遵循正確策略，科學(xué)探尋規(guī)律
——以一道中考幾何規(guī)律題的探究為例

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)云龍鎮(zhèn)中學(xué) 曹世賢

圖1

幾何規(guī)律探尋題在近幾年中考中出現(xiàn)的頻次很高，該類問題一般以平面直角坐標(biāo)系為背景，結(jié)合大量的文本操作，以考查學(xué)生對(duì)于圖形認(rèn)識(shí)，信息提取，規(guī)律探究的能力.本文將以一道中考幾何規(guī)律探尋題為例開展思路探究，并進(jìn)行相應(yīng)的學(xué)習(xí)思考，以期對(duì)讀者的學(xué)習(xí)帶來一定的啟示.

一、試題呈現(xiàn)及簡(jiǎn)析

例題 （2018年山東威海市中考卷第18題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，2），以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線y=x于點(diǎn).過B點(diǎn)1作B1A2∥y軸，交直線y=2x于點(diǎn)A2，以O(shè)為圓心，以O(shè)A2長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線y=x于點(diǎn)；過點(diǎn)作BA∥y軸，23交直線y=2x于點(diǎn)A3，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A3長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線y=x于點(diǎn)；過B點(diǎn)作BA∥y軸，交直線y=2x于334點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線y=x于點(diǎn)B4，…按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)B2018的坐標(biāo)為__________.

簡(jiǎn)析：上述題目是一道典型的平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探尋題，題目涉及到作平行線、畫弧等操作，考查了扇形、三角形、相似、點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，是數(shù)形結(jié)合思想、歸納轉(zhuǎn)化、模型思想的綜合考查.解答本題目除了需要理解題目中的作圖過程，還需要結(jié)合幾何性質(zhì)來確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).其中結(jié)合問題條件確定點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)是問題探究的起點(diǎn)，然后以上述兩點(diǎn)為基礎(chǔ)來總結(jié)后續(xù)點(diǎn)獲得的方法，形成規(guī)律，歸納通解式.

二、試題求解過程探究

1.識(shí)圖讀題，提煉基本圖形

對(duì)于一般含有大量文字信息的幾何題，都是采用“先讀題，再讀圖”的策略，即從題目的文本信息入手，理解題意，再對(duì)幾何圖形進(jìn)行探究，但這樣的解題策略對(duì)于幾何規(guī)律探究而言并不完全適用，因?yàn)樘骄款}一般結(jié)合了必要的操作過程，如果首先讀取文本信息，很難獲得有效信息.在此建議首先觀察圖像，讀取圖形中的典型特點(diǎn)，初步探尋其中可能存在的性質(zhì).對(duì)于本題目從幾何圖形來看，在直角坐標(biāo)系中存在兩條正比例函數(shù)直線，多條平行于y軸的直線，以及兩類常見的圖形，扇形和三角形.顯然，通過觀察圖像可以獲得較為直觀的幾何認(rèn)識(shí)，借助直角坐標(biāo)系研究圖形的性質(zhì)對(duì)于后續(xù)的規(guī)律探究是十分有利的.然后再詳細(xì)地閱讀題目文本，提取其中的關(guān)鍵信息，例如“以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A1長(zhǎng)為半徑畫弧，…過B1點(diǎn)作B1A2∥y軸，交直線y=2x于點(diǎn)A2，…按照如此規(guī)律進(jìn)行下去”，文本中主要有兩個(gè)關(guān)鍵作圖步驟，一是以原點(diǎn)O畫圓弧，二是過標(biāo)有序號(hào)的點(diǎn)B以規(guī)律長(zhǎng)線段作y軸的平行線.如果按照這樣的方式進(jìn)行持續(xù)作圖，圖中必然會(huì)出現(xiàn)較多的平行線、同心弧，其中的邊長(zhǎng)和角度之間也存在一定的關(guān)聯(lián).

2.圖文對(duì)應(yīng)，確定初始數(shù)據(jù)

根據(jù)題目中所描述的作圖過程，以及初始點(diǎn)坐標(biāo)，可以獲得兩個(gè)較為明顯的數(shù)據(jù)：根據(jù)點(diǎn)A1的坐標(biāo)（1，2），可求得OA1=；由O長(zhǎng)畫圓弧，則O=O=，而根據(jù)位于直線y=x上可以設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為 （a，a）.除了上述的線段長(zhǎng)以及坐標(biāo)關(guān)系沒有更多可以提煉的數(shù)據(jù)，因此其他數(shù)據(jù)的獲得需要結(jié)合作圖過程以此來生成，另外文本中關(guān)于平行線的作法可以獲得相應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系，如B1A2∥y軸，則可以推得B1的橫坐標(biāo)與A2的橫坐標(biāo)相等，在求解時(shí)可以適度地將這些數(shù)據(jù)標(biāo)注在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和線段上，從而明確哪些為已知條件，哪些是可推得的信息，哪些是待探究的信息.這樣可以準(zhǔn)確把握后續(xù)問題的探究方向，避免“走彎路”.

3.適度拓展，推導(dǎo)銜接數(shù)據(jù)

根據(jù)上述的幾何關(guān)系和求出的初始數(shù)據(jù)，可以通過簡(jiǎn)單的計(jì)算來獲得一些具有銜接性的拓展數(shù)據(jù)，如點(diǎn)O，點(diǎn)的坐標(biāo) （a，a）可以建立關(guān)于參數(shù)a的求解方程a2+ （a ）2=（）2，解得a=2，可得B（12，1）；進(jìn)一步根據(jù)xB1=xA2=2，以及點(diǎn)A2位于正比例函數(shù)y=2x上可以求得點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，4）.此外結(jié)合幾何的相似原理可知圖像中存在一些相似圖形，如其中的扇形OA1B1、OA2B2、OA3B3互為相似，則根據(jù)相似性質(zhì)可知其中的邊OA1、OA2、OA3…OAn，OB1、OB2、OB3…OBn之 間必然存在一些比例關(guān)系，利用這些推導(dǎo)的數(shù)據(jù)可進(jìn)一步開展研究.

4.深度關(guān)聯(lián)，猜想通解規(guī)律

由上述數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步推導(dǎo)后續(xù)點(diǎn)的坐標(biāo)，B2（4，2）、A3（4，8）、B3（8，4），考慮到xBn=OBn·cosα，yBn=OBn·sinα （α為直線y=x與x軸的夾角 ） ，=O·cosβ，=OAn·sinβ（β為直線y=2x與x軸的夾角），可知點(diǎn)坐標(biāo)之間的比例關(guān)系與線段之間的比例關(guān)系相同，因此根據(jù)OA1∶OA2∶OA3=1∶2∶4，OB1∶OB2∶OB3=1∶2∶4可猜想OA1∶OA2∶OA3∶…∶OAn=1∶2∶4∶…∶2n-1，OB1∶OB2∶OB3∶…∶OBn=1∶2∶4∶…∶2n-1，則點(diǎn)坐標(biāo)之間也必然存在這樣的比例關(guān)系，可以猜想點(diǎn)B的坐標(biāo)有如下推導(dǎo)公式：xBn=xB1·2n-1=2n，yBn=yB1·2n-1=2n-1，于是可以猜想點(diǎn)Bn（2n，2n-1）.

5.形成數(shù)系，合理檢驗(yàn)通式

與點(diǎn)B的坐標(biāo)通式猜想相同，可以獲得點(diǎn)A的推導(dǎo)式An（2n-1，2n），然后建立相應(yīng)的點(diǎn)系，如點(diǎn)A系：A1（1，2）、A2（2，4）、A3（4，8）；點(diǎn)B系：B1（2，1）、B2（4，2）、B3（8，4）.這種推導(dǎo)方式屬于不完全歸納，是否適用于一般情況還有待論證，可以結(jié)合幾何坐標(biāo)以及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步點(diǎn)的計(jì)算，然后與通式的結(jié)果進(jìn)行比較.如求得點(diǎn)B3（8，4）后可以繼續(xù)取n=4，利用通式可得B4（16，8），而根據(jù)圖像中的規(guī)律可知xA4=xB3=8，點(diǎn)A4位于y=2x上，則yA4=16，即A4的坐標(biāo)為（8，16），畫弧可得點(diǎn)B4的坐標(biāo)，設(shè)其為（b，b），根據(jù)半徑相等可得b2+ （b ）2=82+162，解得b=16，所以點(diǎn)B4的坐標(biāo)為（16，8），上述采用的是函數(shù)解析法的求解方式，同樣可以獲得點(diǎn)B4的坐標(biāo)，且與猜想的通式結(jié)果相一致，因此坐標(biāo)通式是正確的，使用通式Bn（2n，2n-1）可以計(jì)算出點(diǎn)B2018的坐標(biāo)為（22018，22017）.

三、試題求解的感悟

1.遵循特定策略，挖掘信息條件

中考中的幾何規(guī)律探尋題，除了會(huì)給出具有規(guī)律性的文字描述外，還會(huì)配合對(duì)應(yīng)的幾何圖像，而對(duì)規(guī)律的探尋需要以分析數(shù)據(jù)變化為主，而這些數(shù)據(jù)的變化充分體現(xiàn)在直觀的圖像上，如上述點(diǎn)坐標(biāo)之間的比例關(guān)系由幾何線段之間的長(zhǎng)度比例來體現(xiàn)，因此對(duì)于結(jié)合了直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)規(guī)律探尋題需要從文本、圖像兩個(gè)方面來完成信息提取，圖文配合挖掘隱含條件.另外在解題時(shí)需要采用正確的解題策略，遵循“識(shí)圖—讀文—對(duì)應(yīng)”的分析步驟，深刻認(rèn)識(shí)圖形特征，把握初始數(shù)據(jù)，圖文對(duì)應(yīng)理解問題的作圖過程，獲得幾何元素之間的隱含聯(lián)系，會(huì)后續(xù)的思路分析，猜想證明作基礎(chǔ).

2.多維數(shù)據(jù)提取，合理實(shí)施猜想

數(shù)學(xué)規(guī)律的探尋是建立在對(duì)問題信息條件的理解之上，即首先理解問題的作圖過程，掌握規(guī)律的形成方法，然后懂得如何使用文中方法獲得后續(xù)的數(shù)據(jù).因而在剖析問題時(shí)，需要充分提煉題干的關(guān)鍵信息，如幾何的性質(zhì)條件、基本數(shù)據(jù)，然后對(duì)提煉的信息進(jìn)行整理，從中獲得利于后續(xù)思路推導(dǎo)的有用信息.對(duì)于與問題不相關(guān)的信息可以適當(dāng)?shù)膭h減，如上述考題中可以提煉出幾個(gè)相似的三角形，但考慮到線段的邊長(zhǎng)難以獲得，因此可以將其刪除.數(shù)據(jù)的提煉是為后續(xù)的猜想作準(zhǔn)備，在該環(huán)節(jié)需要充分結(jié)合幾何性質(zhì)，深入分析信息之間的關(guān)聯(lián)性，可以將對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)放入直觀的圖像中，結(jié)合幾何線段、角度來分析，參考數(shù)學(xué)上數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行.幾何規(guī)律探尋題是特定情景下的規(guī)律探究，雖然信息給出的形式呈現(xiàn)多樣化，但同時(shí)也為問題解決提供了多種途徑，進(jìn)行圖文配合，多維度提煉數(shù)據(jù)是解題的有效方法，將特定數(shù)據(jù)放置在具體的圖形中，更能檢驗(yàn)其可靠性，為合理猜想鋪平道路.

3.科學(xué)驗(yàn)證猜想，上升理論高度

規(guī)律探尋題的另一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)是對(duì)猜想的證明，該過程相對(duì)而言較為復(fù)雜，但卻是檢驗(yàn)猜想必不可少的過程.在具體的實(shí)施中可以采用多思路驗(yàn)證的方式，即從不同的角度來拓展數(shù)據(jù)、驗(yàn)證數(shù)據(jù)，如幾何探尋題可以參照題干方法來進(jìn)一步推導(dǎo)數(shù)據(jù)，然后與猜想所獲得數(shù)據(jù)相對(duì)比，從而完成結(jié)論的論證過程，上述考題就是利用幾何性質(zhì)來進(jìn)行數(shù)據(jù)拓展與驗(yàn)證的.結(jié)論驗(yàn)證的過程是多樣的，但必須遵循一定的原則，即論證過程必須具有邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性和一般性，不能采用循環(huán)自證的方式，而應(yīng)是不同理論指導(dǎo)下的科學(xué)推導(dǎo).對(duì)于幾何規(guī)律探尋題需要充分利用幾何中的性質(zhì)定理，按照科學(xué)的證明思路來完成推理，確保結(jié)論的獲得是建立在理論基礎(chǔ)之上.總之，猜想是對(duì)問題特征的感性思考，結(jié)合理性的推理驗(yàn)證才能上升到理論高度，從而獲得最終答案的通解.

四、結(jié)束語

幾何規(guī)律探尋題是中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，雖然其難度梯度差別較大，但其中存在一定的推理方法，本文所論述的是其中一種較為有效的解題策略——把握幾何特征，提煉文本信息，圖文配合推理，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)論證，依照該思路開展規(guī)律探究，可實(shí)現(xiàn)問題的高效求解.