(wù)教育教科書中《矩形》要到八年級(jí)下冊(cè)才出現(xiàn)）

解法2：如圖3，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，則四邊形AFEB是直角梯形.

視點(diǎn)2：八上第6章《一次函數(shù)》的單元復(fù)習(xí)課，課標(biāo)要求是能根據(jù)一次函數(shù)的圖像，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式，在經(jīng)歷用一次函數(shù)解決問題中增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，并逐步加深對(duì)函數(shù)思想的理解.基于此，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生得出以下兩種常用的函數(shù)解析法：

圖3

圖4

解法3：如圖4，過點(diǎn)A作AF⊥x軸交直線OB于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E.首先，利用待定系數(shù)法分別求出直線OA的解析式為y=2x，直線OB的解析式為y=x，然后再由A（2，4）得出G（2，），從而求出線段AG=AF－GF=4－=.

解法4：如圖5，延長線段BA交y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BK⊥y軸，垂足為點(diǎn)K.首先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+5，然后再求出H（0，5），從而得出線段OH=5.

視點(diǎn)3：蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的目錄依次為：第1章《全等三角形》，第2章《軸對(duì)稱圖形》，第3章《勾股定理》，第4章《實(shí)數(shù)》，第5章《平面直角坐標(biāo)系》，第6章《一次函數(shù)》，因此到期末復(fù)習(xí)課時(shí)，又可結(jié)合前面的第1章《全等三角形》和第3章《勾股定理》的相關(guān)知識(shí)，通過判斷三角形的形狀再加以解決.基于此，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生得出以下兩種常用的形狀判定法.

圖5

圖6

解法5：如圖6，過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D.

在△OAC和△ABD中，

所以△OAC≌△ABD（SAS）.

因?yàn)锳C⊥y軸，所以∠ACO=90°.

所以∠OAC+∠AOC=90°，所以∠OAC+∠BAD=90°.

所以∠OAB=90°，即△OAB是直角三角形.

（注：蘇科版義務(wù)教育教科書《二次根式》要到八年級(jí)下冊(cè)才出現(xiàn)，這里用的是平方根的意義求解，下同）

所以O(shè)A2+AB2=OB2，

由勾股定理逆定理可知，∠OAB=90°.（下面的解法同解法5）

三、教學(xué)反思

1.一題多解的教學(xué)起點(diǎn)應(yīng)該源于學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)

在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，無論是基于學(xué)生的想法，還是基于老師的預(yù)設(shè)，一題多解教學(xué)似乎是課堂教學(xué)的標(biāo)配，某些學(xué)校（或各類評(píng)優(yōu)課）甚至把它納入到課堂評(píng)價(jià)的范疇.因?yàn)橐活}多解教學(xué)確實(shí)能夠幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，提高學(xué)生的認(rèn)知能力，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.但我們需要關(guān)注的是一題多解的教學(xué)起點(diǎn)：學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí).一題多解教學(xué)必須要在學(xué)生對(duì)有關(guān)的知識(shí)和技能熟練掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)行，如果學(xué)生對(duì)有關(guān)的知識(shí)和技能沒有熟練掌握，就談不上靈活運(yùn)用，談不上縱向、橫向聯(lián)系，也就不能進(jìn)行一題多解教學(xué).相反，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得越深刻，越透徹，基本技能越嫻熟，越靈活，一題多解教學(xué)效果就越好.本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是探索點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度的轉(zhuǎn)化.因此，對(duì)于該題的解答，比較符合學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的應(yīng)該是面積分割法，即解法1和解法2.也就是說，在新授課上，該題的一題多解教學(xué)更多的應(yīng)該體現(xiàn)在“面積分割”方法的多樣性上，而不是急于用形狀判定法，即解法5和解法6，這樣反而會(huì)導(dǎo)致因其他難點(diǎn)（形狀判定）而淡化課時(shí)目標(biāo).

2.一題多解的教學(xué)節(jié)奏應(yīng)該基于課標(biāo)的分層遞進(jìn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一部分前言的課程基本理念中明確指出：“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性.”第四部分實(shí)施建議的教材編寫建議中也提出：“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則.”這就要求我們要樹立與新課程相適應(yīng)的教學(xué)觀：在不同學(xué)習(xí)階段重復(fù)呈現(xiàn)特定的學(xué)科內(nèi)容（也包括解題方法），同時(shí)利用學(xué)生日益增長的心理的成熟性，使學(xué)科內(nèi)容不斷拓展與加深——分層遞進(jìn)，螺旋上升.因此，一題多解的教學(xué)節(jié)奏也應(yīng)該基于課標(biāo)要求，從“一步到位”向“分層遞進(jìn)”轉(zhuǎn)變.分層遞進(jìn)的基本策略主要有三條：一是教師的教要適應(yīng)學(xué)生的學(xué)，學(xué)生的學(xué)是有時(shí)空差異的，教師的教也要有分層差異；二是每一個(gè)學(xué)生都有充分發(fā)展的潛能，要促進(jìn)他們?cè)谠谢A(chǔ)上得到較好的發(fā)展；三是學(xué)生之間的差異是一種可以開發(fā)利用的教育資源.筆者認(rèn)為，對(duì)于求解此類三角形面積問題，解法1和解法2比較適用于新授教學(xué)課，解法3和解法4比較適用于單元習(xí)題課，解法5和解法6則適用于期末復(fù)習(xí)課，而到了初三中考復(fù)習(xí)課，應(yīng)該是在復(fù)雜圖形背景下對(duì)上述6種解法進(jìn)行綜合運(yùn)用，如2017年江蘇蘇州中考?jí)狠S題第28題第（3）小題：

如圖7，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC.點(diǎn)Q在函數(shù)圖像上，CD∥x軸，且CD=2，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求b、c的值.

（2）如圖7，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F′恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

（3）如圖8，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N.試問：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.

圖7

圖8

3.一題多解的教學(xué)追求應(yīng)該終于數(shù)學(xué)的整體理解

在學(xué)生了解多種解題方法之后，學(xué)生的解題思維不能到此完結(jié)，因?yàn)閷W(xué)生此時(shí)對(duì)各種解題方法的認(rèn)識(shí)還不是非常深刻：哪些是一般的解法，哪些是創(chuàng)新的巧法，哪種是最簡便的解法等，這些都需要逐步引導(dǎo)學(xué)生自己去思考，進(jìn)一步去認(rèn)識(shí).復(fù)習(xí)課需要重復(fù)但又不能簡單的重復(fù)，需要知識(shí)技能再認(rèn)識(shí)，思想方法再升華，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)再積累，核心素養(yǎng)再落實(shí)，應(yīng)重而不復(fù).比如，在初三中考復(fù)習(xí)階段，把本例的條件“B（6，2）”改為“B（5，2）”，那么通過判斷三角形形狀的解法5及解法6就行不通了.而對(duì)于利用面積分割的解法1及解法2，其實(shí)是源于初一年級(jí)（甚至在小學(xué)階段）的網(wǎng)格圖，也不應(yīng)該是初三中考復(fù)習(xí)的教學(xué)追求.那么對(duì)于初三年級(jí)的孩子，該題的教學(xué)追求究竟是什么呢？不妨先看2017年蘇州中考第28題第（3）問的略解：

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 （n，0），則PA=n+1，PB=PM=3－n，PN=－n2+2n+3.作QR⊥PN垂足為R.

因?yàn)镾△PQN=S△APM，

當(dāng)點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n－1，n2－4n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2－4n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2－2n－3）.在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n－3）2，所以n=時(shí)，NQ取最小值.此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 （， －）.

當(dāng)點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n2－4），同理，NQ2=1+（2n－1）2，所以n=時(shí)，NQ取最小值.此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 （，－）.

“一覽眾山小”，站在初三中考要求、課標(biāo)要求、以及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求的高度來審視此類三角形面積求解問題，強(qiáng)化學(xué)生函數(shù)建模能力的解法3和解法4是更容易揭示問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)解法.這就相當(dāng)于是在認(rèn)知與元認(rèn)知兩個(gè)層面都有所提升、有所收獲，這應(yīng)該是該題一題多解的教學(xué)追求.

總之，一題多解的教學(xué)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識(shí)積累，在遵循科學(xué)性的前提下，宜采用分層遞進(jìn)、螺旋上升的原則，而且在深度、廣度等方面都要有實(shí)質(zhì)性的變化，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求.所以，如果真正能夠做到把一題多解的教學(xué)作為一個(gè)分層遞進(jìn)的整體來思考，通過新授課首呼、習(xí)題課中聯(lián)、復(fù)習(xí)課尾應(yīng)，那么，必定可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中掌握“四基”，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中提高“四能”，最終在學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的兩個(gè)過程中整體達(dá)成“六核”的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo).