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    合理轉(zhuǎn)換圖形,巧解線段最值
    ——對一道中考題的解法分析與探究

    2018-08-31 03:27:28江蘇省沛縣教師發(fā)展中心
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年16期
    關(guān)鍵詞:對稱點過點動點

    ☉江蘇省沛縣教師發(fā)展中心 甘 磊

    一、考題再現(xiàn)及思路突破

    1.考題再現(xiàn)

    (1)試證明AC是⊙O的切線;

    (2)如果點F是線段AO的中點,OE=3,試求圖1中陰影的面積;

    (3)在條件(2)成立的情況下,已知點P是BC邊上的一個動點,當(dāng)PE+PF取得最小值時,請直接寫出BP的長.

    圖1

    2.思路突破

    分析:本題目為常見的幾何問題,涉及到圓和三角形等基本圖形,求解需結(jié)合基本的幾何知識.(1)證明切線可以過點O作AC邊上的垂線,如垂線為OM時,只需證明OM與圓的半徑相等即可;(2)陰影部分的圖形不規(guī)則,可以將其視為△AOE中切去扇形OEF獲得的,即S陰影=S△AOE-S扇形OEF,然后分別利用面積公式求出△AOE和扇形OEF的面積即可完成求解;(3)在(2)的條件下求PE+PF的最小值時的BP長,實際上就是求點P的具體位置,可以作關(guān)于線段BC,點E的對稱點G,連接FG,則此時FG的長度就是PE+PF的最小值,F(xiàn)G與BC的交點就是滿足條件的點P的位置,即可求出BP的長.

    解:(1)過點O作AC邊上的垂線,垂足為點M,如圖2.因為AB=AC,AO⊥BC,則∠BAO=∠CAO,又知OE⊥AB,OM ⊥AC, 則 △AEO?△AMO,故OE=OM.因為OE為⊙O的半徑,所以O(shè)M同為⊙O的半徑,則AC是⊙O的切線.

    (2)S陰影=S△AOE-S扇形OEF,其中

    圖2

    (3)作點E關(guān)于線段BC的對稱點G,連接EG交BC于點H,連接FG交BC于點P,可知EP=GP,由于點G、P、F處于同一直線上,則此時的PE+PF最小.在Rt△EHO中,EH=EOsin∠EOH=,BH=,△EHP~△FOP,則2HP=OP.又因為HO=HP+OP,可得HP=,所以BP=BH+HP=.

    執(zhí)行難,一直是司法實踐中的困擾。生效的裁判文書得不到執(zhí)行,法院判決就成了一紙空文?!坝脙傻饺陼r間基本解決執(zhí)行難問題”,最高人民法院鏗鏘有力的承諾不斷轉(zhuǎn)化為人民法院向執(zhí)行難宣戰(zhàn)的切實行動。探索審判權(quán)和執(zhí)行權(quán)分離,改革執(zhí)行體制機(jī)制,聯(lián)合多部門對“老賴”進(jìn)行信用懲戒,“法律白條”不斷被兌現(xiàn)為“真金白銀”。

    3.考題評析

    題目中是中考典型的幾何綜合題,圖形由三角形和半圓綜合而成,前兩問是常規(guī)的證明和陰影面積求值問題,分別利用垂線段與圓半徑相等和面積的割補(bǔ)法來完成,難度適中.問題第(3)問求PE+PF取得最小值時BP的長,需要確定點P的位置,屬于三點之間線段的最值問題,求解時將位于不同直線上的兩條線段通過軸對稱的方式轉(zhuǎn)化到同一直線上,從而確立了線段和的最小值,問題中隱含著研究線段和的最值模型,下面將深入探究.

    圖3

    二、最值研究模型的探究

    1.教材模型

    考題第(3)問基于幾何轉(zhuǎn)化思想,利用軸對稱變換的方式來解決線段和的最值,其利用的理論依據(jù)是:兩點之間,線段最短.該問題模型與教材中常見的水廠選址問題相類同:如圖3,在一條小河的同一側(cè)有兩個村莊A和B,現(xiàn)要在小河邊建一座自來水廠為兩個村莊供水,如果要使廠址到兩個村莊的供水管道最短,那么廠址應(yīng)選在什么位置,試說明理由?

    教材問題需要確定廠址的位置,若設(shè)廠址為P,則需要確保AP+BP的值最小,與考題在本質(zhì)上是相同的,即有著同樣的問題模型,具體的做法是:將小河抽象為一條直線,作點A關(guān)于線段l的對稱點A1,連接A1B,與直線l相交于點P,如圖4,此時AP+PB取得最小值,則點P就為自來水廠的最佳選址.

    圖4

    2.思路分析

    通過軸對稱轉(zhuǎn)化的方式可以確定AP+PB取最小值時點P的具體位置,可以在直線l上構(gòu)造異于點P的一點M來分析:取一點M,同樣連接AM和MB,在△BMA1中,BM+A1M>A1B.因為A1B=A1P+PB,則BM+A1M>A1P+PB,根據(jù)軸對稱的特性可知,AM=A1M,AP=A1P,則有BM+MA>AP+PB,因此異于點P的一點M獲得的線段和大于點P獲得的線段和,可知軸對稱轉(zhuǎn)化的方式可以獲得線段和的最小值.

    三、線段和最值問題的探究

    考題的線段和問題可以等效為固定直線上一動點P,求定點E、F與動點P之間的距離和PE+PF的最小值,屬于三點之間的線段和的最值問題,在動點形式和解法上都具有一定的代表性,同時近幾年的中考題也都基于上述兩點來進(jìn)行考查,現(xiàn)結(jié)合2018年中考題分別從問題條件和問題解法兩個方面進(jìn)行變式探究.

    1.問題條件變式

    中考題中關(guān)于線段和的最值問題具有多種形式,上述考題中的三點具體為兩點固定、一點移動,也可以將其變?yōu)橐稽c固定,兩點運動,同樣求解線段和的最值,現(xiàn)結(jié)合考題分析.

    (2018年廣東廣州市中考卷第23題)如圖5所示,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.

    (1)利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法).

    (2)在(1)的條件下,①證明:AE⊥DE;②如果CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點,求BM+MN的最小值.

    分析:主要分析第(2)問的②,問題中的點M,N分別是AE,AB上的動點,求其最小值同樣可以利用軸對稱轉(zhuǎn)化的方式,作點B關(guān)于線AE的對稱點F,當(dāng)點F、M和N位于同一直線,且FN⊥AB時,如圖6,BM+MN可取得最小值,只需求得相關(guān)線段即可.

    解:(2)②過點D作DP⊥AB,垂足為點P,作AD上取一點F,使得CD=DF,由1可知此時AF=AB,即點B、F關(guān)于直線AE對稱,過點F作AB的垂線,垂足為N,令FN交AE于點M,連接BM,此時BM=FM,點F、M和N位于同一直線,且FN⊥AB,此時BM+MN有最小值,且BM+MN=FM+MN,分析可知,△AFN~△ADP,則=,其中AF=4,AD=6.在Rt△APD中,可以求得DP=4,則FN=,即BM+MN的最小值為

    圖5

    圖6

    上述考題同樣是求三點之間線段和的最值,所不同的是存在兩個動點,但同樣可以依據(jù)“兩點之間,線段最短”的原理,通過軸對稱轉(zhuǎn)換的方式來求解.在細(xì)節(jié)處理上首先選定其中一動點所在直線為頂點與另一動點的對稱軸,并確定其中一動點的位置,然后連接兩點確定對稱軸上的另一動點的位置,從而使三點位于同一直線上,進(jìn)而確定線段和的最小值.該種思路可以用于存在兩動點的線段和最值求解.

    2.最值解法上的拓展

    對于線段和的最值問題,除了可以采用軸對稱轉(zhuǎn)換的方式還可以采用等效轉(zhuǎn)換的方式,即通過線段長度等效的方式,將位于不同直線上的線段在同一直線上進(jìn)行長度等效,轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離,然后依據(jù)條件來確定線段和的最值,該種解法在考題中也有體現(xiàn),下面結(jié)合考題詳細(xì)講解.

    (2018年江蘇無錫市中考卷第18題)如圖7所示,已知∠XOY=60°,點A位于邊OX上,且OA=2,過點A作AC⊥OY于點C,以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC,點P是△ABC圍成區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點,過點P作PD∥OY,交OX于點D,作PE∥OX,交OY于點E,設(shè)OD=a,OE=b,則a+2b的取值范圍是__________.

    分析:求a+2b的取值范圍,就是求EP+2DP的最值,其中點P是△ABC圍成區(qū)成內(nèi)的一動點,可以先對a+2b進(jìn)行變形,即a+2b=2 (a +b),可以在OC的延長線上取一點H,使得EH=a,則a+b=EH+OE=OH,且三點均位于同一直線上,由于點O固定,則可以通過研究點H距O點的距離來確定線段和的取值范圍.

    圖7

    圖8

    解:過點P作OY的垂線PH,垂足為點H,如圖8,在Rt△EHP中,∠PEH=60°,EP=a,則EH=a,a+2b=2(a+b)=2(EH+OE)=2OH,由于點P位于△ABC圍城區(qū)域內(nèi),則當(dāng)點P運動到C點時,OH的長度最短,即a+2b取得最小值,2OHmin=2OC=2,當(dāng)點P運動到B點時,2OH的長度最長,即a+2b取得最大值,此時2OHmax=2(OE+EH)=2×(1+)=5.所以a+2b的取值范圍為2≤a+2b≤5.

    上述考題采用的是對線段長度的等效轉(zhuǎn)化,即在同一直線上取截問題研究的兩線段長,將其合并為同一線段,實現(xiàn)三點共線,利用的是同一直線上研究兩點之間距離最值的便利性,同時在求解時對線段和進(jìn)行了一定的變形處理,并用點距離來表示,使得分析問題更為直觀.

    四、解后思考,學(xué)習(xí)建議

    線段和的最值問題,實際上幾何中的動點問題,由于進(jìn)行求和的兩條線段位于不同的直線上,因此無論是軸對稱變換法,還是長度等效轉(zhuǎn)換法.實際上都是為了將兩條線段轉(zhuǎn)換到同一直線上,雖轉(zhuǎn)換形式不同,但都是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的利用.學(xué)習(xí)使用上述兩種方式時首先需要透徹理解方法的實質(zhì),如軸對稱轉(zhuǎn)換,建立關(guān)于直線的對稱點僅是解題的表面形式,實質(zhì)上利用的是軸對稱所構(gòu)成的三角形全等性質(zhì);而長度等效轉(zhuǎn)換則更為直接,就是在同一直線上進(jìn)行的等長截取,方法的核心要素是長度等效,利用的是幾何性質(zhì)來完成.

    對于線段的求和問題,數(shù)形結(jié)合思想貫穿解題始終,具有兩種思想方法作指導(dǎo):一是利用幾何圖形為導(dǎo)向直接建立問題求解的具體思路,然后利用代數(shù)方法來計算求解,即以形助數(shù);二是基于代數(shù)對線段長度的精準(zhǔn)表達(dá)意義來進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換,該種方式主要體現(xiàn)在長度等效轉(zhuǎn)換上,即以數(shù)解形.合理采用數(shù)形結(jié)合的解題方式,可以從抽象問題中提煉基本的模型,實現(xiàn)問題模型的準(zhǔn)確分析.另外對于線段和的求值問題教材習(xí)題中有較為詳細(xì)的實例,合理抽象模型往往可以獲得豐富的解題經(jīng)驗,利于考題的分析求解.

    了解問題的基本模型,理解方法的核心思想,掌握解法的求解思路是求解線段和最值問題的關(guān)鍵,在平時的學(xué)習(xí)中除了需要學(xué)習(xí)方法,還需要鞏固基本的幾何知識,靈活運用,巧妙求解.

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